Quadratische Formen. und. Symmetrische Matrizen

Transkript

1 Quadratische Formen und Symmetrische Matrizen 1

2 Ouverture: Lineare Funktionen von R n nach R 1 2

3 Beispiel: n = 2 l : (x 1, x 2 ) T 0.8x x 2 = < x, g > mit g := (0.8, 0.6) T. Wo liegen alle x = (x 1, x 2 ) T mit l( x) = 3? { x l( x) = 3} =? Wie sieht die Niveaulinie von l zum Wert 3 aus? Wegen g = 1 ist < x, g > die g-koordinate von x. 3

4 Die zum Wert 3 gehörige Niveaulinie der Abbildung l( x) = < x, g > besteht aus allen Punkten x mit g-koordinate 3: sie ist eine Gerade senkrecht zu L( g) durch den Punkt 3 g. 4

5 x x 2 g x 1 5

6 Erster Akt: Quadratische Funktionen von R n nach R 1 (Quadratische Formen) 6

7 Wie sehen quadratische Funktionen q : R n R aus? Beispiel: n = 2 q((x 1, x 2 ) T ) := x x2 2 Was sind die Niveaulinien von q? q( x) = c x 2 = c Kreise um den Ursprung 7

8 Beispiel: n = 2 q((x 1, x 2 ) T ) := 1 9 x x2 2 Was sind die Niveaulinien von q? ( ) x1 2 ( x2 + ) 2 q( x) = = c 3 2 Ellipsen um den Ursprung, mit den Standardachsen als Hauptachsen. Z. B. liegen auf der Niveaulinie zu c = 1 die Punkte (3, 0) und (0, 2). 8

9 t Alle q-werte sind 0. q hat ein Minimum im Punkt 0. 9

10 Beispiel: n = 2 q((x 1, x 2 ) T ) := x 2 1 x2 2 Was sind die Niveaulinien von q? q( x) = x 2 1 x2 2 = c Hyperbeln, mit Haupt-und Nebendiagonale als Achsen. 10

11 q( x) = x 2 1 x2 2 q negativ q positiv q negativ t q positiv. 0 ist ein Sattelpunkt: Im Punkt 0 hat q eingeschränkt auf die x 1 -Achse ein Minimum, eingeschränkt auf die x 2 -Achse ein Maximum. 11

12 x 2 q( x) = x 2 1 x2 2 = c x 1. Speziell: c = 0: x 2 1 = x2 2 x 1 = ±x 2 12

13 q( x) = x 2 1 x2 2 = c x 2 Speziell: c = 1: x 1. x 2 2 = x2 1 1 Bei x 2 = 0 ist x 1 = ±1 Für x 1 ist x 2 = ±x 1 + o(1) 13

14 Und jetzt zu allgemeinen quadratischen Funktionen q : R n R Z. B. für n = 2: q((x 1, x 2 ) T ) = ax bx 1x 2 + cx 2 2 Oder für n = 3: q((x 1, x 2, x 3 ) T ) = ax 2 1 +bx2 2 +cx2 3 +2d x 1x 2 +2e x 1 x 3 +2f x 2 x 3 Ein Clou: Alle diese q( x) kann man in der Form x T mal Matrix mal x schreiben. 14

15 Z.B.: ax bx 1x 2 + cx 2 2 = [x 1, x 2 ] a b b c x 1 x 2 ax bx2 2 + cx dx 1x 2 + 2ex 1 x 3 + 2fx 2 x 3 = [x 1, x 2, x 3 ] a d e d b f e f c x 1 x 2 x 3. 15

16 Sei Q : R n R n eine lineare Abbildung mit Matrixdarstellung Q. Die Funktion q : R n R q( x) := < x, Q x > = x T Q x = n i,j=1 Q ij x i x j heißt eine quadratische Form. 16

17 q((x 1, x 2 ) T ) := [x 1, x 2 ] a d e c = [x 1, x 2 ] Beispiel: x 1 x 2 a b b c = ax 2 1 +(d+e)x 1x 2 +cx 2 2 x 1 x 2 mit b := 1 2 (d + e). Man kann also ohne Einschränkung annehmen, dass Q symmetrisch ist. Das klappt in jeder Dimension n: 17

