7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt

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1 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u 1/2 (Länge eines Vektors u, v u 2 v 2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung x orthogonal zu y x, y B {b 1,, b n } ist ONB B ist Basis und b j, b k δ jk Gram-Schmidt: Erzeugung von ONBen 71 Bemerkung: Die Abbildung Q : V K : v Q(v : v, v heißt zum Skalarprodukt gehörende quadratische Form Im Fall K R gilt: < u, v > 1 ( Q(u + v Q(u v 4 Im Fall K C gilt: < u, v > 1 ( Q(u + v Q(u v iq(u iv + iq(u + iv 4 (Polarisierung Ein Skalarprodukt ist also durch die zugehörige quadratische Form festgelegt (Beweis durch Nachrechnen Im Folgenden seien immer V, W Vektorräume mit Skalarprodukt über K R oder K C 72 Satz: Sei B {e 1,, e n } ONB von V 1 Ist v V, x x j e j, dann x j x, e j, also j1 x x, e j e j j1 2 Für x, y V gilt x y z V : x, z y, z j 1,, n : x, e j y, e j 3 Ist f : V K linear (also Linearform, dann existiert genau ein y V, so dass x V : f(x x, y

2 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 122 Beweis: 1 Siehe Kap 36 2 x y z V : x, z y, z 3 f(x j 1,, n : x, e j y, e j x x, e j e j y, e j e j y B ONB eil 1 j1 x y ( 1 f x, e j e j f linear j1 x, e j f(e j j1 x, f(e j e j j1! x, y y j1 f(e j e j j1 72 Die adjungierte Abbildung 73 Satz (voriger Satz für lin Abb: Sei : V W linear, B {e 1,, e n } ONB von V, B {f 1,, f m } ONB von W 1 Ist (α ij M B,B, dann α ij (e j, f i 2 Ist S : V W linear, dann S x V, y W : Sx, y x, y Beweis: 1 e j, f i (α ij, 1 1 α1j, α mj 1 α ij 2 Rechte Seite voriger Satz, eil 1 x V : Sx x 74 Satz (Existenz der adjungierten Abbildung: Seien, B, B wie im letzten Satz Es existiert genau eine lineare Abbildung : W V mit x V, y W : x, y x, y

3 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 123 Ist M B,B A (α ij, dann ist A α 11 α m1 : A α 1n α mn heißt die zu adjungierte Abbildung, A heißt die zu A adjungierte Matrix Beweis: 1 Eindeutigkeit klar nach vorigem Satz 2 Sei A : M B,B Setze A : A Dann existiert genau ein : W V mit und es gilt α 11 α m1 e j, f i 1 1,, α 1n α mn α i1 α in 1 α ij α ij e j, f i A 75 Beispiele: (In kanonischen Koordinaten ( 1 1 A ( ˆ Spiegelung an x 1 1 x 2 : A A ( cos ϕ sin ϕ 2 A (Drehung mit Winkel ϕ im Gegenuhrzeigersinn sin ϕ cos ϕ ( ( cos ϕ sin ϕ cos( ϕ sin( ϕ A (Drehung um ϕ sin ϕ cos ϕ sin( ϕ cos( ϕ ( ( 1 3 A : A 1 4 Ist B ONB und, dann Also alle Eigenwerte sind reell Frage: Wann gilt 1

4 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite Satz (Eigenschaften der Adjungierten: Falls die Ausdrücke sinnvoll sind, gilt 1 ( : y, x y, x 2 (S + S + 3 (α α 4 (S S (Reihenfolge dreht sich um! 5 Kern( (Bild( 6 Rang( Rang( Falls Endomorphismus (dh : V V, dann 7 det( det( 8 λ σ( λ σ( Beweis: 1 Für x V, y W gilt y, ( x Def ( y, x x, y x, y y, x ( 2 x, (S + y Def (S + x, y Sx, y + x, y Def x, S y + x, y x, (S + y 3 x, (α y (α x, y α x, y α x, y x, (α y 4 x, (S y (S x, y S( x, y x, S y x, (S y x, ( S y 5 x Kern y W : x, y y W : x, y x (Bild 6 Aus 5 mit Dimensionsformel: Rang dim V dim Kern dim V dim(bild dim V (dim V dim Bild dim Bild Rang 7 Sei A : : det det(a det A det A 8 λ σ( det( λ 1l det( λ 1l det (( λ 1l det( λ 1l (1l 1l λ σ(

