Lorentz- und Poincaré-Gruppe und SL(2,C)

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1 Lorentz- und Poincaré-Gruppe und SL(2,C) Alexander Baade Andreas Müllers Christian Wuttke Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung der Grundlagen 2 2 Die SL(2,C) und die eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe Definitionen Die Erzeugenden Die eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation Beispiel Die Überdeckende der Lorentz-Gruppe Poincaré-Gruppe Gruppenaxiome Die Erzeugenden der Poincaré-Gruppe Kovariante Formulierung Erzeugenden Kommutatoren Einführung / Konventionen Vektoroperator: Drehungen J i spezielle L-Trafo K i Translationen P i Allgemeines - Interpretation der Operatoren Die Kommutatoren P 2 -Kommutatoren Kovariante Kommutatoren Literatur 12 1

2 1 Wiederholung der Grundlagen Da die allgemeinen Grundlagen der speziellen Realtivitätstheorie in ettlichen Lehrbüchern zur theoretischen Physik umfassend behandelt werden, wollen wir an dieser Stelle nicht noch einmal gesondert darauf eingehen. Es seien nur kurz die mathematischen Konventionen zusammengestellt: Ein kontravariantes Element x µ trägt die Indizes oben, ein kovariantes x µ unten. Griechische Indizes laufen von 0 bis 3, lateinische von 1 bis 3. Im Lorentz 4er Vektor wird die Zeit als 0te Komponente hinzugefügt: x = x µ = (ct, x 1, x 2, x 3 ) T Die Metrik des Minkowskiraums ergibt sich daraus zu {g µν } = {g µν } = g = Noch ein paar Worte zu ko- und kontravariant: In der Physikersprache gibt es zwei Bedeutungen für das Wort kovariant. Die eine bezieht sich nur auf die Position des Index (bei einem Vektor heißt das auch gleich, dass er entweder aus dem Minkowski- oder dem dazu dualen Raum stammt). Die andere Bedeutung macht eine Aussage darüber wie sich eine physikalische Theorie verhält. Sagt man eine Gleichung verhält sich kovariant, so ist gemeint dass sie nach einer L-Trafo (also aus einem anderen Koordinatensystem gesehen) die Physik richtig beschreibt. Bei einem Lorentzskalar muss einfach derselbe Wert herauskommen, egal wo man ihn auswertet. Vielleicht wird so einsichtig was wir mit kovarianter Formulierung der M-Matrizen meinen. 2 Die SL(2,C) und die eigentlichen orthochronen Lorentz- Gruppe Im folgenden betrachten wir die spezielle lineare Gruppe SL(2,C) mit Linearkombinationen der Pauli-Matrizen als Erzeugende. Wir werden exemplarisch zeigen, dass es sich hierbei um eine zweifache Überdeckende der Lorentz Gruppe handelt und sich daher alle Transformationen der eigentlichen Lorentz Gruppe als komplexe 2x2 Matrizen schreiben lassen. Dies bietet mehrere Vorteile: 1. Als Überdeckende der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen sowie als übergeordnete Gruppe der SO(2) und SU(3) ist die SL(2,C) mathematisch interessant. 2. Durch die Pauli-Matrizen erhalten wir Spin-1/2 Darstellungen aus denen sich Beschreibungen für beliebige Spins erstellen lassen. 3. Nicht zuletzt ist die Behandlung von 2x2 Matrizen einfacher als die von 4x4. Anmerkung: Die SL(2,C) ist eine zweifache Überdeckende der eigentlichen Lorentz-Gruppe, also der Menge aller Transformationen Λ mit det(λ) = 1. Trotzdem beschränken wir uns im Folgenden auf die Untergruppe L +, da diese dem Leser bereits vertraut ist. Der ausgeschlossene Zweig L + lässt sich außerdem einfach durch Anwendung einer Zeitspiegelung T = diag( 1, 1, 1, 1) auf die Elemente aus L + darstellen Definitionen GL(n,F)/SL(n,F) Die Allgemeine Lineare Gruppe GL(n,F) vom Grad n über einen Körper F ist die Menge aller invertiblen n n Matrizen. Die spezielle lineare Gruppe SL(n,F) ist die Untergruppe mit Determinante 1. 1 Zur Zeit und Raumspiegelung siehe auch Referrat Nummer 5 (Raumspiegelungen und Zeitumkehr in der QM) 2

