L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
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- Hetty Kerner
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1 L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt - Mathematische Abstraktion: inneres Produkt - Länge - Winkel zwischen zwei Vektoren - Orthonormalbasis (alle Basisvektoren sind normiert, und zueinander orthogonal) - Falls Basisvektoren nicht orthonormal sind: Metrik L3.1 Sklararprodukt in Def: Skalarprodukt ist eine Verknüpfung v. zwei Vektoren in zu einer reellen Zahl: Sei Skalarprodukt: (Skalar) in Physik bevorzugte Notation Notation verdeutlicht, dass diese Zahl v. zwei Vektoren abhängt Index-Konvention: Indizes vom 'linken Vektor' unten, vom 'rechten Vektor' oben mit Unten/Oben Notation ist nützlich für Verallgemeinerungen; zb. - zu Vektorräumen mit 'nichtorthogonalen Basisvektoren' (siehe 'Metrik'); - oder zu kompl. Vektorraum, Beispiel: Für wäre die Notation genauso sinnvoll/nützlich!
2 Eigenschaften des Skalarprodukts: (i) Symmetrie: (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: (iv) Positiv definit: Eigenschaften (i) bis (iv) gelten offensichtlich: (i) Symmetrie: per Konstruktion (ii) & (iii) Linearität: denn Skalarprodukt is linear in Komponenten v. (iv) Positiv definit: denn 'wenn, und nur wenn' und ausgestattet mit Skalarprodukt heißt 'Euklidischer Raum': [derselbe Name wie für Vektorraum plus Ursprung! Grund: sie sind isomorph!, siehe AD-L3.3] Definition: Norm [Länge] (Skalarprodukt zweier gleichen Vektoren) Länge nach Pythagoras alternative Notation für Norm in Es gilt: Norm beantwortet die Frage: 'wie lang ist ein Vektor' Skalarprodukt beantwortet die Frage: 'wie parallel sind zwei Vektoren?'
3 Cauchy-Schwarz Ungleichung (CSU) Beweis: Betrachte (a zunächst beliebig) wähle nun: Skalare Umstellen: Geometrische Interpretation der CSU: Für 'kolineare', d.h. 'parallele' Vektoren, gilt Gleichheitszeichen in CSU: Check: Umkehrschluss: je kleiner je weniger sind und im Vergleich zu 'parallel'. CSU impliziert die Dreiecksungleichung: Geometrische Anschauung in 'gilt für beide Vorzeichen' Beweis:
4 'Winkel' zwischen zwei Vektoren Definition eines 'Relativwinkels': bereits bekannt aus CSU In entspricht dem geometrischem Winkel zwischen und Begründung: einerseits gilt andrerseits gilt, aus geometrischer Anschauung: Vergleich v. (2) und (3) liefert: 'Cosinus-Satz' Def. Einheitsvektor (wir nutzen 'Hut' für Enheitsvektoren) Für ein 'Einheitsvektor' / 'normierter Vektor', kolinear zu ist 'normiere einen Vektor' = 'bilde kolinearen Einheitsvektor' Falls werden sie 'orthogonale Vektoren' genannt: 'Projektion' v. auf denn 'Orthogonales Komplement' zu Check: 'Zerlegung von bezüglich :
5 Beispiel: Zerlege entspricht der Erwartung aus der Skizze! Check: Def: der Satz v. Vektoren - ist 'orthogonal' falls - ist 'orthonormalen' falls (d.h. orthogonal und normiert) - bildet eine 'Orthonormalbasis' falls er orthonormal und vollständig ist. Unsere Notationskonvention für Orthonormalbasis: [manchmal auch ohne '] Kanonisches Beispiel: (L2.5h.2) Rotierte Version von (4):
6 Jeder Vektor hat eindeutige Entwicklung bzgl. Orthonormalbasis: Entwicklungskoeffizient entspricht der 'Projektion' von (1) auf Basisvektor Kompaktversion mit ES-Notation: Beispiel:
7 Gram-Schmidt-Verfahren Gegeben eine Basis von V: vollständig, linear unabhängig, aber nicht orthogonal, nicht normiert Konstruiere daraus eine Orthonormalbasis! Strategie: orthogonalisiere, normalisiere, und wiederhole das iterativ: L3.3 Innere Produkträume Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf allgemeinen ('reeller Vektorraum'): Vektorraum 'Inneres Produkt' ist eine bilineare Abbildung von zwei Vektoren auf eine Zahl, mit folgenden Eigenschaften [identisch zu Seite(3.1) ]: (i) Symmetrie: (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: (iv) Positiv definit: 'wenn, und nur wenn' Vektorraum ausgestattet mit innerem Produkt heißt 'Euklidischer Vektorraum' [schon wieder derselbe Name wie vorhin! Grund: sie sind isomorph!, siehe AD-L3.3]
8 Orthonormalbasis definiert einen Isomorphismus zwischen n-dim V und Gegeben Isomorphismus: Inneres Produkt in V liefern dasselbe Ergenis! Inneres Produkt in Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard-skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V. In diesem Sinne: Nicht-orthonormale Basis in V: Metrik Was passiert, wenn Basis [nur zur Kenntnisnahme] v. V nicht orthonormal ist? Sei (g wird 'Metrik' genannt; bisher: nun Entwicklung v. zwei beliebigen Vektoren Inneres Produkt in V: Verallgemeinerung des Standard- Skalarprodukts für nicht-trivale Metrik mit Falls Metrik 'nicht-trivial' ist, bringt oben-unten-konvention für Indizes wirklich einen Mehrwert!
9 Zusammenfassung L3 Euklidische Vektorräume (V: reeller Vektorraum) Inneres Produkt: (i) Symmetrie, (ii-iii) Linearität bzgl. und (iv) Positiv definit Zahl Wichtigstes Beispiel: Skalarprodukt in Norm: Cauchy-Schwarz Ungleichung (CSU): Dreiecksungleichung: Winkel: Einheitsvektor: 'Projektion' v. auf 'Orthogonales Komplement' zu Orthonormalbasis: vollständig, normiert, orthogonal: Gram-Schmidt-Verfahren liefert Orthonormalbasis:
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