Mechanische Struktur. Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Leistungsteil. Stellgrößen. Rückmeldungen (Lage, Bewegungszustand)

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1 l. Kinematik in der Mechatronik Ein tpisches mechatronisches Sstem nimmt Signale auf, verarbeitet sie und gibt Signale aus, die es in Kräfte und Bewegungen umsett. Mechanische Struktur Leistungsteil phsikalische Größen Sensoren (Erfassung phsikalischer Größen) Meßwertverarbeitung Meßwerte Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Rückmeldungen (Lage, Bewegungsustand) Stellgrößen Bewegungen Aktoren (lineare oder rotatorische Antriebe) Getriebe und Führungen Kräfte oder Bewegungen Grundstruktur eines mechatronischen Sstems Will man die Bewegungen eines mechatronischen Sstems, das häufig aus einer Vielahl mechanischer und elektrischer Bauteile besteht, beschreiben, so können die Methoden der Kinematik eingesett werden. Die Bewegungsvorgänge in der Mechatronik werden vorwiegend durch rotatorische Antriebe realisiert. Die einelnen Antriebsachsen sind dabei über Drehgelenke und Stäbe gekoppelt. Elektrische Maschine und Getriebe bilden häufig als Getriebemotor den Antrieb.. Kinematik in der Ebene Beim translatorischen Bewegungsablauf müssen der Weg s, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a durch Rotationsbewegungen der einelnen Antriebselemente wie Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung bw. realisiert werden. P(,) -Achsenantrieb in der -Ebene l Für den -Achsenantrieb gilt nachfolgender Arbeitsbereich: l - l + l + l G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I

2 Durch die Geometrie ist der Weg mit seinen -Komponenten gegeben. l cos + l cos ( + ) (.) l sin + l sin ( + ) Die Geschwindigkeit mit den Komponenten und ist die. Ableitung des Weges nach der Zeit. l sin l ( + ) sin ( + ) (.) l cos l ( + ) cos ( + ) Die Beschleunigung mit den Komponenten und ist die. Ableitung des Weges nach der Zeit. l sin l ( + ) sin ( + ) l cos l ( + ) cos ( + ) l cos l ( + ) cos ( + ) l sin l ( + ) sin ( + ) Für die Dimensionierung des Antriebes für jede Achse sind das entsprechende Widerstandsmoment M W ), die Winkelgeschwindigkeit, die Winkelbeschleunigung und das Massenträgheitsmoment J() (beogen auf die jeweilige Achse) erforderlich. Da das Massenträgheitsmoment J() vom Drehwinkel abhängt, ist es während des Bewegungsvorganges auch eitabhängig. Das Antriebsdrehmoment M der jeweiligen Achse muss eakt nach Gl.. berechnet werden. d dj( ) M M W ( ) + J( ) + (.) dt dt Das Massenträgheitsmoment J() wird mit Hilfe des Steiner schen Sates berechnet. Für die Dimensionierung von Antrieben in der Mechatronik ist häufig nur das größte Antriebsdrehmoment von Interesse. Hieraus können die größten Winkelbeschleunigungen bei maimaler Nutlast bw. abhängig von der Nutlast berechnet werden. Im Allgemeinen bestimmen die Beschleunigungsmomente die maimalen Antriebsdrehmomente in der Mechatronik. Aus Gl.. kann unächst der Drehwinkel und anschließend der Drehwinkel berechnet werden. Aus Gl.. können bei bekannten Drehwinkeln und die Winkelgeschwindigkeiten und berechnet werden. Für Servoantriebe sind damit die Lage (Drehwinkel ) und die Drehahl n (Winkelgeschwindigkeit ) bestimmt. Für die maimale Antriebsleistung der Servoantriebe (Dimensionierung des Servoantriebes) müssen usätlich die maimalen Winkelbeschleunigungen und aus Gl.. ermittelt werden.. Kinematik im Raum Im Newton schen Grundgeset m a F präsentiert die Kraft F die Kinetik des Sstems, die Masse m die Trägheit und die Beschleunigung a die Kinematik. Die Bewegung eines realen Sstems ist vollständig beschrieben, wenn der Ortsvektor r (t) für alle Sstemteile bestimmt ist. Für die meisten technischen Ssteme muss diese Aufgabe nur näherungsweise durch Modelle gelöst werden. Das einfachste Modell eines Körpers ist der Massenpunkt. Die aktuelle Position eines Massenpunktes u einem Zeitpunkt t ist durch nachfolgenden Ortsvektor gegeben: r(t) (t) e + (t) e + (t) e (.5) (.) G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I 5