18 Ist q( x) = x T Q x = n i,j=1 Q ij x i x j eine quadratische Form, dann kann man ohne Einschränkung annehmen, dass Q symmetrisch ist, d.h. Q = Q T. Denn Q ij und Q ji treten in q nur im Koeffizienten (Q ij + Q ji ) von x i x j auf. Man kann beide durch (Q ij + Q ji )/2 ersetzen, ohne den Wert q( x) zu verändern. 18

19 Wir werden sehen: Die Symmetrie von Q macht es möglich, die quadratische Form q durch Basiswechsel in eine sehr einfache Form zu bringen. 19

20 Zweiter Akt: Selbstadjungierte Abbildungen 20

21 Zur Erinnerung: L ist die zu L adjungierte Abbildung, definiert durch < L y, x > = < Lx, y > für alle x, y Ist L die Matrixdarstellung von L, dann hat L die Matrixdarstellung L T (die Transponierte von L). In der Singulärwertzerlegung hat L eine einfache Gestalt: 21

22 L b2 σ 1 b1 a 2 σ 2 b2 b1 a 1 a 2 σ 2 a 2 b2 b1 a 1 σ 1 a 1 L 22

23 Definition: Eine lineare Abbildung L : R n R n heißt selbstadjungiert, wenn L = L. 23

24 Zur Erinnerung: Ist L die Matrixdarstellung von L, dann hat L die Matrixdarstellung L T (die Transponierte von L). Die Selbstadjungiertheit von L ist also äquivalent zur Symmetrie von L : L T = L. 24

25 Für selbstadjungierte Abbildungen nimmt die Singulärwertzerlegung eine besonders einfache und ansprechende Gestalt an: SATZ. Sei L : R n R n selbstadjungiert. Dann gibt es eine orthonormale Basis { a 1,..., a n } des R n und reelle Zahlen λ 1,..., λ n mit L a i = λ i a i i = 1,..., n. (Die λ i sind die Eigenwerte von L und die a i sind Eigenvektoren.) Dieser wichtige Satz beruht auf dem folgenden Lemma: 25

26 Lemma: Sei L : R n R n selbstadjungiert. Dann kann man die Singulärbasen { a 1,..., a n }, { b 1,..., b n } in der Singulärwertzerlegung von L so wählen, dass für jedes i = 1,.., n gilt: a i = b i oder a i = b i. 26

27 Wir machen uns das zumindest für den Fall klar, dass alle Singulärwerte σ i, i = 1,..., r, voneinander verschieden sind. Dann gilt: ± a 1 sind die beiden Einheitsvektoren mit dem längsten Bild unter L; ± b 1 sind die beiden Einheitsvektoren mit dem längsten Bild unter L T. Aber L = L T, also muss gelten: entweder a 1 = b 1 oder a 1 = b 1. Dasselbe Argument für L eingeschränkt auf (L( a 1 )) liefert: entweder a 2 = b 2 oder a 2 = b 2, u.s.w. 27

28 Beweisskizze des Satzes: Wir wissen aus dem Lemma: Sei L : R n R n selbstadjungiert. Dann kann man die Singulärbasen { a 1,..., a n }, { b 1,..., b n } in der Singulärwertzerlegung von L so wählen, dass für jedes i = 1,.., n gilt: a i = b i oder a i = b i Also gilt für 1 i r: L a i = σ i b i = σ i a i falls a i = b i L a i = σ i b i = σ i a i falls a i = b i. 28

29 Wir setzen für 1 i r: λ i := σ i λ i := σ i falls a i = b i falls a i = b i und für r < i n: λ i = 0. Damit ist der Satz bewiesen. 29

30 Hier ist der Satz nochmal: Sei L : R n R n selbstadjungiert. Dann gibt es eine orthonormale Basis { a 1,..., a n } des R n und reelle Zahlen λ 1,..., λ n mit L a i = λ i a i i = 1,..., n. Mit anderen Worten: Sei L : R n R n selbstadjungiert. Dann gibt es eine orthonormale Basis des R n bestehend aus Eigenvektoren von L. 30

31 L a i = λ i a i i = 1,..., n. Nimmt man zur Darstellung von Ein-und Ausgabe jeweils die Basis A = { a 1,..., a n }, dann hat L die Matrixdarstellung = λ λ λ n. 31

