Mathematik für Chemiker Aufgabenblatt 1 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1)

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1 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 1 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 1 Vereinfache folgende Ausdrücke: (a) z n+1 z 2n 2 z 2 (b) ( a 3) 2 (c) a 32 (d) Aufgabe 2 (Hausaufgabe) Seien a und b von Null verschiedene reelle Zahlen. Vereinfache folgenden Ausdruck soweit wie möglich: (ab 2 ) 3 a 2 5 ab 4 Aufgabe 3 Berechne die normalisierten Gleitpunktdarstellungen von (a) , (b) , (c) ( ) ( ). Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Für reelle Zahlen a,b > 0 gilt stets a + b a + b. Warum ist das so? Warum gilt n k=0( 1) k( ) n = 0 für n N? k Berechne den Koeffizienten von x 6 in (a) (x + 1) 9, (b) ( x 2 x ) 8, (c) (x 2 + 3) 6. Aufgabe 7 Berechne die Zahlenwerte folgender Summen. (a) 10 ( (k + 1) 2 (k 1) 2) (b) k=1 99 k=1 1 k(k + 1). Schreibe für q R den folgenden Ausdruck mit nur einem Sum- Aufgabe 8 (Hausaufgabe) menzeichen. q 2 n 2 q k + q n k=0 n q k k=1

2 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 2 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Wenn nichts Anderes gesagt ist, sind jeweils sämtliche Lösungen x der Gleichungen bzw. Ungleichungen zu bestimmen. Die Lösungsmengen der Ungleichungen sind als Vereinigungen von Intervallen anzugeben. Aufgabe 9 (a) 6x2 1 3x + 2 = 2x 1 (b) x x 1 = x + 1 x 2 1 Aufgabe 10 Sei t R. Bestimme alle Lösungen x und y von x + y = 1, 3x + ty = 3. Aufgabe 11 (a) x < 3 x x + 1 (b) x 2 + 4x Aufgabe 12 (a) 2x + 3x + 4 = 0 (b) x 2 8 < 1 (c) 2x 8 > x (d) x x 2 (e) x 4 > x 2 (f) x 1 x + 2 Aufgabe 13 (Hausaufgabe) (a) x 1 2x + 1 > 1 3 (b) x + x 1 = 1

3 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 3 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 14 Es sei z 1 = 4+3i 10,z 2 = 3 4i 5 C. (a) Berechne jeweils Real- und Imaginärteil der z k. (b) Berechne z 1 + z 2 und z 1 z 2. (c) Berechne z 1 z 2 und z 1 /z 2. Aufgabe 15 (Hausaufgabe) die Normaldarstellung auf: Bestimme den Real- und den Imaginärteil von z und schreibe z = 1 i 1 + 2i 1 + 3i 1 2i Aufgabe 16 Bringe z = (1 + i) 64 auf die Form z = x + iy. Tipp: Berechne zunächst (1 + i) 2! Aufgabe 17 (Hausaufgabe) Berechne die Lösungen z 1,z 2 der quadratischen Gleichung z 2 + 4iz + 3 = 0, sowie z 1 + z 2 und z 1 z 2. Aufgabe 18 Löse die quadratische Gleichung z 2 i + 2z 5i = 0. Aufgabe 19 (a) i(1 + i) Aufgabe 20 Aufgabe 21 Bestimme die Normal- und die Polardarstellungen folgender Zahlen: (b) ( ) 3i i Bestimme alle sechsten Wurzeln aus 8i in Normaldarstellung. Bestimme alle vierten Wurzeln aus 8 + i8 3 in Normaldarstellung.

4 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 4 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 22 Bestätige mit Hilfe einer Wahrheitstafel die De Morgan schen Gesetze: (A B) = ( A) ( B) und (A B) = ( A) ( B) Aufgabe 23 Für z 0 C und 0 < r R nennt man die Menge K r (z 0 ) := {z C z z 0 r} die (abgeschlossene) Kreisscheibe mit Mittelpunkt z 0 und Radius r. (a) Für welche Radien r > 0 ist K 1 (i) K r (1) /0? (b) Zähle die Elemente des Durchschnitts K 5 (1 + 3i) Z auf. Aufgabe 24 Es sei M = {1, 3, 5, 7} und N = {1, 6, 7}. Bestimme die Mengen M N, M N, M \ N, M N. Aufgabe 25 (Hausaufgabe) Es sei M = {2,5,8} und N = {3,8}. Bestimme die Mengen (M N) (N \ M) und M N. Aufgabe 26 Zeige mit vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt: n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 Aufgabe 27 (Hausaufgabe) Zeige mit vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt: (2n 1) = n 2 Aufgabe 28 Bestimme jeweils den maximalen reellen Definitionsbereich der Funktion f sowie die Bildmenge. Skizziere ihre Graphen. Ist f beschränkt? Ist f gerade, ungerade oder hat f keine dieser Symmetrieeigenschaften? (a) f (x) = x 2 4 x 3 (b) f (x) = 4x 2 16 (c) f (x) = x 2 (d) f (x) = x 1

