Aufgaben zur Analysis I

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1 Blatt 0 A.Dessai / A.Bartels Keine Abgabe Dieses Blatt wird in den Übungen in der zweiten Semesterwoche besprochen. Aufgabe 0.1 Zeigen Sie: Für jede natürliche Zahl n ist n(n + 5) durch 3 teilbar. Aufgabe 0. Für n N sei A(n) die Aussage n+1 = 5 1 n+1. Ist der Induktionsschritt A(n) = A(n + 1) für alle n N richtig? Gilt A(n) für alle n N? Aufgabe 0.3 Wo steckt der Fehler im folgenden Beweis? Behauptung: Alle reellen Zahlen sind gleich. Beweis: Für n 1 natürliche Zahl sei A(n) die Aussage a 1, a,..., a n R = a 1 = a = = a n. (A(n) sagt also aus: je n reelle Zahlen sind gleich.) Wir zeigen die Richtigkeit von A(n) mittels vollständiger Induktion. Induktionsanfang n = 1 A(1) ist richtig, da nur eine reelle Zahl betrachtet wird. Induktionsschritt n n + 1 Seien a 1, a,..., a n+1 reelle Zahlen. Nach Induktionsvoraussetzung ist a 1 = a = = a n und a = a 3 = = a n+1. Folglich gilt a 1 = a = = a n+1. Damit ist A(n + 1) bewiesen. Aufgabe 0.4 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Jede natürliche Zahl n läßt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Aufgabe 0.5 Beweisen Sie (x + y) = x + xy + y für alle x, y R. Begründen Sie jeden Schritt ihres Beweises mit einem Körperaxiom. Verwenden Sie aber nicht den binomischen Lehrsatz.

2 Blatt 1 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 1 [4 Punkte] Zeigen Sie für alle n N: (i) n k=1 k = n(n+1)(n+1) 6 ; (ii) n ( 1) k+1 k=1 k = n k=n+1 1 k. Aufgabe [4 Punkte] Zeigen Sie: für natürliche Zahlen n k. ( ) n + 1 = k + 1 n m=k ( ) m k Aufgabe 3 [4 Punkte] Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome für x, y, x, y R: x < y < 0 = x > y. Aufgabe 4 [4 Punkte] Für welche n N gilt n n 1?

3 Blatt Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 5 [4 Punkte] Betrachten Sie die Folgen a n = 3n n + 3 und b n = nn n!. Welche dieser Folgen sind beschränkt, welche konvergieren? Berechnen Sie die Grenzwerte dieser Folgen, falls sie existieren. Aufgabe 6 [4 Punkte] Die Folge (f n ) n N der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch f 0 = f 1 = 1 und f n = f n 1 +f n für n. Zeigen Sie: (i) f n n für alle n N, (ii) f n+1 f n 1 f n = ( 1) n+1, f und berechnen Sie lim n+1f n 1 n f. n Aufgabe 7 [4 Punkte] (i) Sei x 0 eine reelle Zahl und n 4 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie (1 + x) n n x. (ii) Sie b > 1 eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass es n 0 N gibt, so dass b n > n für alle natürlichen Zahlen n n 0 gilt. Aufgabe 8 [4 Punkte] Sei ϕ: N N eine Bijektion, das heißt eine Abbildung, so dass es zu jedem n N genau ein m N gibt mit ϕ(m) = n. Sei (a n ) n N eine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Folge (a ϕ(n) ) n N genau dann konvergiert, wenn die Folge (a n ) n N konvergiert.

4 Blatt 3 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 9 [4 Punkte] Die Folge (a n ) n 1 sei definiert durch a 1 = 1, a =, a n+ = a n+1 a n für n 1. Zeigen Sie, (i) a n+1 a n 1 für n 1. (ii) (a n ) n 1 divergiert bestimmt gegen +. Aufgabe 10 [4 Punkte] Zeigen Sie, (i) (ii) 7n + 5 lim n 3 n = 0, (1 1 n ) = 1, n= d.h. die Folge (a n ) n mit a n := n r= (1 1 r ) konvergiert gegen 1. Aufgabe 11 [4 Punkte] (i) Sei (a n ) n N eine Folge ganzer Zahlen die gegen a R konvergiert. Zeigen Sie, a Z und es gibt ein n 0 N mit a n = a für alle n n 0. (ii) Seien α, β und γ reelle Zahlen und (a n ) n N eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, lim a n = α, lim a n+1 = β und lim a 3n = γ. n n n Zeigen Sie, α = β = γ und lim n a n = α. Aufgabe 1 [4 Punkte] Seien (a n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b. (i) Die Folge ( a n b n ) n N konvergiert gegen a b. (ii) Die Folge (max(a n, b n )) n N konvergiert gegen max(a, b). Hinweis: Benutzen Sie (i).