5 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite Normale lineare Abbildungen 77 Definition: : V V heißt normal, falls 78 Beispiele: 1 ( 1 ist nicht normal: ( ( 1 1 ( ( 1 1 ( 1, ( 1 2 (dh ist selbstadjungiert ist normal: (dh ist unitär ist normal: 1l 79 Hauptsatz: Sei V komplexer Vektorraum Für : V V linear sind äquivalent: 1 besitzt eine ONB aus Eigenvektoren 2 (dh ist normal 71 Folgerung: normal ist diagonalisierbar und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal Beweis: 1 2: Sei B ONB aus Eigenvektoren von Dann : A, A A A A 2 1: Behauptung a: normal und e λ e e λ e Beweis: Fall (i λ : : A e 2 2 e, e e, ( e e, ( e e, Fall (ii λ : λ 1l ist normal mit ( λ 1le : (i ( λ 1l e ( λ1le e λ e Behauptung b: normal, e λ e, W : {e}, dann (W W und (W W

6 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 126 Beweis: Sei w W {e}, dann e, w e, w λ e, w w {e} W, e, w e, w λ e, w w {e} W Beweis von 2 1 mit vollständiger Induktion nach n dim V : n 1: Klar, jede lineare Abbildung besitzt ONB aus Eigenvektoren Behauptung sei bewiesen für dim V n 1 Sei dim V n Da K C, hat p mindestens eine Nullstelle, also hat mindestens einen Eigenwert mit Eigenvektor e OBdA e 1 Sei W : {e}, dann W normal (Behauptung b dim W n 1 Es existiert ONB {e 2,, e n } aus EV von W {e 1,, e n } ist ONB aus EV von 74 Unitäre und orthogonale Abbildungen 711 Definition: Sei : V V linear mit u, v u, v u, v V (dim V < Falls K C, heißt unitär, Falls K R, heißt orthogonal 712 Hauptsatz: Sei V Vektorraum über C Für : V V linear sind äquivalent: 1 ist unitär 2 ist isometrisch, dh u V : u u 3 ist invertierbar und 1 (dh 1l 4 ist normal und σ( {λ C : λ 1} 5 transformiert ONBen in ONBen 6 Es existiert eine ONB B, so dass die Spalten von eine ONB bilden 7 Für jede ONB B bilden die Spalten von eine ONB 713 Beispiele: 1 A 2 A ( 1 3/5 4/5 4/5 3/5 ( 2 3/5 4/5 4/5 3/5 ist unitär (und orthogonal ist nicht unitär, da ( 2 nicht normiert

7 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 127 Beweis: 1 2: durch Polarisierung (siehe : u, v u, v u, v u, v V 1l 1 3 2: x 2 x, x ( x, x x, x x 2 3 4: 1 1l 1 ist normal Sei B Basis aus EVen: λ j 1 λ j λ j λ 1 1 λ n 4 3: Sei B Basis aus EVen: λ 1 2 λ n 2 1l 1 5: B {e 1,, e n } ONB e i, e j e i, e j δ ij { e 1,, e n } ist ONB 5 7: B ONB In den Spalten von nach 5 stehen die Bilder der Basisvektoren, also ONB 7 6: Klar 6 3: Sei B ONB, so dass bilden e 1 e n }{{} Zeilenvektoren (e 1,, e n, wobei die Spalten {e 1,, e n } eine ONB e 1, e 1 (e 1,, e n e 1, e n e n, e 1 e n, e n 1l ( cos ϕ sin ϕ Spezialfall K R: Sei ϕ : und sei sin ϕ cos ϕ 1l 4 Es existiert eine ONB B, so dass ϕ1, ϕ i kπ ϕk

