Differential- und Integralrechnung

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1 Universität Paerborn, en Differential- un Integralrechnung Ein Repetitorium vor er Klausur Kai Gehrs 1

2 Übersicht Inhaltlicher Überblick: I. Differentialrechnung I.1. Differenzierbarkeit un er Begriff er Ableitung I.2. Ableitungsregeln I.3. Anwenungen: Extrem- un Wenestellen I.4. Anwenungen: Taylor-Reihen II. Integralrechnung II.1. Grunlegene Definitionen II.2. Hauptsätze er Differential- un Integralrechnung II.3. Integrationsregeln II.4. Anwenungen: Berechnung von Flächen 2

3 I.1. Differenzierbarkeit un er Begriff er Ableitung Definition 1. Eine Funktion f : D R heißt ifferenzierbar am Punkt x, wenn er Grenzwert f (x) := lim h 0 f (x + h) f (x) h existiert. Der Grenzwert f (x) heißt Ableitung von f am Punkt x. Für f (x) schreibt man auch x f (x). Bemerkung 2. Ist eine Funktion an einem Punkt ifferenzierbar, so ist sie ort auch stetig: f (x + h) f (x) lim existiert f (x + h) f (x) = O(h) h 0 h f (x + h) = f (x) + O(h) lim f (x + h) = f (x). h 0 Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten ifferenzierbar sein. 3

4 I.1. Differenzierbarkeit un er Begriff er Ableitung Bemerkung 3. Eine geometrische Interpretation er Ableitung an einer Stelle ist er Übergang von Sekanten- zu Tangentensteigung. Zur Erinnerung an ie Schule: ie Tangente t urch en Punkt (x 0, f (x 0 )) mit er Steigung f (x 0 ) ist er Graph er linearen Funktion t(x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). [ies sin ie ersten zwei Glieer er Taylor-Reihe von f (x)!!!] 4

5 I.1. Differenzierbarkeit un er Begriff er Ableitung Beispiel 4. Betrachte f (x) = x 2 : f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h 2 x h + h 2 = lim h 0 h = lim h 0 (x + h) 2 x 2 h = lim h 0 (2 x + h) = 2 x. Beispiel 5. Nicht alle Funktionen sin ifferenzierbar. Es gibt einfache Beispiele nicht ifferenzierbarer Funktionen, etwa f (x) = x. Diese Funktion ist in x 0 = 0 stetig, aber nicht ifferenzierbar. Beispiel 6. Hier noch einige wichtige Funktionen un ihre Ableitung (kein Anspruch auf Vollstänigkeit!!!): x c = 0, x x xn = n x n 1, sin(x) = cos(x), x ex = e x, x ln(x) = 1 x, cos(x) = sin(x). x 5

6 I.2. Ableitungsregeln Satz 7. Seien f un g ifferenzierbare Funktionen. Die Ableitung er zusammengesetzten Funktion ( f + g, f g etc.) existiert jeweils, wenn f un g ableitbar sin: x c f (x) = c f (x), x ( ) f (x) + g(x) = f (x) + g (x) (Summenregel), x f (x) g(x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) (Prouktregel) x f (x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) 2 (Quotientenregel). 6

7 I.2. Ableitungsregeln Beispiel 8. Potenzregel: x 3 x = x x1 3 = 1 3 x1 3 1 = 1 3 x 2 3 = x 2 3 = x 2. Beispiel 9. Summen- un Prouktregel: ) ( ) (x + x 2 e x = x x x + ) (x 2 e x ( x ) ( ) ( ) = x x + x x2 e x + x 2 x ex Beispiel 10. Quotientenregel: ( ) x ex x e x x e x x = = x e x + x 2 e x. ( ) x x = ex x e x 1 x 2 x 2 = ex x ex x 2. 7

