5.8.8 Michelson-Interferometer ******

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1 5.8.8 ****** Motiation Ein wird mit Laser- bzw. mit Glühlampenlicht betrieben. Durch Verschieben eines der beiden Spiegel werden Intensitätsmaxima beobachtet. Experiment S 0 L S S G Abbildung : Aufsicht des s mit Laser L, Glühlampe G, halbdurchlässigem Spiegel S 0, erstellbarem Spiegel S und festem Spiegel S. Eine Laserstrahl wird an einem halbdurchlässigen Spiegel S 0 in die Teilstrahlen und aufgespalten (siehe Abbn. und ). Teilstrahl wird am Spiegel S reflektiert. Er tritt als Teilstrahl teilweise durch S 0 hindurch und wird zum anderen Teil in die Lichtquelle zurückreflektiert. Teilstrahl wird am Spiegel S reflektiert. Er tritt als Teilstrahl teilweise durch S 0 hindurch und gelangt zur Lichtquelle zurück. Der andere Teil wird reflektiert und läuft parallel zu Teilstrahl weiter und interferiert mit diesem. Der resultierende Strahl wird mit einer Linse auf die Hörsaalwand projiziert. Durch Verschieben des Spiegels S längs der x-achse ändert sich die Wegdifferenz s zwischen den beiden Strahlen. Am Ausgang des Empfängers sind bei

2 Abbildung : Seitenansicht des s s = nλ, n =,,... () Intensitätsmaxima zu beobachten. Es lassen sich damit also Entfernungsänderungen mit einer Genauigkeit on λ/ messen! Voraussetzung dafür ist aber die Kohärenz der beiden Teilstrahlen. Das bedeutet, dass die beiden Teilstrahlen eine feste Phasenbeziehzng aufweisen müssen. Mit einem Mikrowellensender oder einem Laserstrahl ist dies einfach zu erreichen, da bei ihnen der Wellenzug eine sehr grosse Kohärenzlänge aufweist. Dagegen sind die Kohärenzlängen z.b. on Glühlampenlicht klein, da das Licht on erschiedenen Atomen unkorreliert abgestrahlt wird. Es bieten sich die folgenden drei Versuche an: a) Man ariiert die Länge des Lichtwegs, b) Man ändert den Brechungsindex der Luftt durch erwärmen mit einem erloschenen Streichholz, und c) man ergleicht die Kohärenzlänge on Laserlicht (siehe dazu Abb. 3, linkes Bild) mit derjenigen on Glühlampenlicht(siehe dazu Abb. 3, rechtes Bild). Zur Umschaltung zwischen diesen beiden Lichtquellen muss man einen Umlenkspiegel ein bzw. ausschwenken. 3 Theorie 3. Prinzip der Superposition Abb. 4 zeigt zwei Wellenberge, die sich in entgegensetzten Richtungen bewegen. Experimentell wird beobachtet: Wenn sich die beiden Wellenberge treffen, ist die gesamte Auslenkung des Seils gleich der Summe der Auslenkungen der einzelnen Wellenberge. Nachher trennen sich die Wellenberge wieder und laufen weiter, ohne dass sich ihre Form geändert hat. Diese fundamentale Eigenschaft on Wellen wird als Prinzip der Superposition bezeichnet.

3 Abbildung 3: Interferenzmuster für Laserlicht (links) und für Glühlampenlicht (rechts) Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Wenn die die Wellen entgegengesetzte Amplituden haben, löschen sie einander aus. a) b) c) d) Abbildung Abbildung 4: Zwei6.: Wellen Zwei begegnen Wellen begegnen sich. In c) sich. ist diein resultierende c) ist die resultierende Amplitude gleich Amplitude der Summe der Amplituden gleich der der Summe beiden der einlaufenden Amplituden Wellen. der beiden einlaufenden Wellen. 3

4 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 a) b) c) d) Abbildung Abbildung 5: Prinzip 6.: der Prinzip Superposition. der Superposition. Die resultierende Die resultierende Welle ergibt Welle sichergibt durch sich Addition beiderdurch Wellen. Addition beider Wellen. Mathematisch wird diese Eigenschaft einfach ausgedrückt: Ist ξ (x t) die Wellenfunktion der sich in positier x-richtung bewegenden Welle und ξ (x+t) der sich in negatier x-richtung bewegenden Welle, so ist die Gesamtwellenfunktion die Summe der Einzelwellenfunktionen: ξ(x, t) = ξ (x t) + ξ (x + t) () Dabei können sich die Wellen erstärken oder auch auslöschen (siehe Abb. 5). Ganz allgemein gilt: Es seien ξ (x, t) und ξ (x, t) Lösungen der Wellengleichung. Dann ist auch eine Lösung! ξ(x, t) = ξ (x, t) + ξ (x, t) (3) 4

