Klausur zur Höheren Mathematik IV

Transkript

1 Düll Höhere Mathematik IV Klausur zur Höheren Mathematik IV für Fachrichtung: kyb Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 1 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: 1 eigenhändig beschriebene DIN-A4-Blätter. Insbesondere sind Taschenrechner, Handys und Computer nicht erlaubt. Alle Aufgaben zählen. Bei der Bearbeitung von allen Aufgaben sind sämtliche Details der Argumentation anzugeben. Die Angabe von Endergebnissen allein genügt nicht! Verwenden Sie für Ihre Bearbeitungen Extrablätter und beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Zur Lösung der Aufgaben - 8 dürfen alle Sätze aus der Vorlesung verwendet werden, ohne dass sie bewiesen werden müssen. Des Weiteren darf ohne Beweis verwendet werden: Normen sind stetige Abbildungen. Nähere Informationen bezüglich der Klausureinsicht werden auf der HM IV - Homepage bekannt gegeben. Viel Erfolg! Seite 1 von 7

2 Düll Höhere Mathematik IV Aufgabe 1 (3 Punkte) Sei (X,(, )) ein Skalarproduktraum. Zeigen Sie, dass in X der Satz des Pythagoras gilt. Sei (X,(, )) ein Skalarproduktraum. Seien x,y X zueinander orthogonal, d.h., es ist (x,y) = und (y,x) =. Dann gilt x+y = (x+y,x+y) = (x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y) = (x,x)+++(y,y) = x + y. Aufgabe (1 Punkte) Gegeben sei der Vektorraum X := C ([,1]) sowie die Menge M := {f X : f C 1}, wobei f C := max t [,1] f(t) sei. (a) Zeigen Sie, dass der Vektorraum X zusammen mit C ein normierter Raum ist. (b) Zeigen Sie, dass M eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge des normierten Raumes (X, C ) ist. (c) Zeigen Sie, dass M nicht kompakt in (X, C ) ist. (a) Gegeben sei der Vektorraum X := C ([,1]) sowie die Abbildung C : X R mit f C = max t [,1] f(t) für alle f X. Nachzuweisen sind die Eigenschaften einer Norm: (i) Für alle f C ([,1]) gilt f C = max t [,1] f(t) }{{}, wobei f C = t [,1] : f(t) = f =. (ii) Für alle f C ([,1]) und alle α R gilt α f C = max αf(t) = max α f(t) = α max f(t) = α f C. t [,1] t [,1] t [,1] (iii) Für alle f,g C ([,1]) gilt f +g C = max f(t)+g(t) t [,1] max ( f(t) + g(t) ) t [,1] max f(t) + max g(t) t [,1] t [,1] = f C + g C. Seite von 7

3 Düll Höhere Mathematik IV (b) Sei M := {f X : f C 1}. Dann ist M B () und somit ist M beschränkt. Um die Abgeschlossenheit zu zeigen, betrachten wir die Abbildung N : (C ([,1]), C ) (R, ), gegeben durch N(f) := f C für alle f C ([,1]). Da Normen stetige Abbildungen sind, ist diese Abbildung stetig. Außerdem ist M = N ([,1]). Da [,1] abgeschlossen in R ist und nach Satz.9 des Vorlesungsskripts bei stetigen Abbildungen die Urbildmengen von abgeschlossenen Mengen ebenfalls abgeschlossen sind, ist M abgeschlossen in (X, C ). (c) Betrachte die Folge (f n ) n N M mit f n (t) := t n für alle t [,1]. Wenn M kompakt wäre, würde eine Teilfolge (f nk ) k N existieren, die gleichmäßig und daher auch punktweise gegen eine Funktion f M konvergieren würde. Jede Teilfolge von (f n ) n N konvergiert allerdings punktweise gegen die unstetige und daher nicht in M enthaltene Funktion g : [, 1] R, gegeben durch 1, wenn t {,1}, t [,1] : g(t) =, sonst. Also ist M nicht kompakt. Aufgabe 3 (6 Punkte) Sei (Y, ) ein Banachraum und n= x n eine absolut konvergente Reihe in (Y, ). Zeigen Sie, dass die Reihe n= x n+1 eine in (Y, ) konvergente Reihe ist. Sei (Y, ) ein Banachraum und n= x n eine absolut konvergente Reihe in (Y, ).Wir betrachten die Folge (s n ) n N mit s n := n k= x k+1. Es gilt n > m N : s n s m = n x k+1 k= n k=m+1 m x k+1 = k= x k+1 m,n, n k=m+1 x k+1 da n= x n absolut konvergiert. (s n ) n N ist also eine Cauchy-Folge in Y. Da Y vollständig ist, ist die Folge (s n ) n N und somit die Reihe k= x k+1 in (Y, ) konvergent. Aufgabe 4 (6 Punkte) (a) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung T : C ([,1]) C ([,1]) mit stetig ist. f C ([,1]) : (Tf)(x) := 3 x y 5 f(y)dy Seite 3 von 7

