Klassische Feldtheorie 2 Mitschrift von Martin Bendschneider

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1 Klassische Feldtheorie 2 Mitschrift von Martin Bendschneider 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Hamilton Mechanik Newton Mechanik Lagrange Hamilton Phasenraum Symplektische Struktur des Phasenraums Poisson Klammer Eigenschaften der Poissonklammer Erhaltene Gröÿen A t = Kanonische Transformationen Invarianten der KT Hamilton-Jacoi Theorie Grundidee Beispiel: 1d freies Teilchen Beispiel: 1d harmonischer Oszilator Hamilton-Jacoi separierar Integrale Modelle harmonischer Oszilator: allgemeiner Fall f = 2: Teilchen im Zentralpotential f = 3 dreidimensionale Systeme Chaotische Systeme Zusammenfassung der letzten Stunde: Störung eines integralen Systems KAM-Theorem Hénon-Heiles System

3 Inhalt: 1. Hamilton Mechanik 2. Integrale Systeme Chaotische Systeme 3. Gruppentheorie 4. Spezielle Relativitätstheorie Literatur: Wess: Theroretische Mechanik Goldstein: Arnold symplektische Formulierung 1 Hamilton Mechanik 1.1 Newton Mechanik m i ri = F i, i = 1,..., N = Anzahl der Teilchen 3N f DGL 2. Ordnung int 6N = 2f intkonst...anfangsedingungen 1.2 Lagrange verallgemeinerte Koordinaten q a,... Geschwindigkeit q a E-L: L d L = 0 dt q a E-L: L = T U, T = 1 2 a = 1,..., f f a=1 =1 f DGL 2. Ordnung f g a q a q, U q a, q a g a q + U = 0 3

4 1.3 Hamilton 2f DGL 1. Ordnung in t. q a = p a, ṗ a = H = H q a, P a = T + U p a = L q, q q a Forderung an L: muss nach q a auösar sein. Beispiel: N Teilchen in U. L = 1 2 g a = f m q 2 U q, =1 Legendre-Transformierte von L Allgemein: Hamiltonfunktion zu q a konjugierte Impuls m m N q a = p a m a 0 p a = L q a = m a q a p a = 2 L muss Rang f haen q q q a 2 L det 0 q q } {{ a } g a H q a, p a := genauer := Prüfe: H hängt nicht von q a: f p q L q, q =1 f p q q, p L q, q q, p =1 H y = y x L x, = p a L = 0 q a q a p a 4 y := L x

5 Das - sichert diese Eigenschaft. jetzt das Beispiel: H = f =1 p p m 1 2 H ist die Gesamtenergie des Systems. Beweis 01 H = p m + U = 1 p 2 +U m 2 m T p 2 m + U = T + U = f p q q, p L q, q q, p = = L =1 p q p, q = E-L d dt L L q a p a = ṗ a L q p q ṗ a = p a = p q p, q L q, q p, q p a = q a + p q p a L q p q p a = q a p a = q a = ṗ a Hamilton Gleichungen 2f DGL 1. Ordnung. 2f Integrationskonstanten. q a t = t 0, p a t = t 0 Beispiel: 5

6 N Teilchen im Potential: p 2 H = +U q 2m T = U p a = p a m a H-Gl.: { qa = p a m a p a = U m a q a = U = F a f DGL 2. Ordnung. Hamilton und ELGr sind äquivalent. Systeme die die H. Gl erfüllen, erfüllen immer die Lagrangegleichungen. Schritt 1: Finde H für physikalisches System. Schritt 2: Berechne p, Schritt 3: Löse ṗ =, q = p Zeige: H-Gl E-L Gl. Umkehrtransformation L q, q := q p H q, p, q := p L = = q p p q p L q a = p a + = p a q p q a p q p q a d L L = ṗ a + = 0 dt q a a ṗ a 2. Vorlesung: 2f DGL 1. Ordnung: q a =, ṗ a = p a } {{ a } Hamilton Gl. a = 1,..., f 6

7 f H p t, q t, t = p q L q, q, =1 Beispiel 1: Teilchen im Potential U: ṗ a = L q a kanonischer Impuls H = p2 +U x = T + U p = m q 2m T Beispiel: 2 Teilchen im Magnetfeld B = A E-L: H = p p qa m L x, ẋ = m 3 ẋ 2 + q ẋ A x t 2 =1 m 2 v2 q q A m x = q v B p a = L ẋ a = mẋ a + qa a ẋ a = 1 m p a qa a m 2m 2 p qa p qa q p qa A m H = 1 2m p qa p qa ẋ a = = 1 p a m p a qa a ṗ a = x a = q m p qa A x a mẍ a = ṗ a q A x ẋ = q A x a ẋ A = q x B x ẋ Kanonischer Impuls ist nicht gleich dem Newtonschem Impuls. Das ekommt man immer wenn man eine Geschwindigkeitsahänge Ahängigkeit hat. a 7