5 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 5 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 29 Zeige, dass die Funktionen bijektiv sind und bestimme ihre Umkehrfunktionen. (a) f : R ]0,[, f (x) = e x (b) f :]0,[ R, f (x) = x x 1 (c) sinh : R R, sinh(x) = (e x e x )/2 Bemerkung: Die Funktion sinh heißt Sinus Hyperbolicus und ihre Umkehrfunktion heißt Areasinus Hyperbolicus. Aufgabe 30 (Hausaufgabe) Sei f : R ]1,[ mit f (x) = 2e (4x3) +1. Zeige, dass f bijektiv ist und bestimme die Umkehrfunktion f 1 : R R, d.h., gib eine Formel für f 1 (x) an. Aufgabe 31 (a) sin ( x π 2 Zeige mit Hilfe der Additionstheoreme für Kosinus und Sinus: ) = cosx (b) sinx + siny = 2sin x + y 2 cos x y 2 Aufgabe 32 Bestätige das Additionstheorem für den Tangens: tan(x + y) = tanx + tany 1 tanxtany Aufgabe 33 (Hausaufgabe) Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks, dessen Seiten 2, 3 und 4 Meter lang sind? Welche Höhe hat das Dreieck über der 3 Meter langen Seite? Aufgabe 34 Im Benzolmolekül C 6 H 6 liegen die Kohlenstoffatome an den Eckpunkten eines regelmäßigen Sechsecks. Die C-C-Bindung hat eine Länge von 0,140 nm. (i) Wie groß ist der Winkel zwischen drei benachbarten Kohlenstoffatomen? (ii) Welche Fläche wird von den sechs Kohlenstoffatomen eingeschlossen?

6 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 6 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 35 Es seien die Folgen (a n ) und (b n ) mit a n = n 1 n + 1 und b n = 2+( 0.5) n gegeben. (i) Berechne einige Folgenglieder. Versuche Grenzwerte a und b zu erraten. (ii) Bestimme jeweils N N so, dass a n a 0,00001 bzw. b n b 0,00001 für alle n N gilt. (iii) Beweise nun, dass lim a n = a und lim b n = b gilt. n n Aufgabe 36 Welche der nachstehenden Folgen (a n ) sind konvergent? Die Behauptungen sind zu begründen. Der Grenzwert ist gegebenenfalls anzugeben. (a) a n = cos(n3 ) 5n 1 + n (b) a n = 3n+1 4 n 1 (c) a n = n2 3n + 1 (n + 1) 3 n 3 (d) a n = n( n + 1 n) (e) a n = ( 1)n n 2 n 2 + 4n + 1 Aufgabe 37 (Hausaufgabe) Untersuche nachstehende Folgen (a n ) n N auf Konvergenz, und bestimme im Falle der Konvergenz den Grenzwert: (a) a n = 7n2 + 2n 1 2n (b) a n = 2n (( 2) n + 3 n ) 2 n n Aufgabe 38 Warum ist die durch a n = ( 1) n definierte alternierende Folge (a n ) divergent? Aufgabe 39 Skizziere folgende Funktionen y = f (x) und untersuche sie auf ihrem maximalen Definitionsbereich auf Stetigkeit. (a) y = { x x + 1 für x 1 (c) y = (b) y = ln(x 2 x 1 für x > 1 2x + 1) Aufgabe 40 Die Gleichung x = cosx besitzt eine Lösung 0 x 1. Warum ist das so?

