Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana battilana.uk/teaching October 2, 207

2 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v kw k so dass: u, v, w E n, λ E: i v + λw, u = v, u + λ w, u Bilinearität bzw. Sesquilinearität ii v, w = w, v symmetrie bzw. hermitesch iii v, v 0 und v, v = 0 v = 0 positiv semidefinit Beispiel zum Skalarprodukt: Beitrag von Milos Radonjic Sei V := R 2 und betrachte die Abbildung V V R 3 v, w v, w := v T w 3 Zeige oder widerlege das v, w ein Skalarprodukt ist. Lösung: Beweis: Bilinearität: Linearität im zweiten Argument: Seien v, v 2, w V und λ R, dann gilt wegen der Linearität von Matrix-Multiplikationen 3 w, λv + v 2 = w T λv 3 + v = w T λv 3 + v = λw T v 3 + w T v 3 2 = λ w, v + w, v 2. Also ist die Abbildung linear im zweiten Argument. Die Sesquilinearität im ersten Argument beweist man analog. Symmetrie: Sei v, w V. Da v, w eine reelle Zahl ist und reelle Zahlen durch Transponierung nicht verändert werden, gilt v, w = v, w T 3 = w T v 3 = w, v. Hierbei haben wir verwendet, dass die mittlere Matrix gleich ihrer Transponierten ist, und dass für Matrizen A, B, C von entsprechender Grösse gilt ABC T = C T B T A T. 2

3 Positive Definitheit: Sei x := x, x 2 T V. Dann gilt x, x = 3x 2 2x x 2 + 3x 2 2 = x x x 2 + x 2 2. Da alle Summanden nicht-negativ sind, ist deren Summe auch nicht-negativ. Somit ist positive Semidefinitheit gezeigt. Desweiteren ist der Ausdruck genau dann Null, wenn jeder einzelne Summand verschwindet. Das ergibt die Bedingungen x = x 2, x = 0 x 2 = 0, welche ausschliesslich für den Nullvektor allesamt erfüllt sind. Somit ist die Abbildung sogar positiv definit. Definition. Die Länge oder euklidische Norm eines Vektors x E n ist die nichtnegative reelle Zahl x definiert durch x := x, x = x H x = n x k 2. Beim Stadardskarprodukt gilt das folgende: x, y = x H y x, y E n. Definition. Ist m eine beliebige natürliche Zahl, i, j m mit i j, λ E und A E m m, so nennt man die Matrizen P ij, S i λ, E ij λ E m m Elementarmatrizen. i Zeile i mit Zeile j vertauschen, multipliziere von links die Permutationsmatrix P ij A: k= P ij =... i-te Spalte j-te Spalte 0 i-te Zeile... 0 j-te Zeile... Bemerkung: Für Permutationsmatrizen gilt: P T ij = P ij = P ij. 3

4 ii Zeile i mit λ 0 multiplizieren, multipliziere von links S i λa: S i λ =... i-te Spalte λ... i-te Zeile iii Zeile i durch Zeile i + λ Zeile j erstetzten, multipliziere von links E ij λa: E ij λ =... i-te Spalte j-te Spalte λ i-te Zeile... 0 j-te Zeile... Oben haben wir gesehen wie man Zeilenumformungen mit Links-Multiplikation von Elementarmatrizen macht. Wenn wir nun P ij, S i λ, E ij λ E m m von rechts multiplizieren, z.b. AP ij, dann erhalten wir Spaltenumformungen. Für ein LGS gilt jeweils eines der folgenden Punkte: Es besitzt genau eine Lösung, dann nennt man es ein reguläres LGS keine Lösung, dann nennt man es ein singuläres LGS viele Lösungen, dann nennt man es ebenfalls ein singuläres LGS Beispiel : Gegeben: 3x + bx 2 = 3x + bx 2 = 2 Gesucht: x R 2 3 b ii l 2 i 3 b letzte Zeile: b

