Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik

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1 Beispiel-Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs. Leistungskurs Fach Mathematik Fachbereich Informatik mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

2 Konstruktionsmerkmale der Aufgabe arten Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 4 Analysis Anwendungen zur Straßennavigation Analysis Anwendungen zu Datenübertragungsraten Lineare Algebra Anwendungen zur Straßennavigation Stochastik Qualitätskontrolle eines PCs mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

3 stellung Ein Softwarehaus führt u. a. Aufträge für unterschiedliche Unternehmen aus dem Bereich der Straßennavigation durch. Als Praktikant durchlaufen Sie verschiedene Abteilungen. Aufgabe Das Softwarehaus erhält die Aufgabe, einen Routenplaner zu entwickeln. Von den darzustellenden Straßen sind jeweils Koordinaten einzelner Punkte bekannt. Diese sollen graphisch durch Funktionsgraphen dritten Grades verbunden werden. Wählt man eine Zoomfunktion, werden auf der Basis von weiteren Punkten die Verbindungslinien neu berechnet.. Gegeben sind die Koordinaten eines Straßenabschnitts durch P( 0) und Q(5 ) sowie die Steigungen in P mit 5 und in Q mit Die beiden Punkte werden durch die Funktion f(x) = x + x x + verbunden. Durch das Hineinzoomen wird ein Zwischenpunkt mit S( 5) hinzugefügt... Als mögliche Lösung wird die Kurvenschar mit der Funktionsgleichung ( 7a) 0a 0 fa(x) = a x + x + (a ) x ; a IR vorgeschlagen. Die 8 8 Punkte P und Q liegen auf allen Graphen der Schar f a. Bestimmen Sie, inwieweit auch der Punkt S auf allen Graphen liegt. ( Punkte) mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

4 .. Damit die glatten Übergänge in den Punkten P und Q erhalten bleiben, müsste es einen Graphen der Schar f a geben, für den sowohl f a '() = 5 als auch f a '(5) = gilt. Prüfen Sie, ob es ein a IR mit diesen Eigenschaften gibt. (6 Punkte).. Im Folgenden soll das Krümmungsverhalten der Strecke betrachtet werden. Zeigen Sie, in welchen Fällen die Wendepunkte der Schar f a im Intervall [;5] liegen. ( Punkte)..4 Begründen Sie, dass die Funktionenschar f a nicht geeignet ist, den obigen Straßenabschnitt darzustellen. ( Punkte). Man entschließt sich, die Verbindungsstücke zwischen den Punkten einzeln zu berechnen. Für die Verbindung SQ ergibt sich so die Funktionsgleichung 5 h(x) = x x + x. Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion g für die Verbindung PS, so dass in S der Übergang zu h glatt ist. (5 Punkte). Aus Gründen der Genauigkeit sind die Abweichungen zwischen f und h zu untersuchen. Ermitteln Sie, an welcher Stelle im Intervall [; 5] der Graph der Funktion h den größten vertikalen Abstand zu f hat. (0 Punkte) Aufgabe Sie erhalten die Aufgabe, sich mit dem Datendurchsatz einer firmeneigenen, hauptsächlich für die nächtliche Sicherung genutzte Datenleitung zu beschäftigen. Die tatsächlichen Datendurchsätze sind auf einem Routermonitor visualisiert.. Der Datendurchsatz zum Zeitpunkt t lässt sich im Intervall [0;0] näherungsweise 0,5t durch den Graphen der Funktion f mit f(t) = t e + beschreiben. Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten der Datendurchsatz maximal bzw. minimal wird. (Eine Einheit entspricht 0 Mbit/s) (8 Punkte). Zeigen Sie, dass F(t) 0,5t = t 4(t + 4t + 8) e eine Stammfunktion von f ist. (5 Punkte). Der Routermonitor zeigt für jeden Zeitpunkt den Datendurchsatz an. Die gesamte Datenmenge ließe sich durch ein Kästchenzählprogramm ermitteln, welches ver- mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 4 von