5 Blatt 4 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 13 [4 Punkte] Welche der folgenden Reihen konvergieren? (i) ( 1) n 1 n n, (ii) 1 (n + 1) n=1 n=0 Aufgabe 14 [4 Punkte] Ein Ball fällt aus der Höhe H auf einen ebenen Grund. Bei jedem Aufprall springt der Ball auf das r-fache der zuletzt erreichten Höhe. (Dabei ist 0 < r < 1.) Zeigen Sie, dass der bis zum Stillstand zurückgelegte Weg 1+r 1 r H beträgt. Aufgabe 15 [4 Punkte] Beweisen oder widerlegen Sie: (i) Jede konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt. (ii) Jede Folge mit genau einem Häufungspunkt konvergiert. (iii) Jede Folge hat nur endlich viele Häufungspunkte. Aufgabe 16 [4 Punkte] Seien α < β reelle Zahlen. Betrachten Sie die durch a 0 = α, a 1 = β und a n = a n 1 + a n, n definierte Folge. Entscheiden Sie, ob diese Folge konvergiert.

6 Blatt 5 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 17 [4 Punkte] Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz. (i) (iii) ( 1) n n3 + 1 n 4 + 1, (ii) n ( 1) n, n=0 n ), (iv) (n 5 + ) 3n 4 n+1. n=0 n=0 ( 3n n n=0 Aufgabe 18 [4 Punkte] Am Anfang eines 10 Meter langen Gummibandes sitzt eine Schnecke. Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmässig so aus, dass es jedesmal um 10 Meter länger wird. Dämon und Schnecke seien unsterblich, das Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht die Schnecke jemals das Ende des Bandes? Aufgabe 19 [4 Punkte] (i) Ein b-adischer Bruch ν= n a νb ν heißt periodisch, wenn es N Z und p N gibt, so dass a ν = a ν+p für alle ν N. Zeigen Sie, ein b-adischer Bruch ist genau dann periodisch, wenn er gegen eine rationale Zahl konvergiert. (ii) Jede reelle Zahl x mit x 1 lässt sich schreiben als x = für alle k. k=1 ɛ k 3 k mit ɛ k { 1, 0, 1} Aufgabe 0 [4 Punkte] (i) Sei a 1 a a 3 0 eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Zeigen Sie, (a) n=1 a n konvergiert genau dann, wenn n=0 n a n konvergiert. (b) Konvergiert n=1 a n, so gilt lim n na n = 0. (ii) Zeigen Sie, 1 n=1 n n konvergiert. Bonusaufgabe A [ Bonuspunkte] Sei a n = ( 1)n n. Zeigen Sie, zu jeder reellen Zahl b gibt es eine Bijektion ϕ: N N, so dass n=1 a ϕ(n) = b.

7 Blatt 6 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 1 [4 Punkte] (i) Zeigen Sie, dass für x R die Reihe k=0 xk (k)! absolut konvergiert. (ii) Sei f(x) = k=0 xk (k)!, x R. Zeigen Sie: f(x) = f(x) 1. Aufgabe [4 Punkte] Sei a Z. Sei (x n ) n N eine Folge positiver reeller Zahlen, die bestimmt gegen + divergiert. Beweisen oder widerlegen Sie: e xn lim n (x n ) a = +. Aufgabe 3 [4 Punkte] Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge und a R. Zeigen Sie: lim sup n a n = a gilt genau dann, wenn (i) lim k a nk = a für eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N und (ii) lim k a nk a für jede konvergente Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N. Aufgabe 4 [4 Punkte] Eine reelle Zahl x heißt algebraisch falls es n N und a 0,..., a n Q gibt mit a n 0, so dass a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 gilt. Zeigen Sie: Nicht jede reelle Zahl ist algebraisch. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist. Dazu dürfen Sie ohne Beweis benutzen, dass jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat.