32 Die Matrizen = λ λ λ n und L sind zwei Matrixdarstellungen der linearen Abbildung L, und zwar bezüglich A und L bzgl. der Standardbasis. Man beachte: Eingaberaum und Ausgaberaum stimmen jetzt überein, und in beiden Räumen wird dieselbe Basis genommen. 32

33 Der Zusammenhang zwischen den Matrizen und L ergibt sich über die Basiswechselmatrix A: L = A A T. 33

34 Die Spalten a 1,..., a n sind orthogonale Einheitsvektoren. Nach der Zeile mal Spalte-Regel ist dies gleichbedeutend mit A T A = I. Zur Erinnerung: Eine Matrix A mit dieser Eigenschaft nennt man orthogonal. Die orthogonalen Matrizen sind die Basiswechselmatrizen zwischen orthonormalen Basen. 34

35 Wir können unseren Satz über die Existenz von orthonormalen Eigenbasen zu selbstadjungierten Abbildungen auch formulieren als Satz über Matrizen: SATZ. Sei L eine symmetrische Matrix: L = L T. Dann gibt es eine orthogonale Matrix A und eine Diagonalmatrix mit L = A A T. 35

36 Dritter Akt: Quadratische Formen in Eigenkoordinaten 36

37 q : R n R q( x) := < x, Q x > = x T Q x sei eine quadratische Form mit symmetrischer Matrix Q (selbstadjungierter Abbildung Q). λ 1,.., λ n seien die Eigenwerte von Q und A sei eine orthonormale Basis bestehend aus Eigenvektoren von Q: Q a 1 = λ 1 a 1, Q a n = λ n a n. 37

38 Wenn man x in der A-Basis ausdrückt: x = u 1 a u n a n, dann bekommt man Q x ganz einfach: Q x = u 1 λ 1 a u n λ n a n Und q( x) =< x, Q x > nimmt eine transparente Form an: q( x) = λ 1 u λ nu 2 n. (Denn im Skalarprodukt < x, Q x > verschwinden alle gemischten Terme, wie z.b. < a 1, a 2 >.) 38

39 In den Eigenkoordinaten werden die Niveauflächen genau so transparent wie die eingangs betrachteten Beispiele in Standardkoordinaten. BEISPIEL: Die Niveaulinien einer allgemeinen quadratischen Form im R 2 : {q = c} = {(u 1, u 2 ) T λ 1 u λ 2u 2 2 = c} 39

40 Der Fall λ 2 > 0 > λ 1 : 0 ist ein Sattelpunkt: q negativ q positiv t u 2 q positiv q negativ. u 1 Im Punkt 0 hat q eingeschränkt auf die u 1 -Achse ein Maximum, eingeschränkt auf die u 2 -Achse ein Minimum. 40

41 Beispiel 1: q q((u 1, u 2 ) T ) = u u u 1 u

42 q Einige Niveaulinien q((u 1, u 2 ) T ) u 1 u = u u2 2 = const 2 u u

43 Beispiel 2: q 5 0 q((u 1, u 2 ) T ) = u 2 1 2u u 1 u

44 q Einige Niveaulinien q((u 1, u 2 ) T ) u 1 u = u 2 1 2u2 2 = const 2 u u

45 q q((u 1, u 2 ) T ) = λ 1 u λ 2u u 1 u Beispiel 1: λ 2 > λ 1 > 0 Beispiel 2: λ 1 > 0 > λ 2 q u u

46 Und falls einer der beiden Eigenwerte verschwindet, dann beschreibt die quadratische Form 46

47 einen Trog... λ 1 > 0, λ 2 = 0 u 1 u 2 47

48 ... oder einen Kamm. λ 1 < 0, λ 2 = 0 u 1 u 2 48

49 Beispiel: q((x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 2x x2 3 8x 1x x 1 x x 2 x 3 Hat q im Nullpunkt des R 3 ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt? q( x) = [x 1, x 2, x 3 ] x 1 x 2 x 3 = x T Q x Der R-Befehl eigen (Q) liefert die Eigenwerte von Q: λ 1 7.9, λ 2 3.7, λ Also hat q einen Sattelpunkt. 49