3 2.2 Die Erzeugenden Die Erzeugenden der SL(2,C) sind die folgenden sechs Matrizen: mit den Pauli-Matrizen σ i. J i = 1/2σ i, K i = i/2σ i (1) ( ) ( ) 0 1/2 0 i/2 J 1 = K 1/2 0 1 = ( ) ( i/2 0 ) 0 i/2 0 1/2 J 2 = K i/2 0 2 = ( ) ( 1/2 0 ) 1/2 0 i/2 0 J 3 = K 0 1/2 3 = 0 i/2 Obige Matrizen erfüllen die gleichen Kommutatorregeln wie die Erzeugenden der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe: Daher können wir erwarten, dass die Menge der Matrizen [ ] 3 W = exp i (α k J k + β k K k ) [J i, J j ] = iɛ ijk J k (2) [J i, K j ] = iɛ ijk K k (3) [K i, K j ] = iɛ ijk J k (4) die gleichen Eigenschaften wie die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe besitzt. 2.3 Die eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation k=1 Diese W-Matrizen sind die Elemente der SL(2,C). Da die Determinante von W 1 ist, sind Transformationen mit diesen Matrizen längenerhaltend (unimodular). Da die K i Matrizen nicht hermitesch sind, ist die SL(2,C) keine unitäre Gruppe. Die K i sind gerade is i, daher lassen sich die W-Matrizen auch schreiben als: [ ] W = exp i 2 (ζ 1σ 1 + ζ 2 σ 2 + ζ 3 σ 3 ) (6) mit ζ i = α i + iβ. Das heißt in obiger Form können wir die SL(2,C) mit 3 Matrizen (den Pauli-Matrizen) und 3 komplexen Parametern beschreiben. Diese W-Matrizen sollen den 4 4 Matrizen der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformation entsprechen. Wie müssen dann unsere Vierer-Vektoren aussehen? Dazu bilden wir die Matrix ( ) X = 1x 0 + σ i x i x = 0 + x 3 x 1 ix 2 x 1 + ix 2 x 0 x 3 (7) Die Determinante von X det(x) = (x 0 ) 2 (x i ) 2 ist gerade gleich dem invarianten Lorentz-Abstand. Das heißt, dass jede längenerhaltende Transformation dieser Matrix X eine Lorentz-Transformation ist (Wigner, 1939). Wollen wir unsere W-Matrizen auf X anwenden, so lautet die Transformationsgleichung: (5) Y = W XW (8) 3

4 2.3.1 Beispiel Wir wollen die obige Darstellung der Lorentz-Transformationen anhand eines einfachen Beispiels untermauern. Sei dazu zunächst die gewohnte Darstellung eines Boost s in die 3 Richtung gegeben: y = L(vê 3 ) = Wir erhalten: cosh(λ) 0 0 sinh(λ) sinh(λ) 0 0 cosh(λ) y 0 = x 0 cosh(λ) + x 3 sinh(λ) y 1 = x 1 y 3 = x 0 sinh(λ) + x 3 cosh(λ) y 2 = x 2 Vergleichen wir dies mit der Transformation ( ) e η/2 0 W b (η) = exp [ iηk 3 ] = 0 e η/2 Y = W XW = ( ) e η/2 0 0 e η/2 x 0 x 1 x 2 x 3 ( x 0 + x 3 x 1 ix 2 x 1 + ix 2 x 0 x 3 ( ) ( ) y Y = 0 + y 3 y 1 iy 2 (x y 1 + iy 2 y 0 y 3 = 0 + x 3 )e η x 1 ix 2 x 1 + ix 2 (x 0 x 3 )e η ) ( ) e η/2 0 0 e η/2 Vergleicht man die einzelnen Einträge der letzten Gleichung und stellt nach den y µ um, so erhalten wir ebenfalls einen Boost in de 3-Richtung: y 0 = x 0 /2(e η + e η ) + x 3 /2(e η e η ) = x 0 cosh(η) + x 3 sinh(η) y 3 = x 0 /2(e η e η ) + x 3 /2(e η + e η ) = x 0 sinh(η) + x 3 cosh(η) Die Matrizen K i sind also die Erzeugenden der Boosts. Analog lassen sich die J i wieder als die Erzeugenden der Drehungen identifizieren. Dies kann man sich auch klar machen, wenn man bedenkt, dass die J i als einfache Linearkombinationen der σ i den SU(2) aufspannen, der wiederum isomorph zum Raum der Drehungen SO(3) ist. Diese erzeugen ja letztendlich auch die Drehungen im Minkowski-Raum. Wir haben als im Endeffekt die