Definition: Differenzierbare Funktionen

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1 Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ f(x) f(ξ) x ξ Ist die Funktion f an der Stelle ξ differenzierbar, so heißt f (ξ) = lim x ξ f(x) f(ξ) x ξ die (erste) Ableitung von f (an der Stelle ξ). Anschaulich: Die Funktion f besitzt an der Stelle ξ eine eindeutige Tangente, die die Steigung f (ξ) besitzt.

2 Beispiel: Differenzierbare Funktionen Für differenzierbare Funktionen: Konstante Funktionen f(x) = c sind für alle ξ R differenzierbar mit Ableitung f (ξ) = 0. Die Identitätsfunktion g(x) = x ist für alle ξ R differenzierbar mit Ableitung g (x) = 1. Für nicht-überall differenzierbare Funktionen: Die Betragsfunktion h(x) = x ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. 2/12

3 Differenzierbarkeit = Stetigkeit 3/12 Aus Stetigkeit folgt nicht Differenzierbarkeit (z.b. Betragsfunktion), aber umgekehrt: Satz. Ist die Funktion f :]a, b[ R an der Stelle ξ differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. BEWEIS. Wir müssen zeigen: Es ist lim f(x) = f(ξ) bzw. lim f(x) f(ξ) = 0. x ξ x ξ lim f(x) f(ξ) = lim x ξ x ξ f(x) f(ξ) (x ξ) = f (ξ) 0 = 0. x ξ

4 Differentiationsregeln Satz. Die Funktionen f :]a, b[ R und g :]a, b[ R seien an der Stelle ξ differenzierbar. Dann sind es auch die Funktionen f + g, f g, f, falls g(ξ) 0. g Die Ableitungen werden durch die folgenden Formeln gegeben: (f + g) = f + g, (f g) = f g + g f, ( ) f = f g f g. g g 2 Spezialfall. Ist f(x) = α eine konstante Funktion, so gilt (f g) = (αg) = αg. 4/12

5 Beispiel: Rationale Funktionen Sei f(x) = x n, dann ist f (x) = nx n 1. 5/12 BEWEIS. n = 0: Dann ist f(x) = 1 und f (x) = 0 = 0 x 1. n > 0: Dann ist f (x) = (x n ) = (x n 1 x) = x n 1 1+(n 1)x n 2 x = nx n 1. Sei g(x) = 3x 2 + 2x + 7. Dann ist g (x) = 3 (2x) = 6x + 2. Sei h(x) = 3x2 +2x+7. Dann ist x 2 h (x) = x2 (6x + 2) (3x 2 + 2x + 7)2x x 4.

6 Die Kettenregel Wie bestimmt man (sin(x 2 ))? Satz. (Kettenregel) Es seien f :]a, b[ R und g :]c, d[ R Funktionen und es gelte f(]a, b[) ]c, d[. Ist f an der Stelle ξ differenzierbar und g an der Stelle f(ξ) differenzierbar, dann ist auch g f an der Stelle ξ differenzierbar (wobei (g f)(x) = g(f(x))). Die Ableitung wird durch die folgende Formel gegeben: (g f) (ξ) = g (f(ξ)) f (ξ). Hier. f(x) = x 2, g(x) = sin x (g (x) = cos x lernen wir bald), also (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = cos(x 2 ) 2x. 6/12

7 Höhere Ableitungen Leite die Ableitung ab. 0-te Ableitung f (0) (x) = f(x) 1-te Ableitung f (1) (x) = f (x) 2-te Ableitung f (2) (x) = (f ) (x) = f (x) 3-te Ableitung f (3) (x) = (f ) (x) = f (x). k-te Ableitung f (k) = (f (k 1) ) (x) Funktion selbst Tangentensteigung Krümmung Beispiel: f(x) = x n, f (x) = nx n 1, f (x) = n(n 1)x n 2,... Vorsicht/Ärgerlich! Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muß nichteinmal stetig sein. Beispiel: f(x) = x 2 sin 1 x an der Stelle 0. 7/12

8 Lokale Maxima 1 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Eine Stelle ξ ]a, b[ heißt lokales Maximum, wenn es ein ε > 0 gibt, so daß für alle x ]ξ ε, ξ + ε[ die Ungleichung f(ξ) f(x) gilt. 8/12

9 Lokale Maxima 2 9/12 Satz. Ist f :]a, b[ R differenzierbar und ξ ]a, b[ ein lokales Maximum von f, so gilt f (ξ) = 0. BEWEIS. Es sei h ] ε, ε[. h > 0: f(ξ+h) f(ξ) h 0. h < 0: f(ξ+h) f(ξ) h 0. Zusammen: lim h 0 f(ξ+h) f(ξ) h = 0. Weitere Bemerkungen: Analog: Lokale Minima. Umkehrung des Satzes gilt nicht (f(x) = x 3 an der Stelle 0). Bestimmung globaler Maxima: Randpunkte beachten!

10 Der Mittelwertsatz 1 Kann man aus dem lokalen Verhalten einer differenzierbaren Funktion auf das globale Verhalten schließen? In welcher Weise wird eine Funktion durch ihre Ableitung bestimmt? Satz. (Mittelwertsatz) Sei f : [a, b] R eine im Intervall [a, b] stetige und im Intervall ]a, b[ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein ξ ]a, b[, so daß f (ξ) = f(b) f(a). b a 10/12

11 Der Mittelwertsatz 2 Satz. (spezieller MWS) Sei f : [a, b] R eine im Intervall [a, b] stetige und im Intervall ]a, b[ differenzierbare Funktion mit f(a) = f(b). Dann gibt es ein ξ ]a, b[, so daß f (ξ) = 0. BEWEIS. 1. Fall: f ist konstant. Dann ist alles klar. 2. Fall: f ist nicht konstant. Da f in [a, b] stetig ist, nimmt f Maximum und Minimum an. Da f nicht konstant ist, gibt es ein lokales Extremum an einer Stelle ξ ]a, b[. Dort ist f (ξ) = 0. Der Mittelwertsatz ergibt sich aus dem dem speziellen Mittelwertsatz durch eine Variablentransformation. 11/12

12 Der Mittelwertsatz 3 Eine differenzierbare Funktion ist durch ihre Ableitung im wesentlichen eindeutig bestimmt. Satz. Seien f : [a, b] R, g : [a, b] R im Intervall [a, b] stetige und im Intervall ]a, b[ differenzierbare Funktionen mit f (x) = g (x), x ]a, b[. Dann gibt es eine Konstante C, so daß f(x) g(x) = C für alle x ]a, b[ gilt. BEWEIS. Sei c ]a, b[. Wende den Mittelwertsatz auf die Funktion h : [a, c] R, h(x) = f(x) g(x) an. Es ist h(c) h(a) c a = h (ξ) = f (ξ) g (ξ) = 0. Damit h(c) = h(a), bzw. f(c) = g(c) + h(a). Also C = h(a). 12/12