8 2 Phasenraum q a :Koordinaten des Kongurationsraums. dim f q a, p a : Phasenraum dim 2f. Den Kongurationsraum nimmt man wahr, den Phasenraum nicht. Beispiel: Man kann zentrale Theoreme im Phasenraum aufstellen, die man im Kongurationsraum nicht emerkt. H = p2 2m + U = p2 2m mω2 q 2 = E q = P = p m, q = ṗ = = mω2 q ṗ m = ω2 q q + ω 2 q = 0 Ellipse: p 2 a 2 + q2 2 = 1 a = 2E 2mE, = mω 2 Ist die Energie wirklich erhalten? Ė = mω 2 q {}}{ pṗ m p m {}}{ + mω2 q q = pω 2 q + ω 2 qp = Symplektische Struktur des Phasenraums Denition: 2f dim Vektor η = qa p a 2f 2f dim Matrix J =

9 Es gilt: J T = J ist ähnlich wie η µν in SRT: η µν = J η = qa p = a ṗ a = J η, η = p p = p η = J η 2.2 Poisson Klammer elieige Funktion: A p t, q t, t da dt = A t + A p ṗ + A q p = A t + A A p p ={A,H} f A B {A, B} : = A B p p =1 T A = J B η η A =, A B 0 1 B p 1 0 p = A B p A p B B p B 9

10 2.2.1 Eigenschaften der Poissonklammer 1. {A, B} = {B, A} 2. {A, λb + µc} = λ {A, B} + µ {A, B}, λ, µ C 3. {A, BC} = {A, B} C + B {A, C} 4. {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0 Jacoi Identität Beweis: a {B, A} = B A B A = {A, B} p p {A, λb + µc} = A λ B + µ C A λ B + µ C = λ {A, B}+µ {A, C} p p p c A BC p B C+B C p A p BC B C+B C = {A, B} C + B {A, C} d Hausaufgae {q a, q } = c a c p c =0 p c =0 = 0 c {p a, p } = 0 {q a, p } = a p a p = δ a c c p c p c } {{ c } =0 {A, q a } = A A = A p p p a 0 δ a {A, p a } = A 10

11 Hamilton Gleichung: q a = p a = {H, q a } = {q a, H} ṗ a = = {H, p a } = {p a, H} q a = {q a, H}, q a = {p a, H} 2.3 Erhaltene Gröÿen A t = 0 für A t z.b.: = 0 {A, H} = 0 Zyklische Varialen: da dt = A + {A, H} = 0 t L = x p { } L, H = 0 Hamilton: Bemerkungen L = 0 d L = 0 dt q a L = letzte VL = {p a, H} = 0 d L = ṗ a = {p a, H} = 0 dt q a p a E ist erhalten für t = 0 {A, A} = {A, A} = 0 dh dt = + {H, H} = t t =0 11

12 3 Kanonische Transformationen K.T. sind Koordinatentransformationen, die die Struktur der H-Mechanik erhalten. Das entspricht Koordinatentransformationen im Phasenaraum { q a Q a q, p p a P a q, p mit Q a = Ĥ, P a = Ĥ Ĥ P, Q P a Q a Das ist eine Denition. Wann ist das Wahr, und wozu ist das gut? Wir können die Lösung für das Prolem einfacher nden, wenn wir zu gescheiten Koordinaten üergehen. Wann gilt das? Genau dann, wenn: L q t, q t, t = ˆL Q t, Q t, t df dt Wir werden nur Systeme anschauen, ei denen L und ˆL nicht explizit von der Zeit ahängen. mit H = p q L, Ĥ = P Q ˆL Beweis: In Klassische Feldtheorie 1 wurde gezeigt, dass L und ˆL die gleichen E-L Gl. haen! ˆ ˆ S = L dt = L + df ˆ dt = L dt + F dt kann nicht eitragen Kanonische Transformationen werden durch F charakterisiert. F heiÿt auch erzeugende Funktion. F kann von 2f + 1 unahängigen Varialen ahängen. Z.B. F q a, p a, t, F Q a, P a, t, F q a, Q a, t, F p a, P a, t Spezialfall: F = F 1 q, Q, t, mit q, Q unahängig. : df 1 dt = F 1 t + p q H = q p + F 1 F1 q + F 1 Q Q P Q F 1 t Q P F 1 Q B F1 q + F 1 Q Q = H Ĥ F 1 t Ĥ = H F 1 t, P = F 1 q, Q Q, p = F 1 q, Q 12