4 Düll Höhere Mathematik IV (b) Zeigen Sie, dass die Integralgleichung f(x) = cos(x)+3 in C ([,1]) eine eindeutige Lösung f besitzt. x y 5 f(y)dy Die Lösung braucht dabei nicht explizit berechnet zu werden. (a) Für alle f C ([,1]) und alle x [,1] gilt: T(f)(x) = 3 3 = 1 f C. x y 5 f(y)dy 3 y 5 f(y) dy 3 f C x y 5 f(y) dy Somit gilt T(f) C 1 f C für alle f C ([,1]), d.h., die lineare Abbildung T ist beschränkt. Nach Satz 4.1 ist folglich T stetig. (b) Mit Hilfe der stetigen linearen Abbildung T lässt sich die Integralgleichung f(x) = cos(x)+3 x y 5 f(y)dy schreiben als (Id T)f = cos. In a) wurde gezeigt, dass T 1 < 1 ist. Nach Satz 4.7 (Neumannsche Reihe) ist (Id T) bijektiv und somit f = (Id T) cos die eindeutige Lösung der Integralgleichung in C ([,1]). y 5 dy Aufgabe 5 (6 Punkte) Gegeben sei die Matrix 1 A = 1. 1 Berechnen Sie die Zeilensummennorm, die Spaltensummennorm und die Spektralnorm von A. Die Matrix A hat die Zeilensummennorm A = 3. Da A eine symmetrische Matrix ist, stimmen die Zeilensummennorm und die Spaltensummennorm überein. Es gilt also A 1 = A = 3. Aus der Symmetrie der Matrix A folgt auch, dass die Wurzel des größten Eigenwertes der Matrix A T A gleich dem Betrag des betragsmäßig größten Eigenwertes der Matrix A ist. Das charakteristische Polynom von A ist χ A (λ) = (λ 1)(λ 4λ + 3) und besitzt die Nullstellen 1 und 3. Somit ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwertes von A gleich 3. Also ist die Spektralnorm A = 3. Seite 4 von 7

5 Düll Höhere Mathematik IV Aufgabe 6 (8 Punkte) Sei H := L ([,π]) und f H mit f(x) = x für alle x [,π]. (a) Berechnen Sie die beste Approximation von f in dem von den Funktionen u und v mit u(x) = sin(x), v(x) = cos(x) für alle x [,π] aufgespannten Unterraum von H. (b) Bestimmen Sie auf möglichst einfache Weise den Wert der Reihe ( x cos(nx)dx). n= (a) Sei W := Lin{u,v}. Die beste Approximation f von f in W ist nach Satz 5. die orthogonale Projektion von f auf W. Die Menge {ũ := 1 π u, ṽ := 1 π v} ist nach Beispiel 5.11 ein maximales Orthonormalssystem in (W,(, ) L ). Die orthogonale Projektion f berechnet sich nach Hilfssatz 5.6 mit der Formel Dabei ist f = (f,ũ) L ũ+(f,ṽ) L ṽ = 1 π αu+ 1 π βv. α = x sin(x)dx =, da x x sin(x) eine ungerade Funktion ist. Für β erhalten wir β = x cos(x)dx = x sin(x) π xsin(x)dx = xsin(x)dx = xcos(x) π cos(x) dx = πcos(π) + πcos() = 4π. Also ist f mit f(x) = 4cos(x) die beste Approximation von f in W. (b) Nach Beispiel 5.11 bilden die Funktionen u n mit u n (x) = 1 π sin(nx), n N {} und v n mit v n (x) = 1 π cos(nx), n N ein maximales Orthonormalsystem in L ([,π],(, ) L ). Da die Funktion x x sin(nx) für alle n N {} ungerade ist, folgt, dass (f,u n ) L = für alle Seite 5 von 7