8 Blatt 7 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 5 Für x R definieren wir den hyperbolischen Sinus und Cosinus durch sinh(x) := 1 (ex e x ), cosh(x) := 1 (ex + e x ). Zeigen Sie, dass beide Funktionen stetig sind. Skizzieren Sie den Verlauf von sinh und cosh. Beweisen Sie die Identität cosh (x) sinh (x) = 1. Aufgabe 6 [4 Punkte] Welche der folgenden Funktionen sind in 0 R stetig? 1 : x < 0 g(x) = 0 : x = 0, 1 : x > 0 { exp( 1 h(x) = x ) : x 0 0 : x = 0. Aufgabe 7 [4 Punkte] (i) Sei a < b < c. Seien f : [a, b] R und g : [b, c] R stetige Funktionen. Dabei gelte f(b) = g(b). Zeigen Sie, dass die Funktion h: [a, c] R mit { f(x) : x [a, b] h(x) = g(x) : x [b, c] stetig ist. (ii) Seinen f, g : R R stetige Funktionen, so dass f(x) = g(x) für alle x Q. Zeigen Sie: f = g. Aufgabe 8 [4 Punkte] Sei f : R [0, [ eine stetige Funktion mit f(x + y) = f(x) f(y) für alle x, y R. Sei c R mit f(1) = exp(c). Zeigen Sie: f(x) = exp(c x) für alle x R. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass es für q N, q 1 und a [0, [ eine eindeutige nichtnegative q-te Wurzel q a gibt. Bonusaufgabe B [ Bonuspunkte] Gibt es eine stetige Funktion f : R R, so dass für jedes x R die Menge f 1 (x) = {y R f(y) = x} genau zwei oder kein Element enthält?

9 Blatt 8 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 9 [4 Punkte] Der hyperbolische tangens tanh: R R ist definiert durch tanh(x) = sinh(x) cosh(x). Zeigen Sie, dass tanh eine stetige Umkehrfunktion besitzt. Was ist ihr Definitionsbereich? (Die Funktionen sinh und cosh wurden in Aufgabe 5 definiert.) Aufgabe 30 [4 Punkte] Betrachten Sie die Funktion f : [0, [ R, x x. Zeigen Sie: (i) f ist gleichmäßig stetig. (ii) f ist nicht Lipschitz stetig. In den Übungen am. und wird eine Übungsklausur geschrieben. Diese Übungsklausur wird direkt im Anschluss besprochen und nicht benotet. Die Teilnahme an der Übungsklausur wird als Vorbereitung auf die Klausur am Semesterende eindringlich empfohlen.

10 Blatt 9 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 31 [4 Punkte] (i) Die Funktion R R, x a x, ist für a > 1 streng monoton wachsend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend. (ii) In beiden Fällen wird R bijektiv auf R >0 :=]0, [ abgebildet. (iii) Die Umkehrabbildung a log : R >0 R (der Logarithmus zur Basis a) ist stetig. (iv) Es gilt a log x = log x log a für x > 0. Aufgabe 3 [4 Punkte] (i) Für jede komplexe Zahl z 0 gilt z/z = 1. (ii) Sei a R. Die Gleichung z + az + 1 = 0 hat genau dann zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn a > 1 ist. Wie sehen die Lösungen für a = 1 und a < 1 aus? Aufgabe 33 [4 Punkte] Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. (i) n=1 in n ( (ii) n=0 1 i 1+i ) n Aufgabe 34 [4 Punkte] (i) Die Funktion z 1 z ist auf C := {z C z 0} stetig. (ii) Die Funktion z exp( 1 z ) lässt sich nicht auf ganz C stetig fortsetzen, d.h. es gibt keine stetige Funktion f : C C mit f(z) = exp( 1 z ) für alle z C. Bonusaufgabe C [ Bonuspunkte] (i) Für n N und x R gilt (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx. (ii) cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x. Bitte wenden.