gleichen Erzeugenden für die Drehungen in der SL(2,C) und im Minkowski-Raum. 2.4 Die Überdeckende der Lorentz-Gruppe Vertauscht man die Vorzeichen der Transformationsmatrizen, so sieht man sofort, dass die Transformationen mit den W-Matrizen invariant unter Vorzeichenwechsel sind, im Gegensatz zu Transformationen mit den bisherigen 4 4 Matrizen. W XW = ( W )X( W ) vgl. Λ( v)x Λ( v)x Das heißt man erhält für jede 4 4 Matrix L L + zwei entsprechende 2 2 Matrizen ±W. Das heißt, dass die SL(2,C) eine zweifache Überdeckende der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist. Dies kann man sich auch klar machen, wenn man sich die Parametrisierung der Drehungen mit den J i beziehungsweise den Pauli-Matrizen anschaut: W r (θ, φ, ψ) = exp [ i ψ2 ] n σ (9) Hier ist ψ der Drehwinkel und n(θ, φ) die Drehachse. Der Faktor 1/2 (siehe Definition der J i ) bewirkt, dass der Drehwinkel ψ Werte von 0 bis 4π annehmen kann, im Gegensatz zu 0 bis 2π für Drehungen aus der SO(3). 4

5 3 Poincaré-Gruppe 3.1 Gruppenaxiome Sucht man diejenigen Transformationen die den verallgemeinerten Abstand x Λ,a x : x µ = Λ µ νx σ + a µ, z 2 = z 02 z 2 mit z 0 = x 0 y 0 (Zeitanteil) und z = x y (Raumanteil), invariant lässt, so stößt man auf die Lorentz-Transformation. Dessen homogene Untergruppe wurde bereits angesprochen, im folgenden wollen wir uns mit der inhomogenen Untergruppe, der Poincaré-Gruppe beschäftigen. Bestätigen wir schnell die Gruppenaxiome: 1. Die Verknüpfung, bezüglich derer die Transformationen eine Gruppe bilden ist die Hintereinanderschaltung und wie folgt definiert: (Λ 1, a 1 )(Λ 2, a 2 ) = (Λ 1 Λ 2, Λ 2 a 1 + a 2 ) 2. Assoziativität: Die Hintereinanderschaltung mehrerer Transformationen ist assoziativ: [(Λ 1, a 1 )(Λ 2, a 2 )](Λ 3, a 3 ) = (Λ 1, a 1 )[(Λ 2, a 2 )(Λ 3, a 3 )] Dies liegt in der Assoziativität sowohl des homogenen als auch des inhomogenen Anteils begründet. 3. Das neutrale Element: Dieses ist einfach: E = (1, 0) 4. Das inverse Element:Für jede Transformation (Λ, a) existiert eine inverse Abbildung: (Λ, a) 1 = (Λ 1, Λ 1 a) 3.2 Die Erzeugenden der Poincaré-Gruppe Wir wollen nun eine verkürzende Schreibweise einführen, um den homogenen und inhomogenen Anteil der Lorentz-Transformation zu erfassen. Dazu führen wir die sogenannten homogenen Koordinaten y µ ein, die sich aus dem bekannten Vierervektor x µ ergibt, man fügt lediglich eine fünfte invariante Komponente y 4 wie folgt hinzu: y = (y 4 x 0, y 4 x 1, y 4 x 2, y 4 x 3, y 4 ) T Nun kann man eine inhomogene Lorentz-Transformation in der Form y µ = Λ µ νy ν + y 4 a ν mit y 4 = y 4 und µ = 0, 1, 2, 3. Im folgenden werden wir nur y 4 = 1 annehmen, da sich dann die Translation intuitiv 2 ergibt (y µ = Λ µ νy ν + a ν ). Definiert man jetzt noch ( ) Λ µ Λ := ν a µ, Die vermeintliche Translationsstreckung, die bei y 4 1 auftritt fällt nach der Umrechnung auf x wieder heraus. Daher auch die Definition über das y. Für y 4 = 1 müssen wir den Umweg nicht gehen und können direkt mit unseren alten Koordinaten und der 4. Komponente rechnen. 5

