Taylor-Entwicklungen und Taylor-Polynome.

Transkript

1 Taylor-Entwicklungen und Taylor-Polynome. Ausgangsfrage: Wie kann manf(x) in der Nähe vonx 0 approximieren? 0. Antwort:f(x) f(x 0 ) fürx x Antwort: Ist f differenzierbar, so gilt f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) +o(x x }{{} 0 ) Polynom vom Grad 1 2. Antwort: Ist f zweimal differenzierbar, so gilt f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+f (x 0 ) (x x 0) 2 +o ( (x x 0 ) 2), }{{ 2 } Polynom vom Grad 2 denn es gilt f (x) = f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+o(x x 0 ) Hinweis: Integration über[x 0,x] liefert die zweite Antwort. 179

2 Satz (Satz von Taylor): Seif : [a,b] R einec n -Funktion undx 0 (a,b). Dann gilt f(x) = T n (x;x 0 )+o((x x 0 ) n ) mit dem (eindeutig bestimmten) Taylor-Polynom T n (x;x 0 ) := n f (k) (x 0 ) k! Den Punktx 0 nennt man den Entwicklungspunkt. (x x 0 ) k IstfeineC n+1 -Funktion, so gilt die Lagrange-Restgliedformel n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k +R n (x;x 0 ) k! R n (x;x 0 ) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0) n+1 für einξ = x 0 +θ(x x 0 ) mitθ (0,1). 180

3 Zur Form des Taylorschen Polynoms. Ziel: Approximiere f durch ein Polynom der Form n T(x) = a k (x x 0 ) k mita k R. Forderungen:f (j) (x 0 ) = T (j) (x 0 ) fürj = 0,1,...,n. Beachte: Für die j-te Ableitung von T(x) gilt n T (j) (x) = a k k(k 1)... (k j+1)(x x 0 ) k j k=j und weiterhint (j) (x 0 ) = a j j! = f (j) (x 0 ) mit der obigen Forderung. Somit gilt T(x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k T n (x;x 0 ). k! 181

4 Restgliedformeln für das Taylorsche Polynom. Ausgangspunkt. Mit dem Satz von Taylor giltf(x) = T n (x;x 0 )+R n (x;x 0 ). Integraldarstellung: R n (x;x 0 ) = 1 n! x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt Cauchy-Restgliedformel: R n (x;x 0 ) = f(n+1) (ξ) n! mitξ = x 0 +θ(x x 0 ),θ (0,1) Schlömilch-Restgliedformel: (x x 0 ) n+1 (1 θ) n R n (x;x 0 ) = f(n+1) (ξ) p n! (x x 0 ) n+1 (1 θ) n+1 p mitξ = x 0 +θ(x x 0 ),θ (0,1),p {1,2,...,n+1}. 182

5 Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunktx 0 = 0 die Darstellung mit dem Lagrange-Restglied exp(x) = 1+x+ x xn n! +R n(x;0) R n (x;0) = exp(ξ) (n+1)! xn+1 fürξ = θx mit0 < θ < 1 Daraus bekommt man für0 x 1 die Fehlerabschätzung R n (x;0) = exp(ξ) (n+1)! xn+1 e (n+1)! Beispiel: Fürn = 10 bekommt man R 10 (x;0)

6 Taylor-Entwicklung der Sinusfunktion. Betrachte die Sinusfunktion f(x) = sin(x). Zunächst gilt: d dx sin(x) = cos(x) und d dx cos(x) = sin(x) Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunktx 0 = 0 die Darstellung sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±...+( 1)n x2n+1 (2n+1)! +R 2n+2(x;0) mit dem Lagrange-Restglied n+1 cos(ξ) R 2n+2 (x;0) = ( 1) (2n+3)! x2n+3 fürξ = θx mit0 < θ < 1 Beispiel: Fürx [ π/6,π/6],x 0 undn = 3 bekommt man R 8 (x;0) 1 9! x 9 1 ( π ) 9 9!