5 gleichbar einem Verfahren der numerischen Integration - z. B. der Trapezregel - arbeitet. Erläutern Sie die Trapezregel und leiten Sie die zugehörige Formel her. (7 Punkte).4 Bestimmen Sie die Datenmenge, die zwischen 0:00 Uhr und 0:00 Uhr sowie zwischen 6:00 Uhr und 0:00 Uhr übermittelt wird. (6 Punkte).5 Folgende Datendurchflussraten sind bekannt: Uhrzeit 6:00 8:00 0:00 Durchflussrate in Mbit/s 56 4 Ermitteln Sie mit Hilfe der gegebenen Daten eine geeignete Regressionsgerade. Beurteilen Sie die Güte der linearen Regression. Bestimmen Sie mit Hilfe der Regressionsgeraden, welche Datenmenge zwischen 6:00 Uhr und 0:00 Uhr übermittelt wird und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Teilaufgabe.4. ( Punkte) Aufgabe Bei der Programmierung von Navigationssystemen muss die im Karten-Koordinatensystem (Abb. ) dargestellte digitalisierte Karte, auf das Display des Navigationssystems (Abb. ) abgebildet werden. Dieser Vorgang kann vereinfacht folgendermaßen beschrieben werden: Mit Hilfe des Global-Positioning-Systems, kurz GPS, wird ermittelt, in welchem Punkt Z(x m y m ) des Welt-Koordinatensystems (WK) sich z. B. ein Fahrzeug befindet. Dieser Punkt ist Zentrum eines rechteckigen Kartenausschnitts, der dieselben Maße wie das Bildschirm-Koordinatensystem (BK) besitzt (60x90 Pixel). Der rechteckige Kartenausschnitt im WK wird nun mit Hilfe einer affinen Abbildung auf das BK abgebildet, d.h. jeder Punkt oder genauer jeder Ortsvektor x r r eines Punktes des Kartenausschnittes wird eindeutig auf einen Ortsvektor x eines Punktes des BK abgebildet. Im BK ist, wie bei Computergraphiken üblich, die y-achse nach unten positiv orientiert.. Begründen Sie, dass die Umrechnung der Punkte des WK in das BK durch folgende affine Abbildung α beschrieben werden kann: r α:x = 0 0 r x x y m m mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 5 von

6 Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte POI(x m +40 y m +0) (Point of Interest) und K(x m y m +5) (Kreuzung). (0 Punkte). Unterschreitet ein Fahrzeug eine gewisse Geschwindigkeit oder soll ein Abbiegevorgang stattfinden, so wird der Kartenausschnitt im BK mit dem Faktor λ IR > vergrößert. Fixpunkt ist hierbei der Mittelpunkt des BK. r Bestimmen Sie die affine Abbildung β, die jedem Ortsvektor x eines Punktes des BK den Ortsvektor x r des Bildpunktes nach der Vergrößerung zuordnet. Geben Sie auch die Verkettung der Abbildungen α und β an, mit der sich die Koordinaten des WK direkt in die Koordinaten des BK umrechnen lassen und prüfen Sie, ob sich für λ =, 5 die Punkte POI und K im sichtbaren Bereich des BK befinden. (9 Punkte). Bei dem rechteckigen Ausschnitt im WK befindet sich die Himmelsrichtung Norden oben, entsprechend ergeben sich die anderen Himmelsrichtungen. Ändert ein Fahrzeug seine Fahrtrichtung, so bieten heutige Navigationssysteme zwei verschiedene Optionen. Die erste Option ist, dass sich auch im BK Norden immer oben befindet. Bei der zweiten Option befindet sich die aktuelle Fahrtrichtung immer oben. Hierzu muss zunächst der aktuelle Kartenausschnitt im WK gedreht werden und anschließend dieser Ausschnitt auf das BK transformiert werden. Leiten Sie her, dass man für die affine Abbildung Drehung um den Winkel α um den cosα sinα Koordinatenursprung die Abbildungsmatrix verwendet. sinα cosα Hinweis: Verwenden Sie dabei die Additionstheoreme sin( α + β) = sin( α)cos( β) + cos( α)sin( β) cos( α + β) = cos( α)cos( β) sin( α)sin( β) Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von D bei einer Drehung mit einem Winkel von α = 60. ( Punkte).4 Bei der D-Option des Navigationsgerätes wird aus der zweidimensionalen Karte ein räumlich wirkendes Bild erzeugt. Die affine Abbildung, mit der dies realisiert werden kann, sei gegeben durch r,5 r r δ : x r = x; r IR, r > 0 0 r Untersuchen Sie diese Abbildung für r = 0, 5 auf Fixelemente (Fixpunkte, Fixgeraden). Bestimmen Sie auch die Eigenwerte und Eigenvektoren. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 6 von

