Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß

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1 Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Donnerstag 8.12.: 8:30 Uhr - Vorlesung 10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde Klausur: Mittwoch, :15 Uhr, A3 001

2 Cauchy-Schwarz Ungleichung: 2 (u, v) 2 apple (u, u) (v, v) p 1 apple 2 (u, v) p (u, u) (v, v) apple 1 2 p von u und v eingeschlossener Winkel (u, v) =cos(') p (u, u) (v, v) }

3 Skalarprodukte Norm: Definition Eine Norm auf einem R-Vektorraum V ist eine Abbildung : V! R 0 für die gilt (1) für v 2 V gilt (v) =0, v =0 (2) (kv)= k (v) für v 2 V, k 2 K (3) (u + v) apple (u)+ (v) für alle u, v 2 V (Dreiecksungleichung) Proposition Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann ist die Abbildung k k : V! R 0 v 7! kvk := p (v, v) eine Norm. kvk wird die Norm oder auch die Länge von v genannt.

4 Skalarprodukte Norm Metrik: Definition Eine Norm auf einem R-Vektorraum V ist eine Abbildung : V! R 0 für die gilt (1) für v 2 V gilt (v) =0, v =0 (2) (kv)= k (v) für v 2 V, k 2 K (3) (u + v) apple (u)+ (v) für alle u, v 2 V (Dreiecksungleichung) Definition Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X X! R 0, die die folgenden Eigenschaften hat: für x, y, z 2 X gilt (1) d(x, y) =0, x = y (2) d(x, y) =d(y, x) verschiedene Elemente haben positiven Abstand (3) d(x, z) apple d(x, y)+d(y, z) (Dreiecksungleichung) Symmetrie y Abstandsfunktion apple x z Bemerkung Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt, dann definiert d(u, v) :=ku vk eine Metrik auf V.

5 Beispiel Standard-Skalarprodukt

6 Euklidische Vektorräume: Definition Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Paar (V, )bestehendauseinem endlich-dimensionalen R-Vektorraum V und einem Skalarprodukt.

7 Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren: Satz (Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren) Sei(V, )eineuklidischer Vektorraum. Dann gilt (1) V besitzt eine Orthonormalbasis. (2) Aus einer Basis {v 1,...,v n } erhält man eine Orthogonalbasis {u 1,...,u n } durch u 1 := v 1 u 2 := v 2 (u 1,v 2 ) (u 1,u 1 ) u 1 u 3 := v 3 (u 1,v 3 ) (u 1,u 1 ) u 1 (u 2,v 3 ) (u 2,u 2 ) u 2. u n := v n Xn 1 i=1 (u i,v n ) (u i,u i ) u i. (3) Aus einer Orthogonalbasis {u 1,...,u n } von V erhält man eine Orthonormalbasis w 1 = u 1 ku 1 k,...,w n = u n. ku n k (4) Ist {u 1,...,u n } eine Orthogonalbasis von V, so gilt für alle v 2 V : v = nx i=1 (u i,v) (u i,u i ) u i.

8 Matrix-Version von Gram-Schmidt: Korollar (Matrix-Version)SeiB = B t 2 Mat(n, n; R)positivdefinitesymmetrische Matrix, dann gibt es eine obere Dreiecksmatrix T 2 GL n (R) mit Insbesondere gilt det(b) > T t B T = I n.

9 Orthogonale Projektion: Proposition Sei U V Unterraum eines Euklidischen Vektorraums (V, ). Dann gilt (1) V = U U? (2) Nach (1) kann jedes v 2 V auf eindeutige Weise als v = u + w geschrieben werden mit u 2 U und w 2 U?. Die Abbildung U : V! U, die jedem v 2 V das entsprechende u 2 U zuordnet kann man schreiben als U (v) = kx i=1 (u i,v) (u i,u i ) u i, (8.2) wobei {u 1,...,u k } eine Orthogonalbasis von U ist. Diese lineare Abbildung ist eine Projektion, d.h. U U = U. Man nennt sie daher auch die orthogonale Projektion auf U. Es gilt U? =id V U. (3) Für v 2 V ist U (v) 2 U derjenige Vektor in U, für den u 7! kv uk minimal ist.

10 x Beispiel zur Ebene orthogonaler Vektor U?(v) = U (v) =(id R 3 hx, vi hx, xi x h i U?(v)) = v hx, vi hx, xi x

11 Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar: Proposition Sei A 2 Mat(n, n; R)symmetrisch,d.h.A t = A.DannhatA Eigenwerte. C