Mathematik für Betriebswirte II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester

Transkript

1 Mathematik für Betriebswirte II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Name des Tutors: Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 10 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1: Folgen und Reihen (10 Punkte) 1. Geben Sie die Reihe in der Form k=0 a k an und berechnen Sie den Wert dieser Reihe. 2. Prüfen Sie die Reihe (k + 1) 2 k=0 unter Verwendung des Quotientenkriteriums auf absolute Konvergenz. 2 k 1. Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit Anfangsglied a 0 = 3 7 und Quotient q = 1 5. Daher gilt: k=0 3 7 ( ) k 1 = Mit dem Quotientenkriterium folgt: (k + 2) 2 2 k 2 k+1 (k + 1) 2 lim k = (k + 2)2 2(k + 1) 2 (k + 2) 2 2(k + 1) 2 = 1 2 < 1 Damit ist die Reihe (k+1) 2 k=0 absolut konvergent. 2 k 2

3 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R, x 2 1 x 1 falls x 1 x f(x) =. 3 falls x = 1 a) Skizzieren Sie den Graphen von f für x [ 1, 3]. b) Zeigen Sie, dass die Funktion f insgesamt keine stetige Funktion ist, indem Sie f an der Stelle x = 1 analytisch auf Stetigkeit untersuchen. c) Wie müsste die Funktion f umdefiniert werden, damit f insgesamt eine stetige Funktion ist? a) (Die Funktion kann für x 1 vereinfacht werden zu f(x) = x + 1.) b) Es gilt: lim f(x) = 2 f(1) = 3 x 1 Da die Funktion f an der Stelle x = 1 nicht stetig ist, ist sie insgesamt nicht stetig. c) Die Funktion f wäre stetig, wenn nicht f(1) = 3, sondern f(1) = 2 gelten würde. 3

4 Aufgabe 3: Differentialrechnung in R (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R\{2} R, x f(x) = 1 x 2. a) Geben Sie die erste Ableitung der Funktion f an. b) Berechnen und vereinfachen Sie ϕ( x) = f(x+ x) f(x) x. c) Berechnen Sie lim x 0 ϕ( x). a) Für die Ableitung ergibt sich f (x) = 1 (x 2) 2. b) Es gilt: c) Für den Grenzwert ergibt sich: 1 ϕ( x) = (x + x 2)(x 2) lim ϕ( x) = 1 x 0 (x 2) 2 4

5 Aufgabe 4: Differentialrechnung in R (10 Punkte) 1. Geben Sie die erste Ableitung der Funktion f : (3, ) R x f(x) := ln an und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. 2. Geben Sie die erste Ableitung der Funktion g : R R ( x ) x 3 x g(x) := (x 2 2)e 2x 1 an und vereinfachen Sie sie soweit wie möglich. 1. Es gilt: f 3 (x) = 2x(x 3) 1. Es gilt: g (x) = 2(x 2 + x 2)e 2x 1 5

6 Aufgabe 5: Approximationsverfahren (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion a) Berechnen Sie f(2). f : ( 2, ) R, x ln(x 2 2). b) Geben Sie das Taylor Polynom 2. Grades T 2;3 (x) an und berechnen Sie f(2) näherungsweise auf vier Nachkommastellen genau anhand von T 2;3 (2). c) Berechnen Sie das Restglied R 2;3 (2). a) f(2) = ln(2) b) Für den Funktionswert und die Ableitungen am Entwicklungspunkt x 0 = 3 gilt f(3) = ln(7), f (3) = 6 7 und f (3) = Damit folgt für das Taylor Polynom 2. Grades: c) Es gilt: T 2;3 (x) = ln(7) (x 3) (x 3) T 2;3 (2) 0,8643 R 2;3 (2) = f(2) T 2;3 (2) = 0,1711 6

7 Aufgabe 6: Kurvendiskussion (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x) = x 2 e x. Bestimmen Sie a) die Wendepunkte von f (und klassifizieren Sie diese) sowie b) das asymptotische Verhalten von f. Die ersten drei Ableitungen ergeben sich zu: f (x) = (2x x 2 )e x f (x) = ( x 2 4x + 2 ) e x f (x) = ( x 2 + 6x 6 ) e x Wendepunkte: Ein Konvex-Konkav-WP liegt bei (2 2; 0,191) und ein Konkav- Konvex-WP liegt bei (2 + 2; 0,384) Asymptotisches Verhalten: lim x x2 e x 0 und lim x x2 e x = 7

8 Aufgabe 7: Integralrechnung in R (10 Punkte) 1) Berechnen Sie das folgende RIEMANN-Integral: 1 kx + k x 3 dx mit k Z 2) Berechnen Sie das folgende RIEMANN-STIELTJES-Integral: 1 0 e x dx 2 1) Es gilt: 1 kx + k x 3 dx = 3 2 k 2) Der Integrator u(x) = x 2 ist eine stetig differenzierbare Funktion mit u (x) = 2x. Es gilt daher: 1 0 e x dx 2 = e x x dx Unter Verwendung der partiellen Integration folgt: e x x dx = 2 8

9 Aufgabe 8: Differentialrechnung im R n (10 Punkte) Bestimmen Sie für die Funktion f : (0, ) 2 R, (x, y) e xy + 2y ln (x) den Gradienten und die Hesse-Matrix an der Stelle (x, y) = (1, 1). Für den Gradienten gilt: grad f(x, y) = yexy + 2y x xe xy + 2 ln(x) Die Hesse-Matrix ergibt sich zu: H f (x, y) = y2 e xy 2y x 2 e xy + xye xy + 2 x e xy + xye xy + 2 x x 2 e xy Damit erhält man die Lösungen: grad f(1, 1) = e + 2 e und H f (1, 1) = e 2 2e + 2 2e + 2 e 9

10 Aufgabe 9: Optimierung im R n (10 Punkte) Die Herstellungskosten eines Produktes seien durch K(x) = 1 8 x2 20x gegeben, wobei x 0 die produzierte Menge bezeichnet. a) Stellen Sie die Gewinnfunktion G(x, p) in Abhängigkeit von x und des Stückpreises p 0 auf. b) Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Produktionsmenge, den gewinnmaximierenden Preis und den Gewinn bei einem Umsatz von U(x, p) = 600 Geldeinheiten. a) Es gilt: G(x, p) = xp 1 8 x2 + 20x 150 b) Es gilt: G(x) = 1 8 x2 + 20x Nullsetzen von G (x) liefert im Zusammenspiel mit G (x) < 0 die gewinnmaximierende Produktionsmenge x = 80. Der maximale Gewinn ist dann: G(80) = 1250 Der zugehörige gewinnmaximierende Preis ergibt sich zu p = 7,5. 10