6 so lässt sich zusammenfassend schreiben: y µ = Λ µ ν y ν Die Erzeugenden des homogenen Anteils sind uns bekannt, es gilt jetzt noch die Erzeugenden der Translation zu bestimmen. Dazu betrachten wir eine reine Translation y a 0 y 0 y a 1 y 1 y 2 y 3 = a 2 y a 3 y 3. y 4 1 y 4 Für infinitesimal kleine Translationen kann man wie gewohnt in erster Näherung die Taylor-Reihe y (1 + i 3 a ν P ν )y ansetzen und daraus die Erzeugenden der Translationen ablesen: Sie besitzen an der ν-ten Stelle eine 1, ansonsten stehen überall Nullen, zum Beispiel ist die Erzeugende der Translationen in der Zeit 1 0 P 0 = i Die Erzeugenden sind also 5x5-Matrizen. Da die weiteren Terme wegen P 2 = 0 verschwinden, ist dies auch die Erzeugende endlicher Translationen. ν=0 3.3 Kovariante Formulierung Erzeugenden Jetzt haben wir alle Erzeugenden der Poincaré-Gruppe gefunden. Wir wollen nun versuchen, einen Erzeugendensatz zu finden, der sich bezüglich L + kovariant (das heißt in allen Lorentz-Indizes) transformiert. Der gerade ermittelte Vierervektor P leistet das bereits, jedoch sind Boosts und Rotationen bisher erst unter Annahme eines festgelegten Raumsystems definiert, die Zeit spielt also eine Sonderrolle.In einer kovarianten Form sollten sich die Boosts aber ohne Annahme eines festen Systems transformieren. Dazu wollen wir uns zuerst überlegen, welche Form diese Erzeugenden annehmen werden: Da in vier Dimensionen die Angabe einer Drehachse immer noch die Möglichkeit einer Drehung in drei Dimensionen zulässt, wollen wir unsere neuen Erzeugenden so erstellen, dass sie die jeweilige Drehebene angeben, also z.b.: J 3 J 12 Schreiben wir eine Lorentz-Transformation in der Nähe der 1 als Λ µ ν δ µ ν + α µ ν so ist α µ ν im Falle einer speziellen Lorentz-Transformation entlang der 1-Achse gerade die zugehörige Erzeugende, ebenso für eine Drehung um die 3-Achse, also 0 ɛ 0 0 α µ ɛ ν =, bzw. α µ 0 0 ɛ 0 ν =. 0 ɛ Vorsicht Notation: Tatsächlich beschreibt α µν in der Entwicklung einer Lorentz-Transformation nach den M µν nur einen Koeffizienten und nicht die gesamte Matrix. Diese Notation mag verwirren, ist aber in gewisser Weise notwendig, um zwischen ko-und kontravariant formulierten Matrizen unterscheiden zu können. Die M µν jedoch sind für jedes einzelne µ, ν Matrizen 6

7 Die zugehörigen kovarianten Tensoren, die sich aus der Multiplikation mit der Metrik g = diag(1, 1, 1, 1) ergeben: α µν = g µµ α µ ν, sehen dann wie folgt aus: 0 ɛ 0 0 ɛ ɛ 0 α µν =, bzw. α µν =. 0 ɛ 0 0 Definieren wir uns einen Satz von 4x4-Matrizen M µν = M νµ, die man so definiert, dass sich infinitesimale Lorentz-Transformationen wie folgt formulieren lassen: Λ 1 + i 2 3 µ,ν=0 α µν M µν (der Faktor 1/2 kommt aus der Antisymmetrie: wenn man diese Form ausführt, bekommt man den selben Eintrag zweimal),so haben wir den Erzeugendensatz auch schon gefunden, wie man sich anhand einiger Überlegungen klarmachen kann: 1. Die Matrizen sind antisymmetrisch, genauso wie die kovariant formulierten Erzeugenden für Drehungen und Boosts 0 i 0 0 i i 0 α µν =, bzw. α µν =. 0 i Aufgrund der Antisymmetrie haben wir sechs unterschiedliche Matrizen (die Diagonale ist unbesetzt), diese Anzahl entspricht der der Erzeugenden bei der Wahl (J,K). 3. Der Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Erzeugenden (J,K) und den neuen M µν lässt sich recht schnell erkennen: Wählt man z.b. α 01 = α 10 = ɛ und die übrigen Einträge identisch Null, so bekommen wir aus der Gleichung Λ µ ν δ µ ν + α µ ν letztlich für unsere Transformation: Λ 1 + iɛk 1, was aber mit unseren neuen Erzeugenden nichts weiter ist als Λ 1 + iɛm 01. Für eine Drehung um die 3-Achse (α 12 = α 21 = ɛ) erhält man auf dem gleichen Weg: Λ 1 + iɛj 3 = 1 + iɛm 12. Auf diesem Wege kann man den allgemeinen Zusammenhang zwischen den Erzeugenden ermitteln: K i = M 0i, J 1 = M 23 (zyklisch ergänzt) 7