11 Bonusaufgabe D [4 Bonuspunkte] Sei P (z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 mit a 0,..., a n 1 C, n 1. (i) Die Funktion P : C R, z P (z) nimmt ihr Minimum an. (ii) Sei z 0 C mit P (z 0 ) 0. Sei für ζ C p(ζ) = P (z 0 + ζ). P (z 0 ) Zeigen Sie: es gibt β C, k N und eine stetige Funktion f : C C, so dass für alle ζ C. p(βζ) = 1 ζ k + ζ k+1 f(ζ) (iii) Ist P (z 0 ) 0, so ist P (z 0 ) kein Minimum für die Funktion P. (iv) Es gibt z C mit P (z) = 0. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis die folgende Version des Satzes vom Minimum und Maximum benutzen: Jede stetige Funktion f : D R (0) R nimmt ihr Minimum und Maximum an. Dabei ist R 0 und D R (0) die Menge der komplexen Zahlen deren Betrag höchstens R ist. Bonusaufgabe E [ Bonuspunkte] Beweisen Sie die Version des Satzes vom Minimum und Maximum aus dem Hinweis aus Bonusaufgabe D. Fröhliche Weihnachten!

12 Blatt 10 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 35 [4 Punkte] (i) Sei c n = a n + ib n C mit a n, b n R. Beweisen Sie: Konvergiert die Reihe n N c n absolut, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne. (ii) Beweisen Sie das Additionstheorem für den Tangens: tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b), a, b, a + b R \ {(k + 1)π k Z}. Aufgabe 36 [4 Punkte] Bestimmen Sie für jede der nachfolgenden Funktionen die Ableitung in allen Punkten, in denen die Funktion differenzierbar ist. x ax + b, a, b, c, d, x R, ad bc = 1, cx + d 0, cx + d x x x, x > 0 x arctan(x ), x R, x arctan(x), x R. Aufgabe 37 [4 Punkte] Berechnen Sie die Grenzwerte lim (1 + x n n )n, x R und lim x x. x 0 Aufgabe 38 [4 Punkte] Sei f : R R definiert durch f(x) = (i) Zeigen Sie: f ist auf ganz R differenzierbar. (ii) Berechnen Sie f. (iii) Wo ist f stetig? { x sin( 1 x ) : x 0 0 : x = 0.

13 Blatt 11 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 39 [4 Punkte] Wie muß man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Konservendose mit vorgegebenem Fassungsvermögen wählen, wenn man so wenig Blech wie möglich zu ihrer Herstellung verwenden will? Aufgabe 40 [4 Punkte] Berechnen Sie die Grenzwerte lim x π cos(x) (x π ), lim x 0 sin(e 1 x ) x und ( lim tan(x) + 1 ) x π x π. Aufgabe 41 [4 Punkte] Zeigen Sie für x > log(x) x 1. x Hinweis: Betrachten Sie x = 1 und benutzen Sie die Ableitungen der Funktionen. Aufgabe 4 [4 Punkte] Sei V R und a ein Häufungspunkt von V. Seien f, g : V R zwei Funktionen. Dabei sei f(a) = 0, f differenzierbar in a und g stetig in a. Zeigen Sie: h(x) = f(x)g(x) ist differenzierbar in a und es gilt h (a) = f (a)g(a). Bonusaufgabe F [ Bonuspunkte] Sei f : ]a, b[ R eine Funktion. Zeigen Sie: f ist genau dann konvex, wenn f stetig ist und für alle x, y ]a, b[ gilt. f( x + y f(x) + f(y) )

14 Blatt 1 Abgabe: :15 Uhr Aufgabe 43 [4 Punkte] Bestimmen Sie das Supremum der Menge { log(x) x x > 0}. Aufgabe 44 [4 Punkte] Berechnen Sie die folgenden Integrale. (i) e e log(log(x)) x log(x) dx, (ii) t 3 t +1 dt, (iii) xe x dx, (iv) π 0 sin(nx) sin(mx)dx, n, m N, n m. Aufgabe 45 [4 Punkte] Sei f : [0, 1] R eine beschränkte Funktion, die auf ]0, 1] stetig ist. Riemann-integrierbar ist. Zeigen Sie, dass f Aufgabe 46 [4 Punkte] (i) Berechnen Sie 1 0 et dt mittels Riemannscher Summen. (ii) Ist die Funktion f : [0, 1] R, die durch { 1 : x { 1 f(x) = n n N, n 0} 0 : sonst definiert ist, Riemann-integrierbar? Am Samstag den wird von 9:00 bis 1:00 Uhr die Klausur zur Analysis I geschrieben. Die Klausur entscheidet über die Scheinvergabe und die Scheinnote. Seien Sie bitte schon um 8:45 Uhr im Hörsaalgebäude damit wir pünktlich beginnen können. Bringen Sie bitte Ihren Studentenausweis mit. Es sind während der Klausur keinerlei Hilfsmittel erlaubt. Bringen Sie aber bitte Kugelschreiber oder Füller und unbeschriebenes Din A4 Papier mit. (Die Klausur kann nicht mit Bleistift geschrieben werden.) Wer die Klausur nicht besteht, kann an einer Nachklausur am teilnehmen. In dieser Nachklausur kann aber nur noch die Note 4 erreicht werden. Sollten Sie am Termin der Klausur verhindert sein, so melden Sie sich bitte bis spätestens Freitag vor der Klausur bei Arthur Bartels (Zi 513). In diesem Fall können Sie in der Nachklausur die üblichen Noten erreichen. Wer die Klausur wegen Krankheit verpasst und dies mit einem Attest belegt, kann in der Nachklausur ebenfalls die üblichen Noten erreichen.