7 Zeigen Sie, dass es ein r IR gibt, für welches die affine Abbildung eine Fixpunktgerade besitzt und geben Sie diese an. (6 Punkte) y Welt-Koordinatensystem (WK) D(x m -80 y m +45) POI(x m +40 y m +0) K(x m y m +5) 90 Z(x m y m ) 60 O(0 0) O(0 0) Bildschirm-Koordinatensystem (BK) 60 x x Abb. 90 y Abb. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 7 von

8 Aufgabe 4 Die technische Abteilung ist für die Instandsetzung der hauseigenen PCs zuständig. Bei defekten Geräten werden dabei die externen Anschlüsse, die Steckverbindungen auf dem Mainboard, die BIOS-Einstellungen und die Einstellungen der Systemsteuerung geprüft. Lassen sich hier keine Fehler diagnostizieren, werden Hardware- Diagnoseprogramme - zum Beispiel für Arbeitsspeicher, Grafikkarte, Festplatte oder Mainboard - gestartet. 4. Bei 50 % der zu untersuchenden Geräte genügt es, entweder die externen Anschlüsse oder die Steckverbindungen auf dem Mainboard zu kontrollieren, um Fehler zu beseitigen. In 5 % der Fälle sind BIOS-Einstellungen bzw. die Einstellungen der Systemsteuerung zu checken. Erst in allen anderen Fällen ist es nötig, mit Diagnoseprogrammen eine Fehlersuche zu starten. Fünf defekte Rechner sollen geprüft werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Bei mindestens drei Rechnern reicht ein Check der externen Anschlüsse bzw. der Steckverbindungen auf dem Mainboard. B: Unter den letzten drei ist kein Rechner mehr, bei dem ein Hardware- Diagnoseprogramm zum Einsatz kommt. (5 Punkte) 4. Ein genereller PC-Check verläuft nach folgendem Muster: erst Prüfen der externen Anschlüsse, dann der Steckverbindungen auf dem Mainboard, Prüfen der BIOS- Einstellungen, Einstellungen der Systemsteuerung sowie schließlich - nach Bedarf - eine Diagnose mit entsprechenden Programmen für die Hardware. In etwa 40 % aller Fälle genügt das Prüfen der externen Anschlüsse. Führt dies nicht zum Erfolg, führt in 0 % die Untersuchung der Steckverbindungen auf dem Mainboard zum Erfolg. Ist der Defekt immer noch nicht beseitigt, gelingt es in 0 % der Fälle, über die BIOS- Einstellungen und Systemeinstellungen den Fehler zu finden. Erst dann kommt die Hardwarediagnose zum Zuge. Stellen Sie die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms dar und bestimmen Sie, in wie viel Prozent der Fälle eine Hardwarediagnose notwendig ist. (5 Punkte) 4. Ein neues Diagnoseprogramm für Festplatten erkennt in 95 % der Fälle Defekte auf der Festplatte. In % aller Fälle diagnostiziert es fälschlicherweise auch korrekt arbeitende Festplatten als fehlerhaft. Man weiß, dass Geräte von den zu prüfenden 0 voraussichtlich einen Festplattenfehler aufweisen. Untersuchen Sie die Brauchbarkeit des Diagnoseprogramms wie folgt: () Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein erkannter Festplattenfehler wirklich eine defekte Festplatte zur Ursache? mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 8 von