3 P (t) r (t) P (t + t) e r (t) (t) r (t + t) Bewegung eines Massenpunktes P in einem kartesischen Koordinatensstem e 0 e Die aktuelle Position auf der Bahnkurve, (t) die der Massenpunkt im Raum beschreibt, ergibt sich u einem Zeitpunkt t + t als (t) der Ortsvektor r (t t), der gegenüber r (t) einen Zuwachs um r (t) aufweist. Die drei Einheitsvektoren e, e und estehen senkrecht aufeinander. Das kartesische Koordinatensstem wird als im Raum ruhend oder geradlinig gleichförmig bewegt angenommen. In einem kartesischen Koordinatensstem (Inertialsstem) sind die Einheitsvektoren von der Zeit unabhängig, deren Ableitungen nach der Zeit sind gleich Null. In Matrienschreibweise gilt für den Ortsvektor r (t): (t) r(t) (t) (t) Durch Ableitung des Ortsvektors r (t) Massenpunktes P auf der Bahnkurve. nach der Zeit erhält man die Geschwindigkeit (.6) v (t) des v(t) (t) e + (t) e + (t) e (t) (t) (t) (.7) Durch Ableitung der Geschwindigkeit v (t) erhält man die Beschleunigung a (t): (t) a(t) (t) e + (t) e + (t) e (t) (.8) (t) Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve und kann auch in einem sog. natürlichen Koordinatensstem dargestellt werden. G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I 6

4 e b e t a s at Mitbewegtes, natürliches Koordinatensstem Bahnkurve e e r (t) 0 e e n r (t) a a n r (t + t) Im natürlichen Koordinatensstem ist ein dem Massenpunkt begleitendes orthogonales Dreibein mit den Koordinatenachsen t, n und b, die die sog. Schmiegungsebene festlegen. Hierbei ist t die Tangentenrichtung in der Schmiegungsebene, n ist die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b ist die Binormalenrichtung senkrecht u t und n. Im natürlichen Koordinatensstem gilt: d r(t) d r ds v(t) et v dt ds dt (.9) Dabei ist e t der Tangenteneinheitsvektor. Der Betrag der Geschwindigkeit ist: ds v v dt v + v + v + + In natürlichen Koordinaten ausgedrückt beträgt die Beschleunigung: d dv det a(t) (et v) et + v dt dt dt (.0) (.) Für die Ableitung des Einheitsvektors in Tangentenrichtung nach der Zeit gilt: det det ds det d v en v en v (.) dt ds dt ds ds R Der Beschleunigungsvektor a (t) liegt immer in der Schmiegungsebene. Seine Komponenten in Tangential- und Normalrichtung heißen Tangential- und Normalbeschleunigung. v a(t) v et + en a t + a n (.) R R ist der Krümmungsradius der Bahnkurve. Die Normalbeschleunigung ist stets um Krümmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. Für den Betrag der Beschleunigung gilt: + a + a v v + a t + a n a a a R (.) G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I 7