8 I.2. Ableitungsregeln Satz 11. (Kettenregel) Sei g : D g D f R ifferenzierbar am Punkt x D g. Sei f : D f R ifferenzierbar am Punkt g(x) D f. Dann ist ie Funktion h(x) = f (g(x)) ifferenzierbar am Punkt x, un es gilt: x h(x) = x f (g(x)) = f (g(x)) äußere Ableitung g (x) innere Ableitung Beispiel 12. Ableitung von sin( x)? Für g(x) = x gilt g (x) = x x1 2 = 1 2 x1 2 1 = x 1 2 = x. Zusammen mit f (y) = sin(y), f (y) = cos(y) folgt: x sin( ( ) ( x ) = y sin(y) ) x = cos(y) 1 x 2 1 = cos( x) x 2 x. y. 8

9 I.3. Anwenungen: Extrem- un Wenestellen Satz 13. (Kriterien für Extremstellen) Sei f mehrfach ifferenzierbar. Gilt an einer Stelle x 0 f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0, so ist x 0 ein lokales Maximum. Gilt so ist x 0 ein lokales Minimum. f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0, Satz 14. (Kriterien für Wenestellen) Sei f mehrfach ifferenzierbar. Gilt an einer Stelle x 0 f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) 0, so liegt bei x 0 eine Wenestelle er Funktion vor. 9

10 I.4. Anwenungen: Taylor-Reihen Bemerkung 15. Taylor-Reihen können u.a. afür verwenet weren, komplizierte Funktionen urch einfache anzunähern. In allereinfachster Näherung würe man (für x icht bei x 0 ) f (x) f (x 0 ) setzen. Die nächstbessere Approximation besteht arin, er Tangente am Punkt x 0 zu folgen: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). 10

11 I.4. Anwenungen: Taylor-Reihen Satz 16. Sei f mehrfach am Punkt x 0 ifferenzierbar. Das Polynom T n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k heißt Taylor-Polynom n-ten Graes von f am Entwicklungspunkt x 0. Die unenliche Reihe T (x) = k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k heißt Taylor-Reihe von f am Entwicklungspunkt x 0. 11

12 I.4. Anwenungen: Taylor-Reihen Beispiel 17. Wir berechnen ie Taylor Reihe von f (x) = e x um x 0 = 0. Wegen f (x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = = e x 0 = e 0 = 1 ist ie Taylor Reihe e x = ! (x 0) + 1 2! (x x 0)2 + = k k=0 k!. Für f (x) = sin(x) gilt: Also: f (0) (0) = f (4) (0) = f (8) (0) =... = 0, f (1) (0) = f (5) (0) = f (9) (0) =... = 1, f (2) (0) = f (6) (0) = f (10) (0) =... = 0, f (3) (0) = f (7) (0) = f (11) (0) =... = 1 sin(x) = k=0 f (k) (0) k! x k = k=0 ( 1) k x 2 k+1 (2 k + 1)!. 12

13 II.1. Grunlegene Definitionen Bemerkung 18. Wir betrachten im folgenen nur stetige Funktionen un verzichten auf technische Integrabilitätsbeingungen (Riemannsche Summen, Teilungen von Intervallen etc.). Definition 19. Wir fassen knapp im Sinne er Vorlesung zusammen: F(x) heißt Stammfunktion einer (hinreichen glatten) Funktion f (x), wenn xf(x) = f (x) gilt. Alternativ nennt man F(x) auch as unbestimmte Integral über f (x) un benutzt auch ie Notation F(x) = f (x)x. Die Funktion f (x) unter em Integralzeichen wir als Integran bezeichnet. Bemerkung 20. Stammfunktionen sin nicht eineutig bestimmt!!! 13

14 II.1. Grunlegene Definitionen Beispiel 21. Hier eine Liste von Stammfunktionen für einfache Grunfunktionen: x n x = xn+1 + c, (n 1) n x = ln( x ) + c, x e x x = e x + c, sin(x)x = cos(x) + c, cos(x)x = sin(x) + c. 14