7 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 7 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 41 Seien a,b reell, a 0. Bestimme folgende Grenzwerte falls sie existieren: (a) lim x b x 3 b 3 x b (b) lim x a x a x a Aufgabe 42 Berechne die Summen folgender Reihen: (a) k=2 (1) k (b) 3 k3 k k=4 (c) 2k 1 k=0 ( 5) k (d) k=1 (1 + i) k 2 Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz und bestimme ge- Aufgabe 43 (Hausaufgabe) gebenenfalls ihre Summe: ( ( 3) k k) k=0 Aufgabe 44 Stelle die Zahlen als gekürzte Brüche ganzer Zahlen dar. x = (= ), y = 0.45 Aufgabe 45 (a) k=0 k e k Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz. (b) k=1 1 k(k + 1) (c) k=1 ( 1) k 2k + 1 k 2 + k Aufgabe 46 (Hausaufgabe) Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz: ( 2 k k=1 2 2k 1 ) ( k) 3

8 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 8 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 47 Für eine Potenzreihe k=0 a kx k mit a k 0 für alle k existiere der Grenzwert a k+1 L := lim k, a k und L sei bekannt. Welchen Konvergenzradius R hat die Potenzreihe? Aufgabe 48 Für welche Werte von x R sind die Reihen konvergent? (a) k=1 ( x 2k + xk k 2 ) (b) k=1 x k 2 k (c) x k k=1 k k (d) k=1 x k 1 + x 2k Aufgabe 49 (Hausaufgabe) Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe k=0 (2k + 3 k )x k. Aufgabe 50 Was ist 2 i? Aufgabe 51 Bestimme für f (T ) = Ae α T (A,α > 0) die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (T 0, f (T 0 )) für T 0 = α. Aufgabe 52 Bestimme jeweils den maximalen Definitionsbereich D f der Funktion f. In welchen Punkten x D f ist f differenzierbar? Bestimme dort die Ableitung von f. (a) f (x) = x 3 e x (b) f (x) = sinxcosx (c) f (x) = 1 sin 2 x Aufgabe 53 (Hausaufgabe) (d) f (x) = 2 x (e) f (x) = x3 2x x 2 + x + 1 Zeige, dass die durch f (x) = x 2 sin(lnx) e x (f) f (x) = x x 1 x 2 (g) f (x) = ln(tan x) definierte Funktion f in ihrem maximalen Definitionsbereich D f differenzierbar ist, und bestimme ihre Ableitung.

9 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 9 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 54 Zeige mit dem Mittelwertsatz, dass für alle x,y R gilt: sinx siny x y. Aufgabe 55 Die Funktion f : R R sei durch f (x) = x 3 + x gegeben. (a) Zeige, dass f streng monoton wachsend ist. Welche Bildmenge hat f? (b) Nach (a) ist f invertierbar. Berechne ( f 1 ) (2). Aufgabe 56 (a) lim x 1 x 3 + 4x 2 + x 6 x 2 1 Berechne die folgenden Grenzwerte. (c) lim x π 2 tan3x tanx (b) lim x 3 2 3x 2 x2 ln(4 x) Aufgabe 57 (Hausaufgabe) (d) lim x 1 arctan(lnx) x 2 1 Bestimme den folgenden Grenzwert: Aufgabe 58 der Fehler? sinhx lim x 0 sin2x Die folgende Anwendung der de l Hospitalschen Regel ist falsch. Wo steckt (Der richtige Grenzwert ist 1 2 ). x 3 2x + 1 3x 2 2 6x lim x 1 x 2 = lim = lim 1 x 1 2x x 1 2 = 3 Aufgabe 59 (Hausaufgabe) Bestimme die lokalen Extremstellen und die Monotonieintervalle der Funktion f : R R, f (x) = e x (1 + 4x 2 ) 1. Aufgabe 60 Bestimme für die Funktion f : R R, f (x) = e x sinx die lokalen Extremstellen und die Wendestellen kleinsten Betrages.

10 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 10 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 61 Berechne folgende Integrale. 2 (a) xlnx dx (d) xe x2 dx 1 (b) sinxcosx dx (e) ln 2 x dx 2x (c) x 2 + x + 1 dx (f) ( 3 x x 3 ) dx 0 (g) (h) e 1 lnt t 2 dt dx x 2 2x 3 Aufgabe 62 (Hausaufgabe) Substitution. (a) e x cosx dx Berechne folgende Integrale mit partieller Integration oder (b) 2 0 x x 3 dx Aufgabe 63 Bestimme den Inhalt der Fläche, die von den Kurven mit den Gleichungen y 2 = 4x und y = x 2 /4 eingeschlossen wird. Aufgabe 64 Bei isothermer Ausdehnung (also bei konstanter Temperatur T ) eines Gases vom Anfangsvolumen V 1 auf das Endvolumen V 2 > V 1 beträgt die Ausdehnungsarbeit W = V2 V 1 p(v )dv. Berechne die isotherme Ausdehnungsarbeit für ein ideales Gas (d.h. pv = RT mit dem Druck p und der allgemeinen Gaskonstante R) und für ein van der Waalssches Gas (d.h. (p + a )(V b) = RT mit Stoffkonstanten a,b > 0; hier ist V V 2 1 > b). Aufgabe 65 Berechne das Taylorpolynom 2. Grades der Funktion f (x) = 1 + x 2 mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 0. Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr 2017!