9 () Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als fehlerfrei diagnostizierte Festplatte defekt? ( Punkte) 4.4 Tritt ein Hardwarefehler auf, der eine Hardwarediagnose nötig macht, kommen vier verschiedene spezielle Diagnoseprogramme zum Einsatz: () für den Arbeitsspeicher, () für die Grafikkarte, () für die Festplatte und (4) für das Mainboard. Man geht davon aus, dass der Fehler nur in einem der vier Bereiche zu finden ist. Allerdings ist der Zeitaufwand und damit der Kostenaufwand für den Einsatz der Diagnoseprogramme sehr unterschiedlich. Während die Untersuchung des Arbeitsspeichers im Durchschnitt 60 Minuten und die der Festplatte 0 Minuten dauert, genügen für die Untersuchung der Grafikkarte und des Mainboards bereits jeweils 5 Minuten. Der Techniker A prüft immer erst den Arbeitsspeicher; findet er keinen Fehler, ist die Festplatte an der Reihe. Ist sie auch in Ordnung, wird die Grafikkarte untersucht. Sollte sie auch fehlerfrei sein, muss das Mainboard Fehlerursache sein. Techniker B beginnt mit der Untersuchung des Mainboards, dann folgen die Grafikkarte und schließlich die Festplatte. Sind sie in Ordnung, muss der Arbeitsspeicher defekt sein. Techniker C führt erst das Diagnoseprogramm für die Festplatte, dann für die Grafikkarte und anschließend für das Mainboard aus. Sollte kein Fehler in diesen Teilen gefunden werden, wird der Fehler im Arbeitsspeicher angenommen. Für die Diagnose werden dem Kunden je 0 Minuten Laufzeit der Diagnoseprogramme 0,00 in Rechnung gestellt. Es wird angenommen, dass Fehler bei der Grafikkarte, der Festplatte und dem Arbeitsspeicher gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler des Mainboards wird mit p angenommen. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von p, welcher Techniker langfristig am kostengünstigsten arbeitet. (9 Punkte) 4.5 Nach einem Generalcheck geht die technische Abteilung davon aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ein PC ein Jahr ohne Defekt übersteht. Bei einer Stichprobe vom Umfang 50 sind nach einem Jahr 7 Geräte defekt. Überprüfen Sie die Annahme der technischen Abteilung mit einem einseitigen Signifikanztest bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %. (7 Punkte) mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 9 von

10 Materialgrundlage keine 4 Bezüge zu den Prüfungsvorgaben für das Zentralabitur am Berufskolleg im Jahr 009 Aufgabe Aufgabe Funktionsklassen ganzrationale Funktionen - Funktionseigenschaften o Kurvenscharen und Parameter in Funktionsvorschriften o Abschnittsweise definierte Funktionen o Differenzierbarkeit und Stetigkeit o Ableitungsregeln o Extrempunkte und Wendepunkte o Krümmung - Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen o Lineare Gleichungssysteme mit bis zu 4 Unbekannten Funktionsklassen ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktion und deren Verknüpfungen - Funktionseigenschaften o Abschnittsweise definierte Funktionen o Differenzierbarkeit und Stetigkeit o Ableitungsregeln o Extrempunkte - Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen o Regressionsgerade mit der Methode der kleinsten Quadrate mit mind. 5 Punkten - Integration o Umgang mit Integralfunktionen o Bestimmung von Stammfunktionen o Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 0 von

11 Aufgabe Aufgabe 4 Lineare Algebra - Geraden und Ebenen im IR³ o Darstellungsformen von Geraden und Ebenen o Schnittpunkte und Schnittgeraden - Grundlagen der Matrizenrechnung o Elementare Matrizenoperationen o Lineare Abbildungen und ihre Verkettungen o Abbildungsmatrizen und affine Abbildungen o Umkehrbare Abbildungen und inverse Matrizen o Eigenwerte und Eigenvektoren Stochastik - Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung o Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit nach Laplace, Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, Pfadregeln, Zählstrategien (Allgemeines Zählprinzip, Binomialkoeffizient, n-fakultät) o Zufallsgrößen, Erwartungswert, o Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vier-Felder-Tafeln, Baumdiagramme o Satz von Bayes - Binomialverteilung o Kenngrößen der Binomialverteilung - Hypothesentest o Einseitiger Signifikanztest 5 Zugelassene Hilfsmittel Für den satz sind zugelassen: - Gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielaufgaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - Tabellierte kumulierte Binomialverteilung, - nicht programmierbare wissenschaftliche Taschenrechner. Für den satz sind nicht zugelassen: mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

12 - Schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathematische Lexika - Computeralgebrasysteme - Taschenrechner, die über eines der folgenden Leistungsmerkmale verfügen: Erstellen von Wertetabellen Darstellen von Funktionsgraphen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Numerisches Integrieren oder Differenzieren Rechnen mit Matrizen und Vektoren 6 Hinweise zur auswahl durch die Lehrkraft/den Prüfling Für die Abiturprüfung 009 erhält die Schule insgesamt vier, davon zwei zur Analysis, eine Aufgabe zur Linearen Algebra/Analytischen Geometrie und eine Aufgabe zur Stochastik. Die beiden zur Analysis sind verbindlich zu bearbeiten. Von den zur Linearen Algebra/Analytischen Geometrie und zur Stochastik wählt die Fachlehrerin/der Fachlehrer eine Aufgabe zur Bearbeitung aus. Somit erhalten die Schülerinnen und Schüler drei voneinander unabhängig lösbare Prüfungsaufgaben zur Bearbeitung. Sie erhalten keine zur Auswahl. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