8 4. Diese Erzeugende erfüllen auch genau die an sie gestellte Forderung der Eindeutigkeit: Betrachtet man den Zusammenhang zwischen den alten und neuen Erzeugenden, so erkennt man, dass alle Raumdrehungen, die vorher eine Drehung um eine Achse waren, nun eine Drehung in der dazu senkrechten Raumebene sind und alle Boosts (die ja eine Raum- mit der Zeitkomponente vermischen) werden auch als Drehungïn der betreffenden Raum-Zeit-Ebene. Hat man nun einen Satz Erzeugender und möchte bspw. die gleiche Transformation in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen durchführen, so muss man nur die Koeffizientenmatrix (aus dem einen K-System) wie einen Tesor 2. Stufe (in das Andere) transformieren. a µν = Λ µ α Λ ν β a αβ A = ΛAΛ T 4 Kommutatoren 4.1 Einführung / Konventionen Zum besseren Verständnis der Interpretation der Kommutatoren erinnern wir noch einmal an die Formel: Sei A eine Transformation mit Erzeugenden B i, so dass A = e λ B geschrieben werden kann. Es gilt A 1 2 (λ 2)A 1 1 (λ 1)A 2 (λ 2 )A 1 (λ 1 ) = 1 λ 1 λ 2 [B 1, B 2 ] 4 Der Kommutator macht also eine Aussage darüber wie die Ergebnisse bei Vertauschung der Transformationen voneinander abweichen. Da die Matrizen eine Darstellung der Transformationen sind, gelten ihre Interpretationen auch für die Transformationsoperatoren in der Quantenmechanik. Wir diskutieren die Kommutatoren aufeinander aufbauend. Es werden jeweils die Kommutatoren innerhalb der Gruppe und dann die mit den vorherigen Transformationen gebildet. Bei einem beliebigen Operator ist es vorab nicht klar, wie er sich unter Drehungen transformiert. Deshalb hier vorab noch eine Definition Vektoroperator: Einen Operator V bezeichnet man als Vektoroperator, wenn er sich unter Drehungen wie folgt transformiert: V = U 1 ( η)v U( η) (10) wobei U( η) = e i η L die Rotation beschreibt. Dies lässt sich äquivalent durch den Kommutator [J i, V j ] = iɛ ijk V k beschreiben. Dieser Kommutator gilt für die meisten uns bekannten Operatoren, wie zum Beispiel dem Orts-, Impuls- aber auch dem Drehimpulsoperator. Bei allen Operatoren, die zu GL (linearen Gruppe) gehören ist dies auch zu erwarten, da sie als Matrizen darstellbar sind und sich die Matrizen wie oben beschrieben verhalten. Verhält sich ein Operator wie ein VO, so bedeutet dies dass man dieselbe Transformation (die der Operator beschreibt) im gedrehten Koordinatensystem durch Drehung der Koeffizienten seiner Erzeugen erhalten kann. Kann eine Transformation bspw. durch e a B ( B die Erzeugenden) beschrieben werden und handelt es sich um einen Vektoroperator, so erhält man die gleiche Trafo mit den neuen Koeffizienten a = U( η) a und den alten Erzeugenden im neuen Koordinatensystem. 4 Der Beweis hierfür wird im Scheck Band 1 S.242 erbracht. Idee: Man stellt die Transformationen als Exponentialreihe in ihren Erzeugenden auf (s.o.) und multipliziert die linke Seite der Gleichung bis einschließlich O(λ i λ j ) aus. 8

9 4.2 Drehungen J i Für die Drehgruppe gilt der bekannte Kommutator [J i, J j ] = iɛ ijk J k (Das i rührt hier von der hermiteschen Formulierung der Matrizen. An der Interpretation des Kommutators ändert sich jedoch nichts.) Nach obiger Definition bedeutet dieser Kommutator auch, dass es sich um einen Vektoroperator handelt. Also Transformieren sich die Drehungen auch wie ein Vektor unter Drehung. 