15 Ferienblatt Abgabe: im Sommersemester 1 Aufgabe 47 Sei f : R R eine stetige Funktion und x 0 R. Ferner sei die Einschränkung von f auf R \ {x 0 } eine differenzierbare Funktion und es existiere lim x x0 f (x) = c R. Zeigen Sie: f ist auch im Punkt x 0 differenzierbar und es gilt f (x 0 ) = c. Aufgabe 48 Sei f : R R eine Funktion. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen. (i) ɛ > 0 x 0 x > x 0 f(x) < ɛ. (ii) Für jede Folge (x n ) n N die bestimmt gegen + divergiert gilt lim n f(x n ) = 0. (iii) Die Funktion g : [0, [ R mit { f( 1 g(x) = x ) : x ]0, [ 0 : x = 0 ist stetig in 0 R. Aufgabe 49 Sei f : R R eine Funktion, die in jedem Punkt unendlich oft differenzierbar ist. Sei (a n ) n N eine streng monoton fallende Folge mit lim n a n = a R. Es gelte f(a n ) = 0 für alle n N. Zeigen Sie: (i) f(a) = 0. (ii) f (a) = 0. (iii) Es gibt eine streng monoton fallende Folge (b n ) n N mit a = lim n b n und f (b n ) = 0 für alle n N. (iv) f (n) (a) = 0 für alle n N. Aufgabe 50 (i) Sei P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i R ein Polynom und sei f(x) = exp( 1 x )P ( 1 x ) für x < 0. Zeigen Sie: es gibt ein Polynom Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0, b i R, so dass f (x) = exp( 1 x )Q( 1 x ), x < 0. gilt. (ii) Zeigen Sie, die Funktion g : R R mit { exp( 1 g(x) = x ) : x < 0 0 : x 0 ist auf ganz R unendlich oft differenzierbar. (iii) Was sind die Häufungspunkte der Nullstellenmenge der Funktion g aus (ii)? 1 Ohne Bewertung, wird in der ersten Übung im Sommersemester besprochen.

16 Aufgabe 51 Sei für l N, (a (l) n ) n N eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie: es gibt eine streng monoton wachsende Folge (k n ) n N natürlicher Zahlen, so dass für jedes l N der Grenzwert lim n a (l) k n existiert. Aufgabe 5 Sei f : R R differenzierbar und es gelte lim x f (x) = a R. Zeigen Sie: (i) Für jedes x R gibt es y [x, x + 1] mit f(x + 1) f(x) = f (y). (ii) lim x (f(x + 1) f(x)) = a. Aufgabe 53 Sei f : [0, 1] R stetig mit f(0) = f(1). Zeigen Sie: für jedes n N, n 0 gibt es x [0, 1] mit f(x) = f(x + 1 n ). Aufgabe 54 Für alle y R hat die Gleichung exp(x) + log(x) + sin(x) = y eine eindeutige Lösung x ]0, [. Aufgabe 55 Hat die Potenzreihe f(z) = n=0 c n(z a) n Konvergenzradius R > 0, so konvergiert für jedes 0 < r < R die Reihe g(z) := n=1 n c n(x a) n 1 absolut und gleichmäßig auf K(a, r) := {z C z a r}. Aufgabe 56 Berechnen Sie n= Aufgabe 57 x n n(n 1) Zeigen Sie, dass die durch k=0 für x < 1. 1 k! (1+4 k x ) definierte Funktion f(x) unendlich oft differenzierbar ist. Zeigen Sie dann, dass die Taylor-Reihe von f für den Entwicklungspunkt a = 0 für jedes x 0 divergiert.