Differentialrechnung

Transkript

1 Differentialrechnung Um Funktionen genauer zu untersuchen bzw. sie zu analysieren, ist es notwenig, etwas über ihren Verlauf, as qualitative Verhalten er Funktion, sagen zu können. Das heisst, wir suchen Antworten auf ie Fragen: 1. Wo wächst ie Funktion an? 2. Fallen ie Funktionswerte in einem Bereich? 3. Wo nimmt ie Funktion en maximalen Funktionswert an, wo en minimalen? 4. Wie sieht ie Funktion für unenlich große positive un negative Werte aus? D. Horstmann: Oktober

2 Die Ableitung einer Funktion Den Graphen einer Funktion kann man näherungsweise urch Geraenstücke approximieren. Die Steigung DQ f (x 0,h) eines solchen Geraenabschnittes im Intervall (x 0,x 0 + h) ist urch DQ f (x 0,h)= f(x 0 + h) f(x 0 ) h gegeben. Je kleiner h wir, um so mehr approximiert ie Steigung eines solchen Geraenabschnittes ie Steigung einer Tangente an en Graphen er Funktion f in em Punkt (x 0,f(x 0 )). Die Steigung ieser Tangente bezeichnet man als ie Steigung er Funktion in x 0 un bezeichnet sie mit f (x 0) oer f (x 0 ). Falls also er Grenzwert f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h existiert, so gilt f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim. h 0 h Notwenig für ie Existenz es Grenzwertes ist hierbei, ass ie Funktion f stetig ist. D. Horstmann: Oktober

3 Die Ableitung einer Funktion Beispiel 26. Betrachten wir ie urch ie Funktionsgleichung f(x) =x 2 gegebene Funktion. Wir wollen ie Steigung ieser Funktion an er Stelle x 0 =2berechnen. Es gilt: DQ x 2(2,h) = (2 + h)2 (2) 2 h = (4 + 4h +(h)2 ) 4 h = 4 + h. D.h., ass f (2 + h) 2 (2) 2 (2) = lim h 0 h gilt. Für ein beliebiges x 0 IR ergibt ies, ass = lim h 0 4+h =4 f (x 0 ) = lim h 0 (x 0 + h) 2 (x 0 ) 2 h = lim h 0 2x 0 h =2x 0 gilt. D. Horstmann: Oktober

4 Die Ableitung einer Funktion Beispiel 27. Es gilt: Schauen wir uns nun ie Betragsfunktion f(x) = x an er Stelle x 0 =0an. DQ x (x 0,h 0 )= h h ist. Das beeutet aber, ass DQ x (x 0,h)= 1 für h links un DQ x (x 0,h)=1rechts von x 0 =0 gilt. Somit existiert lim DQ x (x 0,h) nicht un wir können ie Steigung in h 0 x 0 =0nicht berechnen. D. Horstmann: Oktober

5 Die Ableitung einer Funktion Statt er Steigung einer Funktion spricht man auch von ihrer Ableitung. Definition 18. Es sei f : D IR IR eine Funktion. Die Funktion f heißt an er Stelle x 0 D ifferenzierbar, wenn f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) existiert. Ist ie Funktion f an jeer Stelle x 0 D ifferenzierbar, so nennt man f kurz ifferenzierbar. Die Funktion f f : D IR IR (bzw. ) heißt ann ie Ableitung er Funktion f oer kurz ie Ableitung. Ist f stetig, so nennt man ie Funktion f stetig ifferenzierbar. D. Horstmann: Oktober

6 Die Ableitung einer Funktion Lemma 6. Ist f : D IR eine ifferenzierbare Funktion un gilt f (x) 0 in ganz D (f (x) >xin ganz D), so ist f (streng) monoton wachsen. Gilt hingegen f (x) 0 in ganz D (f (x) <xin ganz D), so ist f (streng) monoton fallen. Analog zu er ersten Ableitung einer Funktion kann man auch weitere Ableitungen er Funktion f erklären, inem man z. B. als zweite Ableitung er Funktion f ie erste Ableitung er Funktion f efiniert. Für n-te Ableitung er Funktion f wir ie Notation verwenet. f (n) oer n f n D. Horstmann: Oktober

7 Differentiationsregeln Es ist nicht nötig zur Berechnung er Ableitung einer Funktion stets ie jeweiligen Grenzwertbetrachtungen urchzuführen. Stattessen kann man auf ie nachfolgenen Rechenregeln zurückgreifen: (xn ) = n x n 1 für alle n IR, (exp(x)) = exp(x), (ln(x)) = 1 x. Insbesonere folgt aus er ersten Ableitungsregel, ass ie Ableitung einer Konstanten stets gleich Null ist. D. Horstmann: Oktober