5 Die Bewegung des starren Körpers im Raum kann beschrieben werden, wenn die Lage von wei beliebigen Punkten P und P des starren Körpers verfolgt wird. Die voneinander abhängigen Ortsvektoren r und r erfordern sechs Koordinatenangaben. Die Lage des starren Körpers im Raum wird häufig durch die drei Koordinaten eines Punktes des Starrkörpers in einem Beugssstem und drei Winkelangaben beschrieben. Die Winkel geben die Verdrehung der Achsen eines körpereigenen Koordinatensstems, u den Achsen des ortsfesten Beugssstems an, und war für den betrachteten Punkt. Man beeichnet die drei kartesischen Koordinaten des Punktes P im Beugssstem auch als Position des Punktes und die drei Winkelkoordinaten als Orientierung des Punktes des starren Körpers. Die Absolutbewegung eines Starrkörpers wird durch vektorielle Überlagerung der Führungsbewegung (Position) und der Relativbewegung (Orientierung) ermittelt. Die einfachste räumliche Bewegung erfolgt mit drei linearen Achsen, die orthogonal aufeinander stehen. Durch die reine Translation im Raum verändert sich nur die Position P. Die Bewegung kann mit den Gleichungen.5 bis.8 berechnet werden. Mit Linearantrieben oder Laufkränen mit Laufkranbrücke, Laufkrankate und Laufkranhubwerk werden diese Bewegungen technisch realisiert. Der durch keine Bindungen gefesselte starre Körper hat im Raum 6 Freiheitsgrade. Um seine Lage eindeutig u beschreiben sind daher 6 Koordinatenangaben erforderlich. Häufig sind die Bewegungsmöglichkeiten von einer Kette von starren Körpern durch Bindungen an vorgegebene Bahnen oder durch Fiierung einelner Punkte der Kette eingeschränkt. Bei einem aus verschiedenen starren Körpern bestehenden Mehrkörpersstem kann jeder einelne Körper solchen Bindungen unterworfen sein, außerdem können sie untereinander gekoppelt sein. Diese Kopplungen können starr (Gelenke, Stäbe) oder nicht starr (elastische Federn) sein. Kopplungen, die nicht starr sind schränken die Anahl der Freiheitsgrade des Einelkörpers nicht ein, es wirken aber über die Kopplungselemente Kräfte wischen den Körpern, die bei Problemen in der Kinetik berücksichtigt werden müssen. Starre Kopplungen (kinematische Kopplungen) schränken die Anahl der Freiheitsgrade ein, da wischen den Koordinaten, welche die Lage der Körper beschreiben, feste Beiehungen, sog. Zwangsbedingungen, bestehen. Die Anahl der Koordinaten, die dann mindestens erforderlich ist, um die Lage eines Sstems starrer Körper u beschreiben, entspricht der Anahl der Freiheitsgrade des Sstems. Besteht ein Roboterarm aus l einer kinematischen Kette l von Einelkörpern (Glieder), die jeweils durch ein Drehgelenk miteinander gekop- pelt sind, so hat jeder Einelkörper aufgrund der Ein- l schränkung der Bewegungsmöglichkeit auf eine Rota- l tion nur einen Freiheitsgrad. l 0 0, 0, 0 P (,, ) 5 Roboterarm als kinematische Kette mit 5 Freiheitsgraden G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I 8

6 (l l 0 l l cos sin + l + l cos ( sin ( + + ) l ) l cos ( sin ( (l l cos + l cos ( + ) l cos ( + )) sin Abhängig von der Zeit kann ein Punkt P im Raum mit den Koordinaten,, durch den Ortsvektor r (t) beschrieben werden. Da mit dem 5-Achsen-Roboter nur 5 Freiheitsgrade ur Verfügung stehen, können neben den Raumkoordinaten P(,, ) im Arbeitsbereich nur wei von drei Orientierungen im Raum erreicht werden. Es sind dieses die Orientierungen + + und 5. Mit den Gl..5 und.5 bw..6 erhält man den Ortsvektor. Die Geschwindigkeit v (t) erhält man entsprechend Gl..7 und die Beschleunigung a (t) entsprechend Gl..8. Das Antriebsdrehmoment M der jeweiligen Achse muss nach Gl.. berechnet werden. Die Berechnung der Drehwinkel (Lage) und der Winkelgeschwindigkeiten (Drehahl) für die einelnen Achsen ist sehr aufwendig. Das Gleichungssstem wird im allg. in Matrienschreibweise dargestellt und für die jeweiligen Bahnkurven gelöst. Aus den Winkelbeschleunigungen, den Massenträgheitsmomenten J(), den Geschwindigkeiten, den eitlichen Änderungen der Massenträgheitsmomente dj()/dt und den Widerstandsmomenten M W ) wird für die Achsen die maimale Antriebsleistung der Servoantriebe ermittelt. Bei vielen Robotern wird die notwendige Antriebsleistung im wesentlichen durch die Beschleunigungsmomente bestimmt. + + ) )) cos (.5) G. Schenke,.0 Mechatronik FB Technik, Abt. E+I 9