7 Bemerkungen zu Taylor-Reihen. Die Taylor-Reihe T (x;x 0 ) = f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k einerc -Funktionfist im Allgemeinen nicht konvergent. Falls die Taylor-ReiheT (x;x 0 ) vonfkonvergiert, so konvergiertt (x;x 0 ) nicht notwendigerweise gegen f. Falls jedoch f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! gilt, so nennt man die Funktion f reell analytisch, zum Beispiel: x k exp(x) = k!, cos(x) = ( 1) k x2k (2k)!, sin(x) = ( 1) k x2k+1 (2k+1)!. 185

8 Folgerung aus dem Satz von Taylor. Satz: Gilt für einec n+1 -Funktionf : [a,b] R x [a,b] : f (n+1) (x) = 0, so ist f(x) ein Polynom höchstens n-ten Grades. Beweis: Für das Lagrange-Restglied gilt R n (x;x 0 ) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0) n+1 = 0 und somit f(x) T n (x;x 0 ) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! 186

9 Beispiel: Taylor-Entwicklung für Polynome. Ist die Funktionfein Polynom vom Gradn, d.h.fbesitzt die Darstellung f(x) = n a k x k mita n 0, so ist für einen beliebigen Entwicklungspunktx 0 R das Taylor-PolynomT n (x;x 0 )n-ten Grades vonfumx 0 gegeben durch T n (x;x 0 ) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! und es giltf T n, d.h.fundt n sind identisch auf ganzr. Das Taylor-PolynomT n stelltfin der Polynombasis { (x x 0 ) k} n dar. Für den Entwicklungspunktx 0 = 0 gilta k = f(k) (0) k!,0 k n, und somit n f (k) (0) T n (x;0) f(x) = x k. k! 187

10 Auswertung von Polynomen durch Horner-Schema. Seipein Polynom von Gradnmit der Darstellung p(x) = n a k (x x 0 ) k mita n 0, für einx 0 R. Dann lässt sichpwie folgt darstellen. p(x) = a 0 +(x x 0 )(a 1 +(x x 0 )(...+(x x 0 )(a n 1 +(x x 0 )a n )...)) Dann wertet man p stabil und effizient mit dem Horner-Algorithmus aus. y := 0; for k = n,n-1,...,0 y := a(k) + (x-x0)*y; end; Beispiel: Fürp(x) = 30(x 1) (x 1) (x 1)+43 gilt p(x) = 43+(x 1)(108+(x 1)(100+(x 1)30)). 188

11 Konvergenz des Newton-Verfahrens. Satz: Seif : [a,b] R einec 2 -Funktion undx (a,b) eine einfache Nullstelle dieser Funktion. Dann ist das Newton-Verfahren x n+1 = x n f(x n) f (x n ) mit Startwertenx 0 in der Nähe vonx quadratisch konvergent. Beweis: Betrachte Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung umx n [a,b], f(x) = f(x n )+f (x n )(x x n )+ f woraus fürx = x mitf(x ) = 0 undf (x ) 0 folgt (ξ n ) (x x n ) 2 2 und somit f(x n) f (x n ) = (x x n )+ f (ξ n ) 2f (x n ) (x x n ) 2. (x n+1 x ) = f (ξ n ) 2f (x n ) (x n x )

12 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema. Satz: Seif : [a,b] R einec 2 -Funktion mitf (x 0 ) = 0 für einx 0 (a,b). (a) Fallsf (x 0 ) > 0, dann hatfinx 0 ein strenges lokales Minimum. (b) Fallsf (x 0 ) < 0, dann hatfinx 0 ein strenges lokales Maximum. Beweis von (a): Mit der Lagrange-Restgliedformel gilt die Darstellung für einξ = x 0 +θ(x x 0 ) mitθ (0,1). f(x) = f(x 0 )+ f (ξ) (x x 0 ) 2 2! Daf stetig ist, istf in einer Umgebung vonx 0 positiv, d.h. es gilt f (x) > 0 für allex (x 0 ε,x 0 +ε), für einǫ > 0. In diesem Fall besitztfinx 0 ein strenges lokales Minimum. Teil (b) beweist man analog. 190

13 Hinreichende Kriterien für lokale Extrema. Problem: Was passiert im Fallf (x 0 ) = f (x 0 ) = 0? Hier gibt es zwei Möglichkeiten: Der stationäre Punktx 0 ist ein strenges lokales Extremum. Der stationäre Punktx 0 ist ein Wendepunkt. Satz: Seif : [a,b] R einec 2n -Funktion mit f (k) (x 0 ) = 0 für1 k 2n 1 für einx 0 (a,b). (a) Fallsf (2n) (x 0 ) > 0, dann hatfinx 0 ein strenges lokales Minimum. (b) Fallsf (2n) (x 0 ) < 0, dann hatfinx 0 ein strenges lokales Maximum. Beweis(idee): Mit der Lagrange-Restgliedformel gilt f(x) = f(x 0 )+ f(2n) (ξ) (2n)! (x x 0 ) 2n, für einξ (x 0,x). 191