13 7 Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 7. Allgemeine Hinweise Die Bewertung erfolgt anhand des folgenden Bewertungsschemas. Als Grundlage einer kriteriengeleiteten Beurteilung werden zu erbringende Teilleistungen ausgewiesen, die die mit der jeweiligen Aufgabe verbundenen en aufschlüsseln. Die Lösungserwartungen dienen der Orientierung der Korrektoren und sind nicht als exakte Vorformulierungen von Schülerlösungen zu verstehen. Zusätzliche Leistungen sind angemessen zu berücksichtigen. Dies betrifft etwa Lösungen, die bei den Lösungserwartungen nicht aufgeführt sind, aber dennoch eine richtige Lösung sind. Der aufgeführte Anteil der Punkte je Teilaufgabe ist eine Orientierungshilfe für die vorgesehene Bearbeitungszeit je Aufgabe. Beispiel: Für 0 % der Gesamtpunktzahl sollte etwa 0 % der gesamten Bearbeitungszeit eingeplant werden. Die Anordnung der Kriterien folgt einer plausiblen logischen Abfolge von Lösungsschritten, die aber keineswegs allgemein vorausgesetzt werden kann und soll. Die Teilleistungen werden den in Teil I der Bildungspläne definierten sn I bis III zugeordnet. Danach werden den Lösungen der Punkte zugewiesen, die den Schwierigkeitsgrad, die Komplexität und den Zeitaufwand für die Bearbeitung der einzelnen Teilaufgabe repräsentieren. Die für jede Teilleistung angegebenen Punktwerte entsprechen einer maximal zu erwartenden Lösungsqualität. Hinzu kommt die Art der Bearbeitung in den verschiedenen sn, wobei Aspekte der Qualität, Quantität und der Darstellungsweise berücksichtigt werden. Die folgenden Bewertungskriterien werden in einen für jede Klausur gesondert auszufüllenden 'Bewertungsbogen' aufgenommen, der den Fachlehrerinnen und Fachlehrern zur Verfügung gestellt wird. In diesen trägt die erstkorrigierende Lehrkraft den entsprechend der Lösungsqualität jeweils tatsächlich erreichten Punktwert für die Teilleistung in der Bandbreite von 0 bis zur vorgegebenen Höchstpunktzahl ein. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

14 7. Teilleistungen Kriterien a) inhaltliche Leistung s- stellung und erwartete Lösung I II III.. f a () = 5. Durch fa'() = 5 und fa'(5) = werden eindeutig zwei verschiedene Kurven der Schar bestimmt. ( f für f '() = 5 und f für f '(5) = ). 9 a a f '(5) = f 9 '(5) = 4 f '() = 5 f 9 '() = Folglich gibt es keine entsprechende Kurve der Schar.. und 7a fa' '(x) = 6ax 4 f a '''(x) = 6a f a ' '(x) = 0 7a x = 4a 6 8 Für alle a IR\{0} gibt es Wendestellen. 7a x = 4a (a) Für x = nicht lösbar (b) (c) 7a a < 0 a 4a 48 7a 5 a > 0 a 4a 48 Demnach liegen für alle a mit a Wendepunkte im Intervall [;5]. a Positiv ist, dass S auf den Graphen der Schar f liegt. a 48 Negativ ist, dass die vorgegebenen Steigungen nicht erreicht werden. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 4 von

15 s- stellung und erwartete Lösung I II III. g(x) = ax + bx + cx + d g' (x) = ax + bx + c 4 = h' () = g' () 7a + 6b + c = g' () = 5 a + b + c = 5 g () = 0 a + b + c + d = 0 g () = 5 7a + 9b + c + d = 5 d c b a d c b a g(x) = x + t(x) : = h(x) f(x) = t'(x) 5 = x x = 5 ) < 0 5 t'( ) = x x 4 x 7 x = 5 t ''( t' '(5) > 0 Da 0 t''( ) < 5 ein lokaler Hochpunkt vor. x x + t'(x) = ist, liegt in ( 5 x 875,00) 4 6 mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 5 von

16 s- stellung und erwartete Lösung I II III In x = 5 berühren sich die beiden Graphen, lokaler Tiefpunkt von t. Im Intervall x ist t monoton steigend, im Intervall x 5 fallend. Deshalb liegt der größte 5 5 Abstand in (,00) mit,00 LE vor. 5 Summe Aufgabe mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 6 von