4.3 spezielle L-Trafo K i Für den Boost erhält man: [J i, K i ] = 0 [J i, K j ] = iɛ ijk K k [K i, K j ] = iɛ ijk J k Prinzipiell ist die Interpretation der Kommutatoren symmetrisch. Man kann also für [A, B] = 0 sowohl sagen, dass A B nicht ändert als auch, dass B A nicht ändert. Kommutator I: Eine Drehung um die Geschwindigkeitsrichtung ändert die Transformation nicht. Die spezielle LT vermischt nur die Raumrichtung in der die Geschwindigkeit liegt mit der Zeitkomponente, die Ebene orthogonal dazu bleibt invariant. (Entsprechend spielt die Längenkontraktion in der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeitsachse keine Rolle.) Kommutator II: Es handelt sich bei K um einen Vektoroperator. Dies bedeutet auch, dass es beim Zerlegungssatz nicht auf die Reihenfolge der Transformationen ankommt, da wir nun wissen wie sich die spez. LT unter Drehungen verhält. Kommutator III: Gelangt man durch 2 verschiedene spez. LT in ein Koordinatensystem und kehrt durch die umgekehrte Reihenfolge wieder in das ursprüngliche System, so ist man im vergleich zur ursprünglichen Orientierung verdreht. Planetenbahnen als Beispiel: Betrachtet man die Rotation um einen Stern etwas vereinfacht als eine Folge von Wechsel von Abbildung 1: Modell rel. Beschr. von Planetenbahnen Geschwindigkeiten, so lässt sich die Bewegung als Folge von spez. LT darstellen. An den Orientierungen (siehe Abb. 1) der Geschwindikeiten kann man erkennen, dass es sich jeweils um die entgegengesetzten spez.-lt handelt. Nach dem Kommutator folgt nun, dass sich der Planet (allein durch relativistische Effekte) um die Rotationsachse seiner Bewegung um den Stern gedreht hat 5. 5 Dies ist unter dem Namen Lense-Thirring-Effekt bekannt. Nach meinen Recherchen resultiert er aus der Rotation des Zentralgestirns, allerdings kann man sich auch in das Ruhesystem des Zentralgestirns begeben und erhält so einen kreisenden Planeten. 9

10 Bei der Erde sind dies 8, 3 Bogensekunde Jahr 1Umdrehung Jahre also vernachlässigbar wenig. Weiterhin hat dieser Effekt die Thomas-Präzession zur Folge. Vereinfacht kann man sich auch hier das Elektron auf einer Kreisbahn vorstellen und kommt zu einem weiteren Moment im Atom, dass ähnlich wie eine Spin-Spin-Kopplung betrachtet werden kann Translationen P i Allgemeines - Interpretation der Operatoren Translationen werden in der Quantenmechanik durch Ableitungen realisiert. Wir möchten in diesem Zusammenhang an das Referat über die Drehgruppe in der QM (von Andreas Müller) erinnern. Die Drehungen kann man als Translationen in den Winkeln der sphär. Kugelkoordinaten verstehen. Am Ende haben wir gesehen, dass die Erzeugenden der Translationen durch die Drehimpulsoperatoren realisiert werden können. Im Falle von φ ist dieser l φ = i φ Nimmt man einmal an, dass die Erzeugenden der anderen Translationen ebenso konstruiert werden können, so folgt O translation [t] = i t E was dem negativen Energieoperator entspricht. In der SRT wird die Ableitung nach der Zeit jedoch immer noch mit einem Faktor c versehen. O transl [t] = i x0 t Für die Translationen in Raumrichtungen: x 0 E O transl[x 0 ] = i x 0 E c O transl [x i ] = i x i P i was dem Impulsoperator entspricht. Wir haben noch nicht zwischen ko- und kontravarianter Form unterschieden haben. Nehmen wir einfach einmal an, dass es in kovarianter Form geschrieben wurde, so kommen beim Umschreiben in kontravariante Form auch noch Vorzeichen in die Raumkomponenten hinzu. Geht man nun hin und bildet (versuchsweise) P 2 c 2 = 1 c 2 (P 0 2 P 2 ) = 1 ( ) E 2 c 2 c 2 P 2 Nehmen wir nun einfach einmal an, dass es sich bei der Energie in P 0 (wie sonst auch immer) um die Gesamtenergie handelt und setzen diese E = (mc 2 ) 2 + (cp ) 2 ein, so sehen wir dass ( P 2 c 2 = 1 (mc 2 ) 2 + (c ) P ) 2 c 2 c 2 P 2 = m 2 das Massenquadrat, ein Ergebnis das wir schon aus der SRT kennen liefert. Wir kommen also mit dieser einfachen Analogie zu den richtigen relativistischen Ergebnissen 7. Die Ruhemasse ist ein Lorentzskalar. Wir können also schon aus dem Eigenwert des Operators P 2 folgern, dass sich die Translation kovariant verhält (wenn sich die Translationen wie oben dargestellt als Operatoren darstellen lassen). 