14 Beispiel. Betrachte die Funktionf(x) = x 5 x 4. Es gilt 3 f (x) = 5x 4 4x 3 f (x) = 20x 3 12x 2 f (3) (x) = 60x 2 24x f (4) (x) = 120x 24 Weiterhin f (0) = f (0) = f (3) (0) = 0 sowief (4) (0) = f(x) = x 5 x 4. Somit besitztfinx 0 = 0 ein strenges lokales Maximum. Weiterhin besitztfinx 1 = 4/5 ein strenges lokales Minimum, denn es giltf (4/5) = 0 undf (4/5) = 64/25 >

15 Konvexität und Konkavität. Definition: Eine Funktionf : [a,b] R heißt konvex, falls für allea x 1 < x < x 2 b gilt f(x) f(x 1 )+ x x 1 x 2 x 1 (f(x 2 ) f(x 1 )). streng konvex, falls für allea x 1 < x < x 2 b gilt f(x) < f(x 1 )+ x x 1 x 2 x 1 (f(x 2 ) f(x 1 )). konkav, falls für allea x 1 < x < x 2 b gilt f(x) f(x 1 )+ x x 1 x 2 x 1 (f(x 2 ) f(x 1 )). streng konkav, falls für allea x 1 < x < x 2 b gilt f(x) > f(x 1 )+ x x 1 x 2 x 1 (f(x 2 ) f(x 1 )). 193

16 Kriterien für Konvexität und Konkavität. Satz: SeifeineC 2 -Funktion auf[a,b]. Dann gilt: f ist konvex, genau dann wennf (x) 0 für allex (a,b); f ist konkav, genau dann wennf (x) 0 für allex (a,b). f streng konvex (Linkskurve) f streng konkav (Rechtskurve) Bemerkung: Für einec 1 -Funktionfgilt: Falls f streng konvex, so liegt der Graph von f oberhalb seiner Tangente. Falls f streng konkav, so liegt der Graph von f unterhalb seiner Tangente. 194

17 Wendepunkte. Definition: Eine Funktionf : [a,b] R hat inx 0 (a,b) einen Wendepunkt, falls eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist. f ist für einε > 0 konvex in(x 0 ε,x 0 ) [a,b] und konkav in (x 0,x 0 +ε) [a,b] (Links-Rechtskurve). f ist für einε > 0 konkav in(x 0 ε,x 0 ) [a,b] und konvex in (x 0,x 0 +ε) [a,b] (Rechts-Linkskurve). f(x 0 ) x 0 Links-Rechtskurve inx

18 Kriterien für Wendepunkte. Satz: Seif : [a,b] R einec 3 -Funktion. (a) Notwendiges Kriterium: Istx 0 (a,b) ein Wendepunkt, so gilt:f (x 0 ) = 0. (b) Hinreichende Kriterien: Giltf (x 0 ) = 0 undf (3) (x 0 ) > 0 für einx 0 (a,b), so istx 0 ein Wendepunkt vonfmit Rechts-Linkskurve. Giltf (x 0 ) = 0 undf (3) (x 0 ) < 0 für einx 0 (a,b), so istx 0 ein Wendepunkt vonfmit Links-Rechtskurve. Beweis: (a) folgt direkt aus der Stetigkeit vonf und der Eigenschaft vonx 0. Zu Teil (b): Ausf (x 0 ) = 0 undf (3) (x 0 ) > 0 folgt f (x) < 0 fürx (x 0 ε,x 0 ) und f (x) > 0 fürx (x 0,x 0 +ε) für einε > 0. Somit istfkonkav in(x 0 ε,x 0 ) und konvex in(x 0,x 0 +ε), d.h.x 0 ist Wendepunkt mit Rechts-Linkskurve. Analog die andere Aussage. 196

19 Beispiel. Betrachte die Funktionf(x) = x 4 x 3. Es gilt 2 f (x) = 4x 3 3x 2 f (x) = 12x 2 6x f (x) = 24x sowie 0.5 f (0) = 0 f (0) = 0 f (0) = f(x) = x 4 x 3. Somit hatfinx 0 = 0 einen Wendepunkt (Links-Rechtskurve). Weiterhin hatfein lokales Minimum inx 1 = 3/4, dennf (3/4) = 0 undf (3/4) = 9/4 > 0. Frage: Gibt es weitere Wendepunkte? 197