Satz von Taylor, Taylor-Reihen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Satz von Taylor, Taylor-Reihen"

Maja Lang
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Satz von Taylor, Taylor-Reihen Die Kenntnis von f liefert gewisse Rücschlüsse auf die Funtion f selbst, zb Monotonie, mögliche loale Extrema Die Kenntnis von f liefert darüberhinaus eine Information, ob dieses Wachsen bzw Fallen von f zunimmt oder abnimmt Dies führt zur Überlegung, ob bei Kenntnis aller Ableitungen an einer Stelle x 0 die Funtion global oder zumindest auf einem Intervall reonstruierbar ist Beispiel Betrachte das Polynom f(x = x 3 x 2 5 f ann auch in der Form f(x = (x (x (x 1 5 = 3 a (x x 0 mit x 0 = 1 und a 0 = 5, a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 1 geschrieben werden Beachte, dass a = f ( (x 0 Betrachte nun ein beliebiges Polynom f(x = n a x und x 0 R Unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes erhalten wir { f(x = n a [(x x 0 + x 0 ] = n a n m=0 n m=0 n ( a x m 0 m (x x0 = n m=0 b m (x x 0 m mit b m = n =m { n =m a x m 0 m=0 ( m (x x0 m x m 0 } = ( a x m } 0 m (x x 0 m = Für x = x 0 folgt : f(x 0 = b 0 bzw b 0 = f (0 (x 0 0! -faches Differenzieren von f(x liefert f ( (x = n m= ( m b m m(m 1(m + 1(x x 0 m Für x = x 0 folgt dann f ( (x 0 = b bzw b = f ( (x 0 Damit gilt : f(x = n f (m (x 0 m! (x x 0 m m=0 1

2 In anderen Worten : f(x läßt sich durch Kenntnis von f(x 0, f (x 0,, f (n (x 0 darstellen Satz (Taylor Sei I R ein offenes Intervall, f I und x 0 I Dann gilt 1 x I ist f(x = n (n + 1-mal stetig differenzierbar auf f ( (x 0 (x x 0 + R n (x, x 0 2 Für R n (x, x 0 gilt nach Lagrange R n (x, x 0 = f n+1 (ξ (n+1! (x x 0 n+1 wobei x 0 < ξ < x bzw x < ξ < x 0 oder in Standardschreibweise R n (x, x 0 = f n+1 (x 0 +ϑ(x x 0 (n+1! (x x 0 n+1, 0 < ϑ < 1 Bemerung i T n (x, x 0 = n f ( (x 0 (x x 0 heißt Taylorpolynom (n-ter Ordnung ii R n (x, x 0 = f n+1 (ξ (n+1! (x x 0 n+1 heißt Restglied nach Lagrange Beweis ObdA sei x > x 0, x fest Betrachte die Hilfsfuntion g(t = f(x f(t f (t(x t f (t 2! (x t 2 f (n (t (x t n m (x tn+1 (n+1! mit t [x 0, x] wobei m = m(x, x 0 so gewählt wird, dass g(x 0 = 0 Nachdem auch g(x = 0 ist, sind die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt, daher ξ (x 0, x mit g (ξ = 0 g (ξ = 0 f (ξ f (ξ(x ξ + f (ξ f (ξ 2! (x ξ 2 + f (ξ(x ξ f (n+1 (ξ (x ξ n + f (n (ξ (n 1! (x ξn 1 + m (x ξn = 2

3 f (n+1 (ξ (x ξ n + m (x ξn = 0 Daraus folgt m = f (n+1 (ξ Setzen wir nun in g(t für t = x 0, so erhalten wir die Taylor-Formel Bemerung Wenn f beliebig oft differenzierbar ist, dann gilt die Taylor-Formel für jedes n N Dann ist das Taylor-Polynom T n (x, x 0 = n f ( (x 0 (x x 0 für jedes feste x I die n-te Teilsumme f der unendlichen Reihe ( (x 0 (x x 0 Dies ist die sogenannte zugeordnete Taylor-Reihe von f bzgl des Entwiclungspuntes x 0 Da der Satz von Taylor nichts über die Konvergenz dieser Reihe aussagt, stellt sich die Frage, an welchen Stellen x I die Reihe onvergiert und unter welchen Bedingungen die Summe der Reihe gleich f(x ist (dh die Taylor-Reihe die Funtion darstellt Aus der Taylor-Formel und der Defintion der Konvergenz unendlicher Reihen folgt sofort Satz Sei f beliebig oft differenzierbar auf I Dann gilt f(x = ist f ( (x 0 (x x 0 genau dann, wenn lim n R n (x, x 0 = 0 Bemerung Falls lim n R n (x, x 0 = a 0, dann onvergiert zwar die Taylor-Reihe, aber nicht gegen f(x Beispiel Betrachte f(x = { e 1 x 2 x 0 0 x = 0 Für jedes x R gilt f ( (0 = 0 N, also ist die Taylor-Reihe stellt f nur an der Stelle x = 0 dar f ( (0 x 0, dh 3