6 vanhees/faq/relativity/node85.html 7 Die Diskussion ist hier nicht vollständig, da teilweise nicht zwischen Operatoren und Eigentwerten unterschieden wird. 10

11 4.4.2 Die Kommutatoren [P µ, P ν ] = 0 [ Ji, P 0] = 0 [ Kk, P 0] = ip k [ Ji, P j] = iɛ ijk P k [ Ki, P j] = ig ij P 0 8 Kommutator I: Bei den Translationen handelt es sich um eine abelsche Gruppe. Sie können also unabhängig von der Reihenfolge ausgeführt werden. Kommutator II: 1. Die Drehung kommutiert mit der Zeittranslation. Dies war zu erwarten, da die Drehung nur Raumkomponenten vermischt und die Zeit invariant lässt. Nach obiger Diskussion können wir nun sagen, dass dies bedeutet, dass sich die Energie bei Drehungen im R 3 nicht ändert(, bzw. dass eine Drehung zu allen Zeiten das gleiche bedeutet). 2. Hier war eine Veränderung zu erwarten, da die spez. LT Zeit- und Raumkomponenten vermischt. Analog zum ersten Kommutator bedeutet dieser Kommutator, dass sich die Gesamtenergie bei Wechsel des Koordinatensystems ändert. Aus dem anderen Koordinatensystem hat das Teilchen ja nun kinetische Energie. Dies lässt sich hier an dem P k Operator erkennen. Der Unterschied zwischen den beiden Energiemessungen ist durch den zusätzlichen Impuls gegeben. Kommutator III: 1. Es handelt sich bei den Translationen um einen Vektoroperator. Sie verhalten sich also wie ein Tensor 2. Stufe bzgl. Drehungen. 2. Translationen und spez. LT vertauschen nicht, wenn sie in die gleiche Richtung durchgeführt werden. Dies wird anschaulich, wenn man die Längenkontraktion berücksichtigt. In dem angeschobenen Koordinatensystem hat die Translation vom Ruhesystem aus gesehen eine andere Länge, so dass bei der Rückverschiebung im ursprünglichen System nicht um denselben Betrag geschieht P 2 -Kommutatoren Bei P 2 handelt es sich in der SRT um eine Erhaltungsgröße, nämlich die Ruhemasse. Wir erwarten also, dass P 2 invariant unter allen Transformationen bleibt. [ P 2, P µ] [ = 0 P 2 ] [, J i = 0 P 2 ], K j = 0 Die Kommutatoren bestätigen also die obige Hypothese. 4.5 Kovariante Kommutatoren Damit dem geneigten Leser die kovariante Formulierung der Kommutatoren in M-Matrizen nicht vorenthalten bleibt: [M µν, M στ ] = i(m µσ g ντ + M ντ g µσ M µτ g νσ M νσ g µτ ) Dieser Kommutatoren enthält alle vorher Genannten und wird analog interpretiert. 8 Die Metrik kommt daher, dass hier P kontravariant geschrieben ist 11

12 5 Literatur 1. Y.S. Kim, Theory and Application of the Poincaré Group, Reidel Publishing Co. 86 (SL(2C) und Grundverständnis) 2. M. Chaichian, Symetries In Quantum Mechanics, IOP Publishing Ltd F. Scheck, Theoretische Physik: Band 1 - Mechanik, Springer F. Scheck, Theoretische Physik: Band 4 - Von den Symetrien der QM zu QED, Springer Nolting, Grundkurs Theoretische Physik: Band 4,Vieweg Verlag Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal, Prof. Dr. Wolfgang Lücke, aswl/scripts/rel.html (gutes verständliches Skript - übersichtlich) 7. vanhees/faq/relativity (übersichtliche FAQ-Sammlung auf hohem Niveau) 12