Drehachse und Drehwinkel

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Kora Sachs
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1 Drehachse und Drehwinkel Jede Drehung Q im R 3 besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene. Drehachse und Drehwinkel 1-1

2 Drehachse und Drehwinkel Jede Drehung Q im R 3 besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene. Bezüglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v, w besitzt Q die Matrixdarstellung 1 Q = cos ϕ sin ϕ. sin ϕ cos ϕ Drehachse und Drehwinkel 1-2

3 Drehachse und Drehwinkel Jede Drehung Q im R 3 besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene. Bezüglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v, w besitzt Q die Matrixdarstellung 1 Q = cos ϕ sin ϕ. sin ϕ cos ϕ Insbesondere gilt für den Drehwinkel cos ϕ = 1 (Spur Q 1). 2 Drehachse und Drehwinkel 1-3

4 Beweis: Orthogonalität der Drehmatrix Q = Q 1 = Q t, det Q = 1 Drehachse und Drehwinkel 2-1

5 Beweis: Orthogonalität der Drehmatrix Q = Q 1 = Q t, det Q = 1 λ i = 1 und λ 1 λ 2 λ 3 = det Q = 1 = Eigenwert λ = 1, Drehachse und Drehwinkel 2-2

6 Beweis: Orthogonalität der Drehmatrix Q = Q 1 = Q t, det Q = 1 λ i = 1 und λ 1 λ 2 λ 3 = det Q = 1 = Eigenwert λ = 1, denn bei geeigneter Numerierung λ 1 = λ 2, λ 1 λ 2 = 1 oder λ i { 1, 1} Drehachse und Drehwinkel 2-3

7 Beweis: Orthogonalität der Drehmatrix Q = Q 1 = Q t, det Q = 1 λ i = 1 und λ 1 λ 2 λ 3 = det Q = 1 = Eigenwert λ = 1, denn bei geeigneter Numerierung oder λ 1 = λ 2, λ 1 λ 2 = 1 λ i { 1, 1} Drehachse u: normierter Eigenvektor u zum Eigenwert 1 Drehachse und Drehwinkel 2-4

8 orthonormales Rechtssystem u, v, w Qu = u Qv = αv + βw Qw = γv + δw Drehachse und Drehwinkel 2-5

9 orthonormales Rechtssystem u, v, w Qu = u Qv = αv + βw Qw = γv + δw Qv, Qw haben keine u-komponente, wegen der Winkeltreue orthogonaler Matrizen: x u = Qx Qu = u Drehachse und Drehwinkel 2-6

10 orthonormales Rechtssystem u, v, w Qu = u Qv = αv + βw Qw = γv + δw Qv, Qw haben keine u-komponente, wegen der Winkeltreue orthogonaler Matrizen: x u = Qx Qu = u Matrixform obiger Gleichungen Drehachse und Drehwinkel 2-7

11 orthonormales Rechtssystem u, v, w Qu = u Qv = αv + βw Qw = γv + δw Qv, Qw haben keine u-komponente, wegen der Winkeltreue orthogonaler Matrizen: x u = Qx Qu = u Matrixform obiger Gleichungen Q(u, v, w) = (u, v, w) }{{} P 1 α γ β δ } {{ } Q Drehachse und Drehwinkel 2-8

12 Q = P 1 QP orthogonal mit det Q = det Q = 1 = ( ) ( ) α γ cos ϕ sin ϕ = β δ sin ϕ cos ϕ Drehachse und Drehwinkel 2-9

13 Q = P 1 QP orthogonal mit det Q = det Q = 1 = ( ) ( ) α γ cos ϕ sin ϕ = β δ sin ϕ cos ϕ Invarianz der Spur unter Ähnlichkeitstransformationen: Spur Q = Spur Q = cos ϕ Drehachse und Drehwinkel 2-1

14 Beispiel: Die Matrix ist eine Drehmatrix, denn Q t Q = 1 4 Q = = E Q t = Q 1 und det Q = 1 8 det = +1 Drehachse und Drehwinkel 3-1

15 (i) Drehachse: Drehachse und Drehwinkel 3-2

16 (i) Drehachse: Eigenvektor u zum Eigenwert λ = }{{} Q E u 1 u 2 u 3 = = u = Drehachse und Drehwinkel 3-3

17 (i) Drehachse: Eigenvektor u zum Eigenwert λ = }{{} Q E (ii) Drehwinkel: u 1 u 2 u 3 = cos ϕ = 1 (Spur Q 1) 2 = u = Drehachse und Drehwinkel 3-4

18 (i) Drehachse: Eigenvektor u zum Eigenwert λ = }{{} Q E (ii) Drehwinkel: u 1 u 2 u 3 = = u = cos ϕ = 1 2 (Spur Q 1) = 1 (1 1) = 2 = ϕ = ± π 2 Drehachse und Drehwinkel 3-5

19 (iii) Orientierung: Drehachse und Drehwinkel 3-6

20 (iii) Orientierung: Das Vorzeichen von ϕ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v, w} bestimmt werden: Drehachse und Drehwinkel 3-7

21 (iii) Orientierung: Das Vorzeichen von ϕ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v, w} bestimmt werden: w t Qv = w t (cos ϕv + sin ϕw) Drehachse und Drehwinkel 3-8

22 (iii) Orientierung: Das Vorzeichen von ϕ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v, w} bestimmt werden: w t Qv = w t (cos ϕv + sin ϕw) = sin ϕ Drehachse und Drehwinkel 3-9

23 (iii) Orientierung: Das Vorzeichen von ϕ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v, w} bestimmt werden: w t Qv = w t (cos ϕv + sin ϕw) = sin ϕ wähle als Rechtssystem u =, u v = 1, w = u v = Drehachse und Drehwinkel 3-1

24 (iii) Orientierung: Das Vorzeichen von ϕ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung u ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems {u, v, w} bestimmt werden: w t Qv = w t (cos ϕv + sin ϕw) = sin ϕ wähle als Rechtssystem u =, u v = Bilden des Produktes w t Qv 1, w = u v = sin ϕ = (,, ) } {{ } Qv = 1, d.h. ϕ = π 2 Drehachse und Drehwinkel 3-11

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