5 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 x x Q P x x Q Abbildung 6.: Gangunterschied. Abbildung 6: Gangunterschied. Dies folgt aus der Linearität der Wellengleichung! 3. Superposition harmonischer Wellen Die durch Superposition harmonischer Wellen resultierende Welle hängt on den Phasen der ursprünglichen Wellen ab. Wir betrachten z.b. zwei harmonische Wellen, die on zwei gleichen Quellen Q und Q mit derselben Amplitude A, derselben Kreisfrequenz ω und einem orgegebenen Phasenunterschied δ herrühren. Die zwei Wellen treffen sich in einem Punkt P, der sich im Abstand x on Q und x on Q befindet (siehe Abb. 6). Wir betrachten einen bestimmten Zeitpunkt. Wegen des Prinzips der Superposition ist die resultierende Welle im Punkt P gleich der Summe der zwei einlaufenden Wellen: ξ(x, t) = ξ (x, t) + ξ (x, t) (4) = A sin (kx ωt) + A sin (kx ωt + δ), (5) wobei δ der Phasenunterschied der Quellen ist. Weil die Wellen erschiedene Wege zurückgelegt haben, erreichen sie den Punkt P mit unterschiedlichen Phasen. Die Wegdifferenz wird als der Gangunterschied x bezeichnet und führt zu der zusätzlichen Phasendifferenz k x: x = x x (6) ξ = A sin (kx ωt) + A sin {k (x + x) ωt + δ} (7) Aus der Gleichung folgt sin α + sin β = sin { (α + β)} cos { (α β)} (8) ξ = A sin { kx ωt + (δ + k x)} cos { (δ + k x)} (9) 5

6 Die resultierende Welle ist demnach eine harmonische Welle mit derselben Frequenz und derselben Wellenzahl wie die einlaufenden Wellen. Die Phase unterscheidet sich on beiden ursprünglichen Wellen: ξ = A cos { (δ + k x)} sin { kx ωt + (δ + k x)} } {{ } } {{ } Amplitude harmonischewelle (0) Wir bemerken, dass die Amplitude der resultierenden Welle A := A cos { (δ + k x)} () nicht on der Zeit abhängt! Das bedeutet, dass man den Gangunterschied derart wählen kann, dass die resultierende Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches on π ist: (δ + k x) = nπ, n = 0,,,... () In diesem Fall haben beide Wellen beim Aufeinandertreffen am Punkt P dieselbe Phase, man sagt dazu, sie seien in Phase und spricht on konstruktier Interferenz. Die resultierende Welle besitzt die doppelte Amplitude der Einzelwellen. Für (δ + k x) = ( n + ) π n = 0,,,... (3) sind die beiden Wellen in Gegenphase und addieren sich zu null, weil sie gleich grosse, aber entgegengesetzte Amplituden besitzen. Man spricht on destruktier Interferenz, und die resultierende Welle erschwindet für alle Zeiten. Für die über eine Periode gemittelte Intensität der resultierenden Welle gilt I (A) cos { (δ + k x) } (4) 3.3 Kohärenz Wir haben im orhergehenden Abschnitt gesehen, dass Wellen derselben Frequenz interferieren und sich dabei ollständig auslöschen oder auch erstärken können. Eine notwendige Bedingung dafür ist die Zeitunabhängigkeit der resultierenden Phase. Eine Interferenz findet statt bei a) Quellen mit konstantem Phasenunterschied, oder b) Wellen derselben Quelle, aber mit unterschiedlich langen Laufwegen or der Überlagerung. Abb. 7 zeigt eine Anordnung bei der mithilfe zweier halbdurchlässiger Spiegel das Licht einer Lichtquelle aufgeteilt und wieder ereint wird. Durch die unterschiedliche Laufweite der beiden Wellen tritt Interferenz ein. 6

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Sp Sp Q P HS HS Abbildung Abbildung 7: Aufteilung 6.: Aufteilung der on einer der Quelle on einer Q erzeugten Quelle QWelle erzeugten durch Welle halbdurchlässige halbdurchlässige anschliessende Spiegel Interferenz HS und imanschliessende Punkt P. Sp sind Interferenz nichtdurchlässige im Punkt Spiegel. P. Sp sind Spiegel HS und nichtdurchlässige Spiegel. Falls die Phase δ nicht zeitabhängig ist, sind die Wellen kohärent! Die Kohärenz ist eine notwendige Voraussetzung für Interferenzphänomene. Bei zeitabhängiger Phase tritt keine Interferenz auf. Klassische Lichtquellen wie z.b. Glühlampen oder Fluoreszenzröhren senden unkohärentes Licht aus, da erschiedene Atome rein zufällig und unkorreliert Licht aussenden. Man beachte: Interferenz mit Wellen derselben Quelle ist nur möglich, wenn die Kohärenzlänge grösser als die Differenz der Laufwege ist. Jede Welle ist nämlich räumlich begrenzt, da die erzeugende Schwingung stets einen Anfang t und ein Ende t hat. Die Kohärenzlänge ergibt sich dann als (t t ). 3.4 Zwei entgegengesetzt laufende Wellen Als nächstes untersuchen wir die Interferenz zweier entgegenlaufender kohärenter Wellen. Die entgegenlaufende Welle kann man beispielsweise durch Reflexion an einem Spiegel erzeugen. ξ (t) = A cos (kx ωt) (5) ξ (t) = A cos ( kx ωt + δ R ) (6) Die Superposition ξ := ξ + ξ dieser beiden Wellen ergibt ( ξ = A cos kx δ ) ( R cos ωt δ ) R Dies ist kein laufende Welle mehr, da sie nicht om Typ f(x t) ist! Die mittlere Intensität beträgt Für δ R = 0 gibt es Maxima der Intensität bei und Minima bei I ( (A) cos kx δ ) R (7) (8) kx = nπ, n = 0,,,... (9) kx = (n + ) π, n = 0,,,... (0) 7

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