Polynominterpolation

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Alma Hauer
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1 Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses Polynom wird Interpolationspolynom genannt und man sagt, es interpoliere die gegebenen Punkte. 1. Anwendungen Interpolationspolynom 7. Grades Polynome lassen sich sehr leicht integrieren und ableiten. Deswegen tauchen interpolierende Polynome an vielen Stellen in der numerischen Mathematik auf, beispielsweise bei der numerischen Integration und entsprechend bei Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. 2. Problemstellung Für n + 1 gegebene Wertepaare (x i, y i ) mit paarweise verschiedenen Stützstellen x i wird das eindeutig bestimmte Polynom P n-ten Grades gesucht, das alle Gleichungen P (x i ) = y i erfüllt. Hierbei ist P im Vektorraum der Polynome mit Grad n oder kleiner zu suchen, R n [X]. Das Problem lässt sich lösen, indem das durch die Gleichungen P (x i ) = y i definierte Lineare Gleichungssystem gelöst wird. Die Lösung des Gleichungssystems sind genau die Koeffizienten des gesuchten Polynoms P. Da sich ein und dasselbe Polynom aber unterschiedlich darstellen lässt, je nachdem welche Basis für den Vektorraum R n [X] gewählt wird, kann man ganz verschiedene Gleichungssysteme erhalten. Wählt man für R n [X] die Standardbasis {X k 0 k n}, also für P die Darstellung P (X) = a 0 + a 1 X a n X n, so erhält man ein Gleichungssystem mit der Vandermonde-Matrix: 1 x 0 x n x n x n n a 0 a n = y 0. y n. 1

2 Diese ist regulär, wenn die Stützstellen x i paarweise verschieden sind, das Gleichungssystem lässt sich dann eindeutig lösen. Somit ist die Existenz und Eindeutigkeit des gesuchten Polynoms P immer sichergestellt. Zur Berechnung der Koeffizienten a k des Polynoms P bleibt also nur folgende Matrixmultiplikation durchzuführen: a 0. a n = 1 x 0 x n x n x n n 1 y 0 Trotz der theoretischen Machbarkeit wird diese Art der Interpolation in der Praxis nicht durchgeführt da die Berechnung zu lang ist. Bei Wahl einer anderen Basis als der Standardbasis zur Beschreibung des Polynoms P kann der Aufwand verringert werden. 3. Lagrangesche Interpolationsformel Eher für theoretische Betrachtungen günstig ist eine Darstellung in der Lagrange-Basis. Hier nennt man die Basisfunktionen Lagrange-Polynome die so definiert sind, dass l i (x) = l i (x j ) = δ ij = n j=0, j i x x j x i x j. { 1 falls i = j 0 falls i j gilt, wobei das Kronecker-Delta darstellt. Die Lösung des Interpolationsproblems lässt sich dann einfach angeben als n P (x) = y i l i (x) i=0 mit den Stützwerten y i. Dies wird häufig benutzt, um die Existenz der Lösung des Interpolationsproblems zu beweisen. Ein Vorteil der Lagrange-Basis ist, dass die Basisfunktionen von den Stützwerten y i unabhängig sind. Dadurch lassen sich verschiedene Sätze von Stützwerten y i mit gleichen Stützstellen x i schnell interpolieren, wenn die Basisfunktionen einmal bestimmt worden sind. y n 2

3 Beispiel 1: Schreibe das Interpolationspolynom für die Funktion f(x) = x 2 und die Stützstellen x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3. Lösung: Die Stützwerte sind y 0 = x 2 0 = 1, y 1 = x 2 1 = 4 und y 2 = x 2 2 = 9. Das Interpolationspolynom ist L(x) = 1 x x x x x x = x2. Beispiel 2: Schreibe das Interpolationspolynom für die Funktion f(x) = x 3 und die Stützstellen x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3. Lösung: Die Stützwerte sind y 0 = x 3 0 = 1, y 1 = x 3 1 = 8 und y 2 = x 3 2 = 27. Die Polynomen der Lagrange-Basis sind dieselben wie im vorigen Beispiel. Das Interpolationspolynom ist L(x) = 1 x x x x x x = 6x2 11x + 6. Beispiel 3: Interpoliere die Funktion f(x) = tg(x) bei gegebenen Punkten x 0 = 1, 5 f(x 0 ) = 14, x 1 = 0, 75 f(x 1 ) = 0, x 2 = 0 f(x 2 ) = 0 x 3 = 0, 75 f(x 3 ) = 0, x 4 = 1, 5 f(x 4 ) = 14, Tangensfunktion und ihre Polynominterpolante vierten Grades 3

4 Die Lagrange-Basisfunktionen sind: l 0 (x) = x x 1 = 1 x(2x 3)(4x 3)(4x + 3) x 0 x 1 x 0 x 2 x 0 x 3 x 0 x l 1 (x) = x x 0 = 8 x(2x 3)(2x + 3)(4x 3) x 1 x 0 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x l 2 (x) = x x 0 x x 1 = 3 (2x + 3)(4x + 3)(4x 3)(2x 3) x 2 x 0 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x l 3 (x) = x x 0 x x 1 = 8 x(2x 3)(2x + 3)(4x + 3) x 3 x 0 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x l 4 (x) = x x 0 x x 1 = 1 x(2x + 3)(4x 3)(4x + 3) x 4 x 0 x 4 x 1 x 4 x 2 x 4 x also ist das Interpolationspolynom: ( P Lagrange (x) = 1 f(x0 )x(2x 3)(4x 3)(4x + 3) 8f(x )x(2x 3)(2x + 3)(4x 3) + 3f(x 2 )(2x + 3)(4x + 3)(4x 3)(2x 3) 8f(x 3 )x(2x 3)(2x + 3)(4x + 3) + + f(x 4 )x(2x + 3)(4x 3)(4x + 3) ) = 1,477474x + 4,834848x 3. Beispiel 4. (von einen gewißen Björn geschrieben): 4

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7 4. Fehlerabschätzung Gegeben sei eine Funktion f, deren n+1 Funktionswerte y i an den Stellen x i durch das Polynom P interpoliert werden. Mit I sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen x i und eine Stelle x enthält. Ferner sei f eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion auf I. Dann gilt mit einem ξ I. f(x) P (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ) i=0 7

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