13 q = q Q, P P = P Q, P Ĥ = Ĥ Q, P Beispiel 1: Kanonische Transformation Beispiel 2: harmonischer Oszilator F 1 = f q a Q a a=1 P = F 1 = q, P = F 1 = Q Q q = P zw. P = Q Ĥ P, Q = H p, q = H Q, P H P, q = p2 2m mω2 q 2 F 1 = 1 2 mωq2 cot Q P = F 1 Q = mωq2 sin 2 Q, 1 p = F 1 = mωq cot Q 2 auösen 1 nach q: 2 : 2P q Q, P = sin Q mω 2P cos Q p = mωq cot Q = mω sin Q mω2 sin Q p P, Q = mω 2 P cos Q Die Vorzeichen stimmen möglichereise noch nicht Q ist zyklische Variale Ĥ P, Q = H p, q = 1 2m mωp cos2 Q mω = ωp cos 2 Q + sin 2 Q = ωp P = F 1 Q = 0 P = konst. = E ω, Q = ωt + φ Q = Ĥ P = ω 13

14 q = 2E sin ωt + φ mω2 p = 2mE cos ωt + φ Andere erzeugende Funktion: F q, P, t = a Q a q, P P a F 2 q, P, t Rechnung HA: Beispiel für F 2 : p q H = L P Q Ĥ ˆL df dt p a = F 2, q a = F 2, Ĥ = H + F 2 P a t F 2 = q P + εh q, P mit ε klein p a = F 2 = P a + ε 1 Q a = F 2 P a = q a + ε P a 2 1 : P a = p a ε q, P = p a ε q, P + O ε 2 } a {{ } a a q,p+oε q, p 2 : Q a = q a + ε + O ε 2 p a P a = p a + ε ṗ a = p a + t ṗ a = p a t + t = P a t Q a = q a + ε q a = q a + t q } {{ a } = q a t + t = Q a t Taylor-Entwicklung Die Zeitentwicklung eines physikalisches Sysems kann aufgefasst werden als kanonische Transformation. Bemerkung: F 2 kann aus F 1 durch Legendre Transformation gewonnen werden. Beweis: Üung oder in Wess, Goldstein nachlesen 14

15 F = F 1 q, Q: p a = F 1 P = F 1 Q a F q, P = F 2 a Q ap a p a = F 2 Q a = F 2 P a F p, Q = F 3 + a q ap a q a = F3 p a P a = F3 Q a F p, P = F 4 + a q a P a Q a P a q a = F4 p a Taelle 1: Alles Legendretransformation Q a = F4 P a kanonische Transformationen q a Q a q, p ; p a P a q, p mit 3.1 Invarianten der KT Q a = Ĥ P a P a = Ĥ Q a Ĥ P, Q = H p, q + F i t Lemma. Es gilt {A, B} p, q = {A, B} P, Q d.h. a A B p a A B p a = a Beweis. Beweis z.b. im Buch von Wess. Die P.Klammer ist eine Invariante zgl. der kanonischen Transformation. {A, B} p, q = {A, B} P, Q = {A, B} Corollary. Es gilt: {P a, P } = 0 = {Q a, Q } {P a, Q } = δ a equiv. De von KT: P p, q, Q p, q so dass * gilt. Lemma. Satz von Liouville: Es gilt dt := dq 1 dq f dp 1 dp f = dq 1 dq f dp 1 dp f Phasenraumvolumen und zeitllich konstant. A Q a B P a A P a B Q a 3. Es gilt a dp a dq a = a dp a dq a Bewei: Wess, Goldstein 15

16 4 Hamilton-Jacoi Theorie Alles was man mit HJT lösen kann, haen wir schon gemacht. Aer Zugang zu integralen Systemen. Auÿerdem kommt es in der QM ei WKB-Näherung vor. 4.1 Grundidee Kononische Transformation, so dass: Ĥ 0. Ĥ P, Q = H p, q + F 2 t q, P p a = F 2, Q a = F 2 P a Wenn das wahr ist, dann gilt: P a = Ĥ = 0, Q a P a, Q a Dass heiÿt entsprechendes F nden. Q a = Ĥ P a = 0 konstant H q, F 2, t + F 2 = 0 Hamilton-Jacoi-DGL t diese Gleichung ist nicht-linear Beispiel: 1d freies Teilchen H = p2 2m, p = F 2 H = 1 2 F2 2m H-J: Ansatz: F 2 q, P, t = W q Et 1 2m F2 2 + F 2 t = 0 F 2 = W, F 2 = E t H-J: 2 1 W E = 0 W 2m = ± 2mE 16