15 II.2. Hauptsätze er Differential- un Integralrechnung Die Definitionen es vorhergehenen Abschnitts machen nur Sinn, weil folgene zentrale Resultate gelten: Satz 22. (Hauptsatz A) Sei f : [a,b] R stetig. Dann ist ie Funktion F : [a,b] R, F(x) = x a f (t)t er oberen Grenze ifferenzierbar un xf(x) = f (x). Satz 23. (Hauptsatz B) Sei F eine beliebige Stammfunktion er stetigen Funktion f : [a, b] R. Dann gilt: b f (t)t = F(b) F(a) a 15

16 II.3. Integrationsregeln Satz 24. Integration ist wie Differentiation eine lineare Operation,.h.: Für beliebige Konstanten a, b un Funktionen f (x), g(x) gilt ( ) a f (x) + b g(x) x = a f (x)x + b g(x) x. Beispiel 25. Anwenung es obigen Satzes liefert: ( 2 e x + 1 ) 1 2 x = 2 e x x + 2x 2x x 1 = 2 e x + c x c 2 = 2 e x x + c = 2 e x + 2 x + c. Hierbei wuren ie einzelnen Integrationskonstanten c 1, c 2 zu einer Konstanten c zusammengefaßt. 16

17 II.3. Integrationsregeln Satz 26. (Partielle Integration) Für ifferenzierbare Funktionen f (x), g(x) gilt: f (x) g (x)x = f (x) g(x) f (x) g(x)x. Beispiel 27. Wir berechnen x ln(x)x. Setze f (x) = ln(x). Dann gilt f (x) = 1 x. Also: x x = ln(x) x g (x) ln(x) f (x) f (x) x 2 2 g(x) 1 x f (x) x 2 2 g(x) = ln(x) x2 x 2 x2 x = ln(x) 2 2 x2 4 + c. Probe: ) (ln(x) x2 x 2 x2 4 + c = 1 x x2 2 + ln(x) x x 2 = ln(x) x. 17

18 II.3. Integrationsregeln Faustregel 28. Partielle Integration ist anwenbar, wenn: Der Integran muß as Proukt zweier Funktionen sein. Von einem Faktor (g (x)) muß man ie Stammfunktion g(x) kennen. Ein Integral (über f (x) g (x)) wir in ein aneres Integral (über f (x) g(x)) überführt, es verbleibt also ie Aufgabe, eine Stammfunktion zu finen. Allerings ist manchmal as Proukt f (x) g(x) einfacher zu integrieren als as Ausgangsproukt f (x) g (x): Sinnvoll ist partielle Integration meist, wenn ie Ableitung f (x) einfacher ist als f (x) un g(x) nicht wesentlich komplizierter als g (x). 18

19 II.3. Integrationsregeln Aus er Kettenregel er Differentiation (mit y = g(x)) ( ) ( ) x F(g(x)) = y F(y) x g(x) = F (g(x)) g (x) gewinnt man urch Integration F(g(x)) + c = F (g(x)) g (x)x. Satz 29. (Kettenregel) Ist F(y) Stammfunktion von f (y) un y = g(x), so gilt: f (g(x)) g (x)x = f (y)y = F(y) + c = F(g(x)) + c. y Beispiel 30. In cos(x) e sin(x) x bietet es sich an, y = g(x) = sin(x) zu substituieren, enn ie Ableitung g (x) = cos(x) taucht als Faktor im Integranen auf. Es ergibt sich cos(x) e sin(x) x = y=g(x) {}}{ e sin(x) cos(x)x = g (x) x=y e y y = e y +c = e sin(x) +c. 19

20 II.3. Integrationsregeln Bemerkung 31. (Logarithmische Integration) In g (x) g(x) x bietet sich ie Substitution y = g(x) an: g (x) 1 g(x) x = y = ln( y ) + c = ln( g(x) ) + c. y 20