8 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 128 Dann gilt Selbstadjungierte und symmetrische lineare Abbildungen 714 Definition: : V V heißt selbstadjungiert, falls Nach Kapitel 72 ist genau dann selbstadjungiert, falls für A gilt: α ij α ji in einer/allen ONBen B 715 Hauptsatz: Sei V Vektorraum über C Für : V V linear sind äquivalent: 1 ist selbstadjungiert 2 ist normal und σ( R 3 x, x R x V Beweis: 1 2: ist normal Es existiert ONBB mit λ i λ i λ i R 2 2 3: klar in ONB aus EVen: x 1 x n, x 1 x n λ i x i x i R i1 3 1: Polarisierung und einige Rechnung 716 Folgerung: Sei A reelle n n - Matrix und symmetrisch (dh A A Dann existiert im R n eine ONB aus EVen von A Beweis: Sei V C n, so, dass A M E,E Dann A symmetrisch A reell Nach Satz existiert eine ONB aus EVen im C n A reell, λ reell und Ax λ x für EV x C n Ax Ax λ x λ x } selbstadjungiert A(x + x λ (x + x A ( ( x x 2i λ x x 2i Ist x C n EV von A zum EW λ, dann sind Re x, Im x R n EVen von A zum EW λ Behauptung

9 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite Positive lineare Abbildungen 717 Satz: Für : V V sind äquivalent: 1 x, x x V bzw x, x > x V \ {} 2 ist selbstadjungiert und σ( [, [ bzw σ( ], [ 3 S : S S bzw S invertierbar : S S Beweis: 1 2: ist selbstadjungiert λ EW mit EV x: λ ( x, x (> x x 2 3: Sei B ONB aus EVen von, Definiere S durch S : λ n λ1 λn S S 3 1: x, x (S Sx, x Sx, Sx Sx 2 (> falls S invertierbar und x 718 Definition: Falls eine der Bedingungen erfüllt ist, heißt positiv semidefinit bzw positiv definit 77 Quadratische Formen 719 Beispiel: Skizziere K : {( x1 x 2 } R 2 : 13x 2 1 1x 1 x x Lösung: 13x 2 1 1x 1 x x 2 2 ( 13x1 5x 2 5x x 2 ( }{{} :A symmetrisch, reell ( x1, ( x1 x 2 { ( ( } Es existiert reelle ONB aus EVen: B, }{{}}{{} EV zum EW 18 EV zum EW 8 ( x1, x 2 x 2

10 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 13 ( ransformiere auf Basis B: x Sy M E,B 1l y, y M E,B 1l x 13x 2 1 1x 1 x x 2 2 A Sy, Sy S A Sy, y ( ( ( 18 y1 y1, 8 y 2 y 2 18y y 2 2 Also: 13x 2 1 1x 1 x x y y y y ( y1 2 ( y Im y 1, y 2 -System: y 2 Im x 1, x 2 -System: x 2 y 1 x 1 72 Allgemein: Die Abbildung R n x Q(x : α ij x i x j mit α ij R heißt quadratische Form Die Menge 1 i j n { x R n : Q(x (+ c, x d } (c R n, d R fest heißt Kurve 2 Ordnung/Kegelschnitt (n 2 oder Flächen 2 Ordnung (n 3 Mit A : α α 12 α α 12 α α α 1n 2 α 2n 2 gilt Q(x Ax, x

11 Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 131 Es existiert eine relle ONB aus EVen ransformation: x M E,B 1l y : Sy, y S x Ax, x A Sy, Sy S A Sy, y y, y λ 1 y λ n yn 2 Also: Q(x c λ 1 y λ n y 2 n c Aus den EWen λ i, insbesondere aus den Vorzeichen, kann man ablesen, welche Gestalt die Kurve/Fläche hat Die EVen von A heißen Hauptachsen der quadratischen Form 721 Spezialfälle: 1 Alle λ i >, also A positiv definit: K : { x R n : Q(x c > } ist beschränkte Menge im R n, und Q heißt elliptisch 2 Gibt es positive und negative EWe, alle, so ist K unbeschränkt, und Q heißt hyperbolisch