17 W = ± 2mEq + konst. F 2 = ± 2mEq + konst Et [= S q, α, t] p = F 2 = ± 2mE = konst E = p2 2m Q = F 2 P = F 2 m E = ± 2E q t = konst = β Wahl 2E q = ± m t + β = ± v 0t + q 0 Man hätte auch von vornerein E = P wählen können. Bei der Rechnung wurde nicht auf Einheiten geachtet. Mathe: Es existiert immer eine vollständige Lösung der H-J DGL F 2 = S q 1,..., q f, α 1,..., α f, t Die Physik identiziert α a = P a p a = α a : f linear unah. Int.konst. S q, α, t S q, α, t, Q a = = β a = konst. α a q α, β, t Bahnkurve 2f konst. Lemma. S heiÿt Hamiltonsche Wirkungsfunktion und ist tatsächlich die Wirkung des Systems. Beweis. ds dt = S + S q a = H + t a a a H p a ˆ S = L dt + konst. p a q a = L Spezialfall: H = H p, q, t Ansatz: S = W q 1,..., q f, α 1,..., α f α 1 t E S t = α 1, S = W = P a = α 1 E H-J: H q, W W heiÿt Hamiltonsche Charakteristische Funktion. 17

18 Beispiel: 1d harmonischer Oszilator H-J: S = W q Et, H = p2 2m mω2 q 2 = E 2 1 S + 1 2m 2 mω2 q 2 + S t = 0 S t = E, uq 1 2 { }} { W 1 + 2m 2 mω2 q 2 = E Hq, W S = W W = 2m E u q das ± spielt keine Rolle. Das Vorzeichen git die Richtung der Zeit an. ˆ q 2m W q = E u q dq β = S E = W ˆ q E t = m 2m E u q dq t β + t = 1 mω q ω arcsin 2 2E q = 2E mω 2 sin ωt + β Im Allgemeinen: Lösung von H-Jacoi schwierig. Ausnahme: System ist vollständig separierar 4.2 Hamilton-Jacoi separierar S q 1,..., q f, α 1,..., α f t = S 1 q 1, α 1,..., α f, t+s 2 q 2,..., q f, α 1,..., α f, t H-J vollständig separierar: immer lösar. S q 1,..., q f, α 1,..., α f, t =? H a q a, S a, t f S a q a, α 1,..., α f, t a=1 + S a t = 0 18

19 5 Integrale Modelle Voremerkung: Keine einheitliche Denition. Erhaltungsgröÿe di 0 Lemma. Satz von Liouville dt = I t +{H, I} = Ein Hamiltonsches System mit f Freiheitsgraden ist integrael, wenn f Funktionen I a p a, q a, t, a = 1,..., f existieren mit folgenden Eigenschaften: i {I a, H} = 0 I a sind Erhaltungsgröÿen ii {I a, I } = 0 a, I a sind Involutionen eine davon, z.b. I 1, = H iii di a = I dq + I a p dp sind linear unahängig. Beweis. [Arnold] sehr lang zumindest plausiel machen. Bemerkungen: 1 Gradienten im Phasenraum I a : = I a e q + I a e p p a = q I a, pa I a I a steht senkrechte auf der Fläche, die durch I a q, p = konst. a deniert wird. 19

20 I a = konst. a dim F = f f Gleichungen wegen sind die Vektoren tangential zu F. {I a, I } = c V a := Ia I I a I = 0 p c c c p c I a p e q I a e p V a I a =, c = d.h. V c ilden eine Basis von F. I a I a I a I a e q e qc e p e pc c p c p c δ c δ c I a I a I a I a = 0 p p Wirkungs- 2 Es existiert eine kanonische Transformation p a, q a J a, φ a P a, Q a variale, Winkelvariale. Mit J a = 0, d.h. J a I a J a = Ĥ = 0 φ Ĥ J a..., mit Ĥ P ; Q = H p, q + F 2 a t d.h. φ a sind zyklische Varialen von Ĥ φ a = Ĥ J a ω a J a Prolem gelöst. Konstruktion von J, φ φ a = ω a t + φ 0 a Ĥ P ; Q = H p, q + F 2 q, P, t t hier: p a = F 2, Q a = F 2 P a, hier: F 2 = F 2 q, P, t H p, q = Ĥ J, φ = Ĥ J, P a = F 2 q, J, φ a = F 2 J a 20