21 II.3. Integrationsregeln Faustregel 32. Es bietet sich allgemein an, eine Substitution y = g(x) in einem Integral h(x)x technisch folgenermaßen urchzuführen: Setze y = g(x) un berechne ie Ableitung y x = g (x). Formal gilt y = g (x)x. Ersetze x urch y jees x urch y aus. g (x) Es entsteht ein Ausruck 1 h(x)x = h(x(y)) g (x(y)) f (y) un im neuen Integranen h(x)x = h(x) g (x) y y = f (y)y. Versuche, eine Stammfunktion F(y) = f (y)y zu finen. Rücksubstitution: Setze y = g(x) in F(y) ein. Die gesuchte Stammfunktion es ursprünglichen Ausrucks ist F(g(x)). 21

22 II.3. Integrationsregeln Beispiel 33. Substituiere y = x, y x = x ( y = x x) in x e x x = y e y 2 x }{{ y } = 2 y 2 e y y. x Zweifache partielle Integration liefert nun: 2 y 2 f (y) e y g (y) y = 2 y 2 f (y) e y g(y) = 2 y 2 e y 4 2 = 2 y 2 e y 4 y F(y) y F(y) 2 y f (y) e y e y G (y) G(y) e y g(y) +4 y = 2 y 2 e y 4 y e y + 4 e y + c. y 1 F (y) e y G(y) Rücksubstitution y = x liefert as Ergebnis 2 x e x 4 x e x + 4 e x + c. y 22

23 II.4. Anwenungen: Berechnung von Flächen Bemerkung 34. Eine Anwenung für ie Integralrechnung bzw. von Hauptsatz B er Differential- un Integralrechnung ist ie Berechnung von Flächen zwischen Funktionsgraphen un x-achse sowie zwischen zwei Funktionen: b a f (x) x b a f (x) g(x) x. 23

24 II.4. Anwenungen: Berechnung von Flächen Beispiel 35. Der Inhalt er Fläche zwischen er Funktion f (x) = x 3 x un er x-achse im Intervall [ 1,1] ist zu bestimmen. Die Funktion hat ie Nullstellen 1, 0 un 1. Es gilt: 0 [ 1 f (x)x = 1 4 x4 1 ] x=0 ( 1 2 x2 = (0 0) x= ) = 1 2 4, 1 [ 1 f (x)x = 0 4 x4 1 ] x=1 ( 1 2 x2 = x=0 4 1 ) (0 0) = Damit ergibt sich ie gesuchte Fläche zu: 0 1 f (x)x + f (x)x = = Beachte: 1 1 f (x)x = = 1 1 f (x) x 24

25 II.4. Anwenungen: Berechnung von Flächen Beispiel 36. Der Inhalt er Fläche zwischen f (t) = t cos(t 2 ) un er x-achse im Intervall [0, π 2 ] ist zu bestimmen. Die Funktion ist über em gesamten Intervall [0, π 2 ] nicht-negativ,.h. wir können sorglos von 0 bis π 2 integrieren un müssen keine Beträge von Integralen betrachten. Substitution y = t 2, y = 2t t: π 2 0 t cos(t 2 ) t = 1 2 = 1 2 = 1. π 2 0 [ sin(y) cos(t 2 ) 2t t ] y= π 2 y y=0 = 1 2 = 1 2 ( sin π 2 0 ( π 2) cos(y) y ) sin(0) Man beachte hierbei, wie sich im Substitutionsschritt ie Grenzen änern: Für t = 0 folgt y = t 2 = 0, für t = π 2 folgt y = t2 = π 2. 25

26 II.4. Anwenungen: Berechnung von Flächen Beispiel 37. Der Inhalt A er Fläche zwischen f (x) = x 3 un g(x) = x 2 im Intervall [ 1,2] erechnet sich nach Bestimmung er Schnittstellen 0 un 1 von f (x) un g(x) wie folgt: 0 1 A = ( f (x) g(x)) x + ( f (x) g(x)) x ( f (x) g(x)) x 1 = = ,.h. wir integrieren von Schnittstelle zu Schnittstelle un versehen vorsichtshalber alle Einzelintegrale mit Beträgen. Kürzer kann man auch A = 2 1 für as gesuchte Integral schreiben. f (x) g(x) x 26

27 Die besten Wünsche... Viel Erfolg bei er Klausur!!! 27

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