8 Differentiationsregeln Sin f := D IR un g : D IR zwei beliebige ifferenzierbare Funktionen, so gilt: f (f(x) +g(x)) = f (f(x) g(x)) = g(x) ( ) f(x) = g(x) (x) +g (x), (16) (x) +f(x)g (x), (17) f g g(x) (x) f(x) (x). (18) (g(x)) 2 Die zweite Ableitungsregel bezeichnet man als Proukt-un ie ritte Ableitungsregel als Quotientenregel. D. Horstmann: Oktober

9 Differentiationsregeln Beispiel 28. Es seien f(x) =sin(x) un g(x) :=x 3/4.Dannist: ( sin(x) +x 3/4) = cos(x) x 1/4, ( sin(x) x 3/4) = cos(x) x 3/ x 1/4 sin(x), ( ) sin(x) x 3/4 = cos(x) x3/4 3 4 x 1/4 sin(x) x 6/4 = cos(x) x 3 4 sin(x) x 7/4. D. Horstmann: Oktober

10 Differentiationsregeln Sin hingegen f := D W un g : W IR zwei ifferenzierbare Funktionen, so gilt für ie Hintereinanerausführung g(f(x)) ieser beien Funktionen: Diese Rechenregel nennt man auch ie Kettenregel. f g (g (f(x))) = (x) (f(x)). (19) Beispiel 29. Es seien erneut f(x) = sin(x) un g(x) := x 3/4. Dann ist g(f(x)) = (sin(x)) 3/4. Berechnet man nun nach er Kettenregel ie Ableitung ieser Hintereinanerausführung, so erhält man: ( ) (g (f(x))) = (sin(x)) 3/4 ) ( ) 3 = cos(x) 4 (sin(x)) 1/4. D. Horstmann: Oktober

11 Differentiationsregeln Wenn man zu einer Funktion f : D W auch ie Umkehrfunktion f 1 : W D kennt,.h. f ( f 1 (x) ) = x, solässt sich ie Ableitung er Umkehrfunktion mit Hilfe er nachfolgenen Regel bestimmen. (Man beachte hierbei, ass f 1 (x) (f(x)) 1 gilt.) Offensichtlich gilt ( ( )) (x) =1= f f 1 (x). ( ( Wenet man hingegen auf f f 1 (x) )) ie Kettenregel an, so sieht man, ass ( f ( )) f 1 (x) = f 1 f ( ) (x) f 1 (x) gilt. Wenn nun f ( f 1 (x) ) 0ist, so erhalten wir auf iese Weise, ass f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)) ist. D. Horstmann: Oktober

12 Differentiationsregeln Beispiel 30. Wenn wir ie Ableitung er Logarithmusfunktion mit Hilfe er angegebenen allgemeinen Formel zur Berechnung er Ableitung von Umkehrfunktionen bestimmen, ergibt sich: (ln(x)) = f 1 = = = (x) 1 f (f 1 (x)) 1 ( exp) (ln(x)) 1 exp (ln(x)) = 1 x. D. Horstmann: Oktober

13 Differentiationsregeln Eine Funktion ist konvex, wenn 2 f 2(x) 0 für alle x D erfüllt ist. Eine Funktion f ist in ihrem Definitionsbereich D konkav (nach rechts gekrümmt), wenn 2 f 2(x) 0 für alle x D gilt. D. Horstmann: Oktober

14 Mittelwertsatz Abbilung 5: Geometrische Interpretation es Mittelwertsatzes. Lemma 7. [Mittelwertsatz] Es sei a<bun f :[a, b] IR eine stetige un in em offenen Intervall (a, b) ifferenzierbare Funktion. Dann existiert ein ξ (a, b), soass f(b) f(a) b a = f (ξ) ist. D. Horstmann: Oktober

15 Mittelwertsatz Definition 19. Es sei D IR un f : D IR eine ifferenzierbare Funktion. Dann nennt man für ξ D en Punkt (ξ, f(ξ)) einen kritischen Punkt von f, falls f (ξ) =0ist. Folgerung 2. Es sei a < b un f : [a, b] IR eine ifferenzierbare Funktion mit f(a) =f(b). Dannexistierteinξ (a, b) mit f (ξ) =0. Lemma 8. Es sei D IR un f : D IR eine ifferenzierbare Funktion. Weiter sei f in x 0 D zweimal ifferenzierbar mit f (x 0 )=0un f (x 0 ) > 0. Dann besitzt ie Funktion f an er Stelle x 0 ein strenges lokales Minimum. Ist hingegen f (x 0 )=0un f (x 0 ) < 0, so hat ie Funktion f an er Stelle x 0 ein strenges lokales Maximum. Anmerkung 11. Falls ie Funktion f in x 0 reimal stetig ifferenzierbar ist un f (x 0 )= f (x 0 )=0sowie f (x 0 ) 0gilt, so ist er Punkt (x 0,f(x 0 )) ein Sattelpunkt. D. Horstmann: Oktober