17 s- stellung und erwartete Lösung I II III. t f'(t) = t e (4 t) f '(t) = 0 t=0 t = f' '(4) = 4 e f' '(0) = 4 Da f '(4) = 0 f' '(4) < 0 folgt, dass in (4 6,) ein lokaler Hochpunkt vorliegt. Da f '(0) = 0 f' '(0) > 0 folgt, dass in (0 )ein lokaler Tiefpunkt vorliegt. f ist für 0 < x < 4 streng monoton steigend, f ist für x > 4 streng monoton fallend und f(0)=,06 Folglich hat f in (0 ) einen globalen Tiefpunkt und in (4 6,) einen globalen Hochpunkt. Min. Datendurchsatz mit 0 Mbit/s um 0:00 Uhr. Max. Datendurchsatz mit 6,Mbit/s um 4:00 Uhr.. 0.5t F(t) = t 4 (t + 4t + 8) e F'(t) = 4 ((t + 4) e = (8t + 6) e = + e = + t 0.5t e ( 8t 6 + t 0.5t 0,5t q.e.d. 0.5t + (t + (t + 4t + 8) e + 8t + 6) + 4t + 8) ( 0.5 e 0.5t 0.5t )). Die Näherungsformel für die Trapezregel b n yi + y i f(x)dx = lim Δx n a i= 5.4 ist zu erläutern und zu visualisieren. 0 A = 0 f(t)dt = 0 F(t) 0 = 79,4 Mbit 0 [ ] = 0 (9,94 ( )) 0 4 mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 7 von

18 s- stellung und erwartete Lösung I II III A 0 75,55 Mbit [ ] = 0 f(t)dt = 0 F(t) 0 = 0 (6,04 (,54)) = x i y i x i y i Für die Regressionsgerade y=ax+b gilt allgemein: a n ( y i i = = n i = y)( x ( x i i x) x) und b = y a x. Folglich ergibt sich für a = -0,575 und für b = 9, also f(x)= x+9. Um die Güte zu beurteilen, bestimmt man den Korrelationskoeffizienten 4 r = n i= n i= i (y y)(x (x x) i i n i= x) (y y) i Es ergibt sich als Korrelationskoeffizient r -0,997. Das Ergebnis verweist auf eine strenge negative Korrelation, also auf eine hohe Güte. Zu bedenken ist allerdings, dass lediglich drei Messwerte zur Bestimmung herangezogen wurden. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 8 von

19 s- stellung und erwartete Lösung I II III Die übermittelte Datenmenge beträgt A = 0 (0 6) (f(0) + f(6)) = 76Mbit, was dem Ergebnis von Teilaufgabe.4 entspricht und die Güte der Regression bestätigt. Summe Aufgabe mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 9 von

20 s- stellung und erwartete Lösung I II III. Die Abbildung des Kartenausschnitts auf das BK kann durch die Hintereinanderausführung zweier Kongruenzabbildungen beschrieben werden. Zunächst wird der Ausschnitt (bzw. jeder Punkt) mit den Verschiebepfeilen zum Vektor r xm 80 t = verschoben. Durch anschließende ym + 45 r r Multiplikation des Vektors x+ t mit der Matrix 0 A = ändert sich die Orientierung der y-achse 0 (Wechsel des Koordinatensystems). Insgesamt ergibt uur 0 r xm 80 sich also: α :x' = x 0 ym + 45 Für den Punkt POI( x 40 y 0) m + + ergibt sich: m 6 uur x' 0 x + 40 x m m = = = ym+ 0 ym+ 45 POI' ( 0 5) Für den Punkt K( x y 5) m m + ergibt sich: uur 0 xm xm x' = = = 0 ym+ 5 ym K' 80 0 ( ). Die Vergrößerung des Kartenausschnitts im BK kann mit Hilfe einer zentrischen Streckung realisiert werden. Fixpunkt ist dabei der Punkt Z (80 45). Hieraus folgt für die Abbildung β: uur λ 0 uur β :x'' = x' +. 0 λ mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 0 von