21 1d: + periodisch F2 H, q = Ĥ J = konst. ist DGL F 2 a φ = F 2 J, F 2 J, q = ˆ q ˆ q p dq F 2 = dq = F 2 dφ = 2π Periode Periode J = 1 F2 2π dq = 1 2π 2 F 2 J dq = J p dq = J F2 dq = 2π Beispiele: 1d: f = 1 Systeme sind immer integrael! Kontrolle: alle Systeme mit H = f i=1 H i p i, q i integrael harmonischer Oszilator: H = p2 2m mω2 q 2 = E p q = ± 2m E U q J = 1 1 2m E p dq = ± E U dq = = 2π 2π ω = J Umlaufsinn allgemeiner Fall Ĥ J = H p, q = = ωj, J a = 1 p a dq a 2π Periode φ = Ĥ J = ω f unahängige Winkelvarialen = F = T f = S 1 S 1 S 1 S 1 topologisch f 21

22 5.0.3 f = 2: Teilchen im Zentralpotential H = p2 x 2m + p2 y 2m + U r, J φ = 1 2π J r = 1 ˆ 2π {H, L z } = = 0 1 p φ dφ = p φ dφ = p φ 2π p r dr = 1 ˆ 2m E 2π p r = ± 2m E U p2 φ 2mr. Mit U = κ 2 r 2m x = r cos φ, y = r sin φ p2 φ U r dr 2mr2 = J φ + κ 2 E J r = J φ + κ 2 2m E mκ 2 Ĥ J = 2 J φ + J r 2 ω r, φ = Ĥ J r, φ = mκ 2 J φ + J r f = 3 dreidimensionale Systeme H = p2 x 2m + p2 y 2m + p2 z 2m mω2 xx 2 + = i H i Teilchen im Zentralpotential H = 3 i=1 p 2 i 2m + U r {H, L i } = 0 i L ist erhalten aer: {L x, L y } = = L z + zyklisch Involution: H, L z, L 2 { H, L 2} = 0, { L z, L 2} = 0 22

23 6 Chaotische Systeme 6.1 Zusammenfassung der letzten Stunde: Es sei f linear unahängige Involutionen I a a = 1,..., f {I a, I } = 0 a, = 1,..., f daei ist I 1 = H in der Regel I a zeitunahängig Bewegung im Phasenraum ndet auf einer f-dim Unterraum F f statt. Woei topologisch F f = T f = S 1 S 1 S 1 f mal parametrisiert durch Wirkungsvarialen J a = 1 2π mit J a = Ĥ = 0, φ a p a dq a Periode H p, q = Ĥ J a, φ a = Ĥ J a = konst. φ a = Ĥ J a ω a J = konst. φ a = ω a t + φ 0 a Bei chaotischen Systemen kann man das φ t nicht so einfach hinschreien. periodische Bewegung: ei kommensuralen Frequenzen mω 1 = nω 2, n, m N ω 1 = n m ω 2 quasi-periodische Bewegungen: ei inkommensuralen Frequenzen, also mω 1 nω 2 nicht resonanter Torus Das drei Körper-Prolem ist nicht integrael. 6.2 Störung eines integralen Systems Möglichkeiten: 1. Bewegung ändert sich wenig reguläre Lösung 2. Bewegung ändert sich komplett chaotische Lösung Chaos folgt aus deterministischen Gleichungen, aer auf Grund spez. Anfangsedingungen ist Bewegung nicht vorhersagar. empndliche Ahängigkeit von Anfangsedingungen. 23

24 6.3 KAM-Theorem Kolmogorow 1956, Arnold 1965, Moser 65 H = H 0 + H, H = ϵh 1, ϵ 1 int. Sys. kl. Stör. Hat H 0 Frequenzen, die genügend inkommensurael sind, so hat das gestörte System H für ϵ klein üerwiegend solche Lösungen, die eenfals quasiperiodisch sind und sich nur wenig von denen von H 0 unterscheiden. genügend inkommensurael := ω n γm α m γ, α N 6.4 Hénon-Heiles System H = p2 x 2m + p2 y 2m mω2 x 2 + y 2 + λ x 2 y y3 3 H 0 = H Üergang zu dimensionslosen Koordinaten: x = αˆx y = αŷ ˆx, ŷ dimensionslos. 1 u = mω 2 α 2 ˆx 2 + ŷ 2 + ˆx 2 ˆλ 2 ŷ ŷ3 αλ, ˆλ = 3 mω 2 û ˆλ 1 harmonischer Osz. ˆλ = O 1 anderes System. ˆλ = 1 û 1 harmonischer Oszilator û = O 1anderes System û 1 6 = ŷ + 1 ˆx 2 2 ŷ 12 = 0 für 3 {ŷ = 1 2 ˆx = ± 1 3 y 1 24

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