11 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 11 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 66 (a) x = Berechne die Euklidnorm x der Vektoren ( 1 2, 3 2, 1 ) 2, 1 (b) x = (1 +t, 1 +t 2,1 t) mit t R Aufgabe 67 (Hausaufgabe) Berechne die Euklidnorm von x = (sinht, 1, 3cosht) R 3 für t R. Aufgabe 68 Welchen Abstand hat der Punkt x = (cost,sint,0) mit t R vom Punkt y = (1,0,1)? Wie groß ist der minimale bzw. maximale Abstand? Aufgabe 69 Für t R, t 0 seien die Punkte x,y R 4 durch x = (sint,cost, t, 2t) und y = (cost, sint,t/4, t/2) gegeben. Berechne x, y und x,y. Welchen Winkel schließen x und y für t = 1 ein? Aufgabe 70 (Hausaufgabe) Welchen Winkel schließt der Richtungsvektor d = (1, 1, 1) R 3 der Raumdiagonalen mit der Richtung e 1 = (1,0,0) der ersten Koordinatenachse ein? Aufgabe 71 Zeige, dass die Menge V = {x R 4 ; x 1 = x 2, 2x 3 + 3x 4 = 0} ein 2-dimensionaler Unterraum von R 4 ist. Gib eine Basis für V an. Aufgabe 72 Berechne AB für die Matrizen A = [ ] und B = Ist auch BA definiert?

12 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 12 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 73 Gegeben sind die Matrizen 2 4 A = 0 1, B = [ ] [, C = Berechne alle möglichen Matrixprodukte aus jeweils zwei dieser Matrizen. Aufgabe 74 Bestimme den Kern der Matrix A = Welche Dimensionen haben der Kern und das Bild von A? ]. Aufgabe 75 Berechne A 1 für A = Aufgabe 76 (Hausaufgabe) Löse Ax = b für A = 2 4 1, b = Aufgabe 77 Seien A und B invertierbare n n-matrizen. Zeige, dass AB ebenfalls invertierbar ist mit Inverser (AB) 1 = B 1 A 1. Aufgabe 78 Berechne (AB) 1 für die Matrizen A = und B = Tipp: Es ist keine kluge Idee, zuerst AB auszumultiplizieren

13 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 13 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 79 Berechne folgende Determinanten. (a) cosϕ sinϕ u v w sinϕ cosϕ (b) w u v v w u (c) Aufgabe 80 (Hausaufgabe) Berechne die Determinante Aufgabe 81 Bestätige die folgende Gleichung für Determinanten: = Kann man diese Gleichung auch einsehen, ohne die Determinanten auszurechnen? Aufgabe 82 Löse folgende Differentialgleichungen. (a) y +ty 3 = 0 (b) y y 2 sint = 0 Bestimme auch jeweils die Lösung mit y(0) = 3. Aufgabe 83 Eine Lösung der Differentialgleichung y = ay+e kt soll mit dem Ansatz y(t) = Ce kt gewonnen werden. Unter welchen Voraussetzungen ist dies möglich? Aufgabe 84 (Hausaufgabe) Bestimme die Lösung von y = e y, y(0) = 0.

14 Hansen / Päschke Aufgabenblatt 14 Abgabe bis vor Beginn der Vorlesung im Fach 123 (grüner Kasten auf Ebene D1) Aufgabe 85 Löse folgende Anfangswertaufgaben. (i) y ytant = 0, y(0) = 1, (ii) y + 2y = t, y(2) = 3, (iii) y + y/t = sint, y(π/2) = 0 für t > 0, (iv) y cos 2 t = y + 1, y(0) = 0. Aufgabe 86 (Hausaufgabe) Löse die Anfangswertaufgabe y + y = 0, y(1) = 3 für t > 0. t2 Aufgabe 87 Bestimme die allgemeine Lösung. (i) y 2y 3y = 0 (ii) y = 0 Aufgabe 88 Löse die Anfangswertaufgabe y + 20y + 64y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2. Aufgabe 89 Bestimme die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems y 1 = 2y 1 + y 2 y 2 = 2y 2. Bestimme auch diejenige Lösung, für deren Anfangswerte y 1 (0) = 0 und y 2 (0) = 1 gilt.