21 s- stellung und erwartete Lösung I II III Für die Berechnung der Koordinaten nach der Vergrößerung unmittelbar aus den Koordinaten des WK müssen die beiden Abbildungen α und β verkettet werden: 4 uur λ 0 0 r x o :x'' x uur λ 0 0 r xm 80 x'' = x λ 0 ym 45 uur λ 0 r λxm 80 x'' = x+ + 0 λ λym 45 uur λ 0 r 80 λx m x'' = x+ 0 λ 45 +λ y m m β α = + λ ym + 45 Bildpunkt von POI: uur,5 0 xm ,5x m 40 x'' = + = 0,5 ym ,5y m 5 POI'' ( 40 5 ) Bildpunkt von K uur,5 0 x 80,5x 80 ( ) m m x'' = + = K'' ,5 ym ,5y m 0 Somit ergibt sich, dass beide Bildpunkte im sichtbaren Bereich liegen. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

22 s- stellung und erwartete Lösung I II III. Sei α der Winkel, den der Ortsvektor des Punktes P(x y) mit der x-achse einschließt undγ das Drehwinkelmaß, dem P auf P (x /y ) abgebildet wird, sowie Z(0/0) das Drehzentrum. x = r cosα x' = r cos( α + γ) Dann gilt: sowie y = r sinα y' = r sin( α + γ) Hieraus ergibt sich mit Hilfe der Additionstheoreme: x' = r(cosα cos γ sinα sin γ) y' = r(sinα cos γ + cosα sin γ) Ersetzt man wieder r cosα durch x und r sinα durch y, so erhält man: 6 x' = xcos γ y sin γ y' = x sin γ + ycos γ x ' cos γ = y' sin γ sin γ x cos γ y Die Drehung des Kartenausschnittes im WK kann als affine Abbildung mit der Drehmatrix D = und Fixpunkt Z(x m ym ) realisiert werden. Somit ergibt sich: uur r x x m m γ :x' = x + ym ym mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

23 s- stellung und erwartete Lösung I II III Bildpunkt von Q 4 uur xm 80 xm xm x' = + ym + 45 ym ym 80 xm = + 45 ym.4 Fixpunkte xm + ' = Q4 xm,0 ym + 9, ym + ( ) Es muss r r gelten: r r A x = x A E x = 0 wobei E die Einheitsmatrix sei. ( ) 0,5 0,5 x r Aus = 0 folgt als einzige Lösung 0 0,5 x x = 0 x = 0. ( ) Einziger Fixpunkt ist also O 0 0. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

24 s- stellung und erwartete Lösung I II III Die Matrixgleichung ( ) Zur Bestimmung der Fixgeraden können zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren ermittelt werden. r r r r A v =λv A λe v = 0 besitzt genau dann vom Nullvektor verschiedene Lösun- det( A λ E ) = 0. gen, wenn ( ) Die charakteristische Gleichung λ = 0 0 hat die λ λ = 0 λ Lösungen λ = und λ =. Eigenvektor zum Eigenwert λ = mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 4 von

25 s- stellung und erwartete Lösung I II III Einsetzen von λ = in die obige Matrixgleichung führt zu den Gleichungen v = 0 v = 0. Also v = 0, v = t IR v = t 0 beschreibt die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert λ =. Eigenvektor zum Eigenwert λ = Einsetzen von λ = in die obige Matrixgleichung führt zu den Gleichungen v+ v = 0 0 = 0. Setzt man z.b. v = t, r so folgt v = t v = t beschreibt die Menge der Eigenvektoren zum Eigenwert λ =. Da O(0 0) Fixpunkt der affinen Abbildung ist, erhält man die Fixgeraden r r g : x = t und g : x = t. 0 Eine Fixpunktgerade existiert nicht, da beide Eigenwerte von verschieden sind. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 5 von

26 s- stellung und erwartete Lösung I II III Untersuchung der allgemeinen Abbildung δr auf Fixpunktgeraden r r r r A x = x ( A E) x = 0 mit E Einheitsmatrix 0,5 r x r Aus = 0 folgt 0 r x 0,5x+ rx = 0 ( r ) x = 0 Fallunterscheidung für r = und r Für r folgt x = 0 und x = 0. Somit ist O( 0 0 ) einziger Fixpunkt. Aus r = ergibt sich x = t und x = t (t IR). Daraus folgt, dass die Menge der Fixpunkte durch Ft ( t t ) gegeben ist. Diese Punkte r liegen also auf der Fixpunktgeraden f : x = t 6 Summe Aufgabe mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 6 von