5 Wegen dem Widerspruch in der letzten Zeilen erhalten wir keine Lösung. Beispiel 2: Gegeben: x + bx 2 = 3x + bx 2 = 2 b = Gesucht: x R 2 b ii l 2 i b i b 2b ii 3 b 2 0 2b 7 letzte Zeile = x 2 = 7 erste Zeile 2b = x = b 7 b b= = 7 2 b= = 2 = L = { x Somit haben wir genau eine Lösung erhalten. Beispiel 3: x 2 0 b 7 b 0 2b 7 } 2 Gegeben: 3x + bx 2 = 7 2 3zx + bzx 2 = z Gesucht: x R 2 3 b ii l 2 i 3z bz z 3 b letzte Zeile = x 2 ist ein freier Parameter, wir setzen x 2 =: s, s R. erste Zeile = 3x + bs = 3x = bs x = bs 3 = L = Somit haben wir -viele Lösung. Beispiel 4: Sei A R 4 4 gegeben. { x x 2 bs 3 s }, b, s R A = ii 2b Vertausche die zweite mit der vierten Zeile: P 24 A = = b 7 b 7 0 2b

6 2 Orthogonale und unitäre Martrizen Definition. Eine komplexe n n - Matrix A heisst unitär, falls A H A = AA H =. Eine reelle n n - Matrix A heisst orthogonal, falls A T A = AA T =. Satz. Sind A, B E n n unitäre bzw. orthogonale Matrizen, so gilt: i A ist regulär ii A = A H bzw. A = A T iii A ist unitär orthogonal iv AB ist unitär orthogonal Definition. Das Kronecker-Delta ist definiert durch: {, i = j δ ij = 0, i j Definition. Einheitsvektoren e := 0., e 2 :=, e i :=, e n := Beispiel : e, e 2 = 0 e, e = Definition Orthonormal Seien a, b E n. Die Vektoren a, b sind orthonormal, falls folgenden Bedingungen erfüllt sind: i Die Vektoren sind normiert, also es gilt: a = bzw. b =. ii Die Vektoren sind orthogonal, also es gilt: {, a = b a, b = 0, a b Für eine orthogonale Matrix A E n n mit der Form A = a... a n sind die Spaltenvektoren a,..., a n paarweise orthonormal. 6

7 3 LR-Zerlegung engl. LU decomposition Idee. Bei grossen Gleichungssystemen Ax = b mit A E n n und b, x E n ist die Lösung x meist nicht einfach zu finden. Daher wollen wir A gerne in eine einfachere Form von Dreiecksmatrizen zerlegen, d.h. Wir suchen Matrizen P, L, R E n n so dass P A = LR, P = ist eine Permutationsmatrix enthält nur und 0 L = ist eine linke Dreiecksmatrix engl. lower triangular matrix R engl. U = ist eine rechte Dreiecksmatrix engl. upper triangular matrix L = R = Seien A, P, L, R E n n. P speichert die Zeilenvertauschungen, die man für die Pivotisierung braucht, L speichert die Umformungsschritte, um A eine Zeilenstufenform zu verwandeln, R ist die Zeilenstufenform von A. Seien A, P, L, R E n n und b, c, x E n. Das anfänliche System Ax = b lässt sich nun einfacher lösen:. Löse Lc = P b nach c durch Vorwärtseinsetzen, d.h. L P b von oben nach unten Gaussen. 2. Löse Rx = c nach x durch Rückwärtseinsetzen, d.h. R c von untern nach oben Gaussen. Dass die Beziehung aus der obigen Bemerkung für A, P, P, L, R E n n die richtige Lösung x E n liefert, sieht man auch daraus, dass Ax = P P Ax = P LRx = P Lc = P P b = b. Satz. Für eine reguläre, quadratische Matrix A E n n existiert eine LR-Zerlegung, d.h. P, L, R E n n : P A = LR. 7

8 LR-Zerlegung light d.h. ohne Pivotisierung: Annahme: keine Zeilenvertauschungen nötig und A hat keine Nullspalte Gegeben: A E n n Gesucht: L E n n, R E n n so dass gilt: A = LR. Schreibe das Schema A 2. Forme A mit Hilfe von Gauss-Elimination OHNE Zeilenvertauschungen! um bis ihr die Zeilenstufenform erreicht habt. Dies tut ihr alles nur auf der linken Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix. 3. Auf der rechten Seite schreibt ihr die Verhältnisse auf: 0 0 l ij := a. i l, L = a jj l n l nn Diese Schritte sehen wie folgt aus: mit mehr Details: a a 2 a a 2 a 22 a a 3 a 32 a iii l 3 i ii l 2 i A R L a a 2 a a 2 l 2 a a 22 l 2 a 2 a 23 l 2 a 3 l 2 0 a 3 a 32 a a a 2 a ã 22 ã 23 l 2 0 a 3 l 3 a a 32 l 3 a 2 a 33 l 3 a 3 l 3 0 a a 2 a ã 22 ã 23 l ã 32 ã 33 l 3 0 Nun gilt: a a 2 a ã 22 ã 23 l â 33 l 3 l 32 a a 2 a = R = 0 ã 22 ã 23, L = l â 33 l 3 l 32 a a 2 a a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 = l ã 22 ã 23 = LR a 3 a 32 a 33 l 3 l â 33 8