4 Gibt es auf dem Bereich [x 0, x] bzw [x, x 0 ] allerdings eine gemeinsame Schrane für die Ableitungen, dann wird f(x durch die Taylor-Reihe dargestellt Satz Sei f beliebig oft differenzierbar auf I Wenn eine Konstante K > 0 (unabhängig von existiert mit max f ( (ξ K (bzw [x 0,x] max f ( (ξ K, dann stellt die Taylor-Reihe die Funtion f an der [x,x 0 ] Stelle x dar Beweis R n (x, x 0 = f n+1 (x 0 +ϑ(x x 0 (n+1! (x x 0 n+1 K x x 0 n+1 (n+1! 0 für n Wir bestimmen nun die Taylor-Reihen der elementaren Funtionen Satz e x = x für alle x R Beweis f(x = e x ist beliebig oft differenzierbar auf R, und es gilt f ( (x = e x für alle N Damit ist f ( (0 = 1 0 Mit x 0 = 0 ist T n (x, x 0 = T n (x, 0 = n x Für beliebiges und festes x R gilt max [0,x] e ξ = 1 für jedes N max [x,0] f ( (ξ = max [x,0] f ( (ξ = max e ξ = e x [0,x] bzw Damit wird die Funtion e x in jedem x R durch ihre Taylor-Reihe dargestellt, ie e x = x Satz ln(1 + x = =1 +1 x ( 1 für alle x ( 1, 1] Beweis f(x = ln(1 + x ist beliebig oft differenzierbar auf ( 1, 4

5 und für alle N gilt f ( (x = ( 1!( 1+1 (1+x f ( (0 = ( 1+1 Mit f(0 = 0 gilt dann für x ( 1, : T n (x, 0 = n =1 +1 x ( 1 Man ann zeigen, dass die Funtion durch ihre Taylor-Reihe auch dargestellt wird Betreffend der Taylor-Reihe für die Potenzfuntion ( (1 + x α erwähnen wir zuerst, dass man zeigen ann, dass lim α x = 0 für α R und x ( 1, 1 gilt, wobei ( α = α(α 1(α +1 Satz (1 + x α = ( α x für α R, α / N 0 und x ( 1, 1 Beweis Die Funtion f(x = (1 + x α ist auf ( 1, beliebig oft differenzierbar und es gilt dort für alle N f ( (x = α(α 1(α + 1(1 + x α f f(0 = 1, ( (0 = ( α Somit ist für alle x ( 1, : T n (x, 0 = n ( α x Man ann zeigen, dass die Funtion durch ihre Taylor-Reihe auch dargestellt wird Satz cosh x = x 2 (2! und sinh x = x 2+1 (2+1! x R Beweis (für cosh x f(x = cosh x ist auf R beliebig oft differenzierbar und für alle 0 gilt f (2 (x = cosh x, f (2+1 (x = sinh x Somit ist für alle x R T n (x, 0 = [ n 2] x 2 (2! 5

6 Auf I = [0, x] bzw I = [x, 0] gelten die Abschätzungen f (2 (ξ = cosh ξ max f (2 (ξ = cosh x, ξ I f (2+1 (ξ = sinh ξ max f (2+1 (ξ = sinh x ξ I Somit stellt die Taylor-Reihe die Funtion auf ganz R dar Satz cos x = ( 1 x2 (2! und sin x = ( 1 x2+1 (2+1! x R Beweis (für cos x f(x = cos x ist auf R beliebig oft differenzierbar und für alle 0 gilt f (2 (x = ( 1 cos x, f (2+1 (x = ( 1 sin x Somit ist T n (x, 0 = [ n 2] ( 1 x2 (2! Wegen cos x 1 und sin x 1, mithin max f (2 (ξ 1 und ξ R f (2+1 (ξ 1, stellt die Taylor-Reihe die Funtion auf ganz R max ξ R dar 6

Ähnliche Dokumente

Fourierreihen. Definition. Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T, wenn f(x + T ) = f(x)

Fourierreihen. Definition. Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T, wenn f(x + T ) = f(x) Fourierreihen Einer auf dem Intervall [, ] definierten Funtion f(x) ann ein (approximierendes) trigonometrisches Polynom (Fourier-Polynom) der Gestalt S n (x) = a + n a cos x + n b sin x zugeordnet werden.