27 s- stellung und erwartete Lösung I II III 4 4. A: X ist die Anzahl derjenigen Rechner, bei denen ein Check der externen Anschlüsse bzw. der Verbindungen am Board genügen. P(A) = P(X ) = 5 0, , ,5 =0,5 5 B: P(B) = 0,85³ 4. Lösen lässt sich dies über ein dreistufiges Baumdiagramm. E i : Fehler gefunden Prüfen der externen Anschlüsse: Prüfen der Steckverbindungen 0,4 0,6 E E auf dem Mainboard: 0, 0,7 Prüfen der BIOS-Einstellungen E E und der Einstellungen 0, 0,7 der Systemsteuerung: E E Folglich ist in 0,6 0,7² Fällen, also in 9,4 % der Fälle ein Einsatz von Hardwareprogrammen notwendig. mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 7 von

28 s- stellung und erwartete Lösung I II III 4. D: Gerät ist defekt E: Gerät wird als defekt erkannt. 5 0,5 0,85 D D 0,95 0,05 0,0 0,98 E E E E P E ( D) = P(D E) 0,95 0, 5 = P(E) 0,95 0, 5+ 0,85 0,0 = 0,894 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 89,4 % handelt es sich bei der Diagnose um einen Festplattenfehler. P(D E) 0,5 0,05 P E (D) = = = 0, 0089 P(E) 0,5 0,05 + 0,85 0,98 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,89 % ist die als fehlerfrei diagnostizierte Festplatte doch fehlerhaft. 4.4 Arbeitsspeicher Grafikkarte Festplatte Board 5 4 (A) (G) (F) (B) P(Defekt) p p p p Kosten 60,00 5,00 5,00 0,00 mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 8 von

29 s- stellung und erwartete Lösung I II III Es wird überprüft, wie sich die Prüfkosten je Techniker langfristig verhalten. Folglich ist der jeweilige Erwartungswert zu berechnen. Prüfkosten Techniker A: T T: t i 60,00 65,00 70,00 P(T = t i ) p p (- ) p p ( - )² Prüfkosten Techniker B: U U: u i 0,00 5,00 40,00 p P(U = u i ) p ( - p) p (-p) ( - ) Prüfkosten Techniker C: V V: v i 5,00 0,00 70,00 P(V = v i ) p ( - p ) p p ( - )² p E(T) = (- ) p p p + 70 ( - )² = 5 (p + 7p + 8) 9 p E(U) = 0 p + 5 (-p) p + 40 (-p) ( - ) 5 (p = + 4p ) p E(V) = 5 +0 (- ) p p p + 70 ( - )² mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 9 von

30 s- stellung und erwartete Lösung I II III Da p [0 ; ] ist und E(V) E(T) = 55 (p + 4p 5) gilt, ergibt sich: 9 für p =, arbeiten A und C langfristig kostengleich, in allen Fällen ist C kostengünstiger als A. 5 (5p E(V) E(U) = + p ) für p < für p = für p > 48 0,09 ist B teurer als C, sind beide gleichgünstig, ist C teurer als B. 0 0 mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite 0 von

31 s- stellung und erwartete Lösung I II III 4.5 X beschreibt die Anzahl der Geräte unter 50, die nach dem Generalcheck ein Jahr ohne Defekt arbeiten. 7 H 0 : p 0,95 H : p < 0,95 Es handelt sich hierbei um einen linksseitigen Test. X ist bei wahrer Nullhypothese im ungünstigsten Fall B(50 0,95) verteilt. Es ist der Ablehnungsbereich durch K = {0;... ; g} anzugeben. P( X g) 0,05. Mit Hilfe der Tabelle ergibt sich der Wert g = 44. Sollten bis zu 44 der 50 Geräte nur fehlerfrei arbeiten, ist die Annahme des Unternehmens zu verwerfen. Folglich ist bei 7 defekten Geräten die Aussage des Unternehmens nicht korrekt. Summe Aufgabe Summe Aufgabe 47 Summe Aufgabe 47 Summe Aufgabe 47 Summe Aufgabe 4 47 Summe für von 4 4 mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von

32 b) Darstellungsleistung Kriterien Dokumentation: Verwendung der Fachsprache, Verständlichkeit, Visualisierung Punkte 9 Summe Darstellungsleistung 9 Gesamtsumme aus 7.a und 7.b: Bewertung (Notenfindung) Note Punkte erreichte Prozentzahl erreichte Punktzahl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend mathe_lk_inf_beispielaufg09_07085.doc Seite von