9 Beispiel 6: Sei A R 3 3 und b R n gegeben A = 3 8 4, b = i Gesucht: L, R R 3 3 : Lösung: A = LR iii l 3 i ii l 2 i iii l 32 ii = A = = = LR ii Gesucht: x R n : Ax = b. Lösung: Wie gehen vor, wie in der Bemerkung ganz oben auf der Seite 4 vorgeschlagen:. Löse Lc = b: iii ii iii 2 i c = ii 3 i 2. Löse Rx = c: ii 2 3 iii i 4 3 iii i 2 2 ii ii iii x x = 7 = L = x 2 7 x 3 9

10 LR-Zerlegung full d.h. mit Pivotisierung: Gegeben: A E n n Gesucht: P R n n, L E n n, R E n n so dass gilt: P A = LR. Schreibe das Schema A. Links merkt ihr euch die Zeilenvertauschungen, in der Mitte Gausst ihr und rechts merkt ihr euch die Verhältnisse. 2. Pivotisiere in der aktuellen Spalte j, d.h. bestimme den Index i p {j, j+,..., n} mit a ipj = max a ij. Falls a ipj = 0 breche ab, es existiert keine LR-Zerlegung. i {j,j+,...,n} Sonst berechne P ij A = à in der Mitte, wobei P ij R n n von links an die Matrix links im Schema multipliziert wird und auf der rechten Seite müsst ihr entsprechend die Verhältnisse vertauschen ausser im ersten Schritt. Falls zu Beginn pivotisieren müsst, sieht das Resultat vom Schritt wie folgt aus: A P ij à Sonst, sieht das Resultat vom Schritt wie folgt aus: 0 0 a a 2 a ã 23 l ã 32 ã 33 l 3 0 pivotisiere 0 0 a a 2 a ã 32 ã 33 l ã 23 l Forme A mit Hilfe von Gauss-Elimination OHNE Zeilenvertauschungen! um bis ihr die Zeilenstufenform erreicht habt. Dies tut ihr alles nur auf der linken Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix. Taucht bei der Berechnung wieder ein Nulleintrag auf in der Hauptdiagonale, dann müsst ihr wieder pivotisieren, also wiederholt den zweiten Schritt. Dann weiter Gaussen. 4. Auf der rechten Seite schreibt ihr die Verhältnisse auf: 0 0 l ij := a i l, L = a jj l n l nn 0

11 Die Schritte sehen wie folgt aus: A P R L mit mehr Details: 0 0 a a 2 a a 2 a 22 a a 3 a 32 a ii l 2 i iii l 3 i 0 0 a a 2 a a 2 l 2 a a 22 l 2 a 2 a 23 l 2 a 3 l a 3 a 32 a a a 2 a ã 23 l a 3 l 3 a a 32 l 3 a 2 a 33 l 3 a 3 l a a 2 a ã 23 l ã 32 ã 33 l 3 0 pivotisiere 0 0 a a 2 a ã 32 ã 33 l ã 23 l a a 2 a a a 2 a 3 = P A = 0 0 a 2 a 22 a 23 = l ã 32 ã 33 = LR 0 0 a 3 a 32 a 33 l â 23

12 Beispiel 7: Sei A R 3 3 und b R n gegeben A = 6 0 6, b = i Gesucht: L, P, R R 3 3 : Lösung: P A = LR pivotisiere:p ii l 2 i iii l 32 ii pivotisiere:p = P A = = = LR ii Gesucht: x R n : Ax = b. Lösung: Wie gehen vor, wie in der Bemerkung ganz oben auf der Seite 4 vorgeschlagen:. Löse Lc = P b: P b = = / iii i c = Löse Rx = c: ii 7 /8 iii iii /8 ii i 6 /8 iii

13 i ii iii x x = 7 = L = x 2 x