6 Düll Höhere Mathematik IV n N {} ist. Mit Hilfe der Parsevalschen Gleichung (Satz 5.8) erhalten wir somit ( x cos(nx)dx) = π n= = π ( n= (f,v n ) L n= x 1 ) cos(nx)dx π = π f L = π = 5 π6. x 4 dx Aufgabe 7 (9 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen und geben Sie jeweils eine kurze Begründung Ihrer Antwort an. (a) Sei X ein Vektorraum und. X eine Norm auf X. Welche zusätzliche Eigenschaft muss. X besitzen, damit. X von einem Skalarprodukt induziert wird? (b) Existiert eine Konstante C >, sodass gilt? f C ([,1]) : ( x f (x)dx )1 ( C f(x) 4 dx )1 4 (c) Sei (Y, Y ) ein normierter Raum, in dem jede beschränkte abgeschlossene Teilmenge kompakt ist. Ist (Y, Y ) vollständig? (d) Sei (Z, Z ) ein normierter Raum und M eine nichtleere Teilmenge von Z, welche die Eigenschaft hat, dass jede Folge in M eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in M liegt. Gibt es zu jedem Punkt p Z ein bestapproximierendes Element in M? (a) In (X, X ) muss die Parallelogrammgleichung gelten. (b) Ja. Denn (C ([,1]), L ) ist ein Skalarproduktraum, also ist hier die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung gültig und daher gilt für alle f C ([,1]) : x f (x)dx = ( x f (x)dx Beidseitiges Wurzelziehen liefert die Gültigkeit von ) 1 ( 1 ) 1 x 4 dx f(x) 4 dx = ( 1 ) 1 f(x) 4 dx. 5 f C ([,1]) : ( x f (x)dx ) 1 ( C f(x) 4 dx ) 1 4 mit C = ( 5 )1 4. Seite 6 von 7

7 Düll Höhere Mathematik IV (c) Ja. Denn nach Satz. ist ein normierter Raum, in dem jede beschränkte abgeschlossene Teilmenge kompakt ist, endlichdimensional und nach Korollar.17 ist jeder endlichdimensionale normierte Raum vollständig. Also ist (Y, Y ) vollständig. (d) Ja. Denn nach Satz 1.16 ist (Z, Z ) als normierter Raum auch ein metrischer Raum. Außerdem ist M kompakt. Nach Satz 3.1 gibt es daher zu jedem Punkt p Z ein bestapproximierendes Element in M. Aufgabe 8 (1 Punkte) Gegeben sei die Menge M := {(x,y,z) R 3 : 3x y +z = 1}. (a) Zeigen Sie, dass M eine -dimensionale C -Mannigfaltigkeit im R 3 ist. (b) Bestimmen Sie eine Basis des Tangentialraumes T p M, wobei p = (1,1,) sei. (c) Zeigen Sie, dass die Mannigfaltigkeit M invariant ist unter dem Fluss des Systems x y = z = xz z = 3x+xy. (a) Wir betrachten die Abbildung F : R 3 R mit F(x,y,z) = 3x y + z 1 für alle (x,y,z) R 3. Dann ist M = F (). Außerdem ist JF(x,y,z) = (6x, 4y,z). JF verschwindet daher nur im Ursprung. Wegen F(,,) = ist (,,) M und somit gilt (x,y,z) M : rangjf(x,y,z) = 1. Da F ein Polynom ist, ist F unendlich oft differenzierbar. Insgesamt sind alle Voraussetzungen von Satz 8.4 (ii) erfüllt und M ist somit eine -dimensionale C -Mannigfaltigkeit. (b) Nach Satz 8.1 (c) ist T p M = kern(jf(p)). Der Tangentialraum von M in p = (1,1,) besteht daher aus allen (u,v,w) R 3, für die ( F(1,1,),(u,v,w) T ) = gilt. Dies ist erfüllt genau dann, wenn 6u 4v = ist, d.h., wenn v = 3 u gilt. Damit ergibt sich, dass T p M = R(1, 3,)T +R(,,1) T ist. Eine Basis des Tangentialraumes T p M ist also z.b. durch die beiden Vektoren (1, 3,)T und (,,1) T gegeben. (c) Sei g(x,y,z) = ( z,xz,3x + xy) T. Wir überprüfen, ob g ein Vektorfeld auf M ist, also ob g(x,y,z) T (x,y,z) M für alle (x,y,z) M gilt. Es gilt für alle (x,y,z) M: 6x z ( ) ( Jf(x,y,z) g(x,y,z) = f(x,y,z), g(x,y,z) = 4y, ) xz z 3x+xy =, folglich ist g(x,y,z) kernjf(x,y,z) für jedes (x,y,z) M. Nach Satz 8.19 ist damit M invariant unter dem Fluss der Differentialgleichung. Seite 7 von 7