Quadratische Formen und Definitheit

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1 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Quadratische Formen und Definitheit Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Quadratische Formen 2. Quadratische Approximation von Funktionen 3. Definitheit von (symmetrischen Matrizen 4. Hurwitz für (n n-matrizen 5. Semi-Hurwitz für (n n-matrizen 6. Definitheit und Eigenwerte

2 2 Teil 1 Quadratische Formen

3 Die Koordinatenachsen des R n werden wieder mit x 1,x 2,...,x n bezeichnet. Sei A eine symmetrische (n n-matrix. Dann heisst die Funktion Q A : R n R mit 3 Q A (x = x Ax = x T Ax = n i=1 n j=1 a ij x i x j die zu A gehörige quadratische Form. Bemerkungen: Q A (x ist das Skalarprodukt der Vektoren x und Ax. Q A ist die Funktion, die jedem Vektor x das Skalarprodukt der Vektoren x und Ax zuordnet.

4 4 Beispiel 1: A = I = ( Q A (x = x T ( x = (x 1,x 2 ( ( x1 x 2 = (x 1,x 2 ( x1 x 2 = x x2 2.

5 Beispiel 2: 5 B = ( Q B (x = x T ( x = (x 1,x 2 ( ( x1 x 2 = (x 1,x 2 ( x1 x 2 = x 2 1 x2 2.

6 6 Beispiel 3: C = ( Q C (x = x T ( x = (x 1,x 2 ( ( x1 x 2 = (x 1,x 2 ( x1 x 2 = x 2 1 x2 2.

7 Beispiel 4: 7 D = ( Q D (x = x T ( x = (x 1,x 2 ( ( x1 x 2 = (x 1,x 2 ( x1 + 2x 2 2x 1 + x 2 = x 1 (x 1 + 2x 2 + x 2 (2x 1 + x 2 = x x 1x 2 + x 2 2.

8 8 Aufgabe 1 Berechnen Sie für die Matrix A = die quadratische Form Q A und bestimmen Sie die Werte Q A (x für die Vektoren x = 1 0 0, und

9 Teil 2 Quadratische Approximation von Funktionen 9

10 10 Erinnerung: Im 1. Semester hatten wir (genügend oft differenzierbare reelle Funktionen y = f(x in der Nähe eines Punktes a durch das Taylor-Polynom y = P 2 (x approximiert: P 2 (x = f(a + f (a(x a + f (a (x a 2 2! Es gilt: P 2 (a = f(a P 2 (a = f (a P 2 (a = f (a

11 Ziel: Eine genügend oft differenzierbare Funktion f : R 2 R 11 ( x1 x 2 x y = f(x y soll in der Nähe eines Punktes ( a1 a = durch eine quadratische Funktion y = P(x approximiert werden. a 2 Beachte: ( x1 a x a = 1 x 2 a 2 (x a T = (x 1 a 1,x 2 a 2

12 12 Ansatz: P(x = c 0 + c 1 (x 1 a 1 + c 2 (x 2 a 2 +c 11 (x 1 a c 22 (x 2 a c 12 (x 1 a 1 (x 2 a 2 ( x1 a = c 0 + } (c 1 {{,c 2 } 1 x 2 a 2 c T ( c11 c +(x 1 a 1,x 2 a 2 12 c 12 c }{{ 22 } C ( x1 a 1 x 2 a 2 = c 0 + c T (x a + (x a T C (x a

13 Forderungen: Im Punkt a sollen möglichst viele Ableitungen der Funktion f mit den entsprechenden Ableitungen von P übereinstimmen: f(a = P(a = c 0 13 f x1 (a = P x1 (a = c 1 f x2 (a = P x2 (a = f x1 x 1 (a = P x1 x 1 (a = 2c 11 f x2 x 2 (a = P x2 x 2 (a = f x1 x 2 (a = P x1 x 2 (a = f x2 x 1 (a = P x2 x 1 (a =

14 14 Satz, Quadratische Approximation Für die quadratische Approximation der Funktion f an der Stelle a gilt: P(x = f(a + (f x1 (a,f x2 (a (x a +(x a T 1 2 ( fx1 x 1 (a f x1 x 2 (a f x2 x 1 (a f x2 x 2 (a (x a

15 Der Vektor 15 grad f(a = ( fx1 (a f x2 (a heisst der Gradient der Funktion f im Punkt a. Die Matrix Hf(a = ( fx1 x 1 (a f x1 x 2 (a f x2 x 1 (a f x2 x 2 (a heisst die Hesse-Matrix der Funktion f im Punkt a. Beachte: Für die uns interessierenden Funktionen gilt überall f x1 x 2 = f x2 x 1, die Hesse-Matrix ist also symmetrisch.

16 16 Aufgabe 2 Bestimmen Sie die quadratische Approximation der Funktion f(x 1,x 2 = e x 1+x 2 ( + sin(x 1 x 2 an 0 der Stelle a =. 0 Lösung: P(x = 1 + (1, 1 x + x T 1 2 ( x Aufgabe 3 Bestimmen Sie die quadratische Approximation der Funktion f(x ( = f(x 1,x 2 = x 1/4 1 x 3/4 2 an 1 der Stelle a =. 1

17 Teil 3 Definitheit (symmetrischer Matrizen 17

18 18 Sei A eine (symmetrische (n n-matrix. Dann heisst A positiv definit, falls Q A (x > 0 positiv semidefinit, falls Q A (x 0 negativ definit, falls Q A (x < 0 (oder falls A positiv definit ist negativ semidefinit, falls Q A (x 0 (oder falls A positiv semidefinit ist für alle Vektoren x 0 gilt. Die Matrix A heisst indefinit, wenn es sowohl Vektoren x mit Q A (x > 0 als auch Vektoren y mit Q A (y < 0 gibt.

19 Aufgabe 4 19 Bestimmen Sie die Definitheit der Matrizen A, B und C aus den vorherigen Beispielen und skizzieren Sie die zugehörigen quadratischen Formen.

20 20 Teil 4 Hurwitz für (n n-matrizen

21 gegeben: symmetrische (2 2-Matrix A = ( a b b c 21 gesucht: Definitheit von A Lösung (Herleitung: Q A (x = (x 1,x 2 ( a b b c ( x1 x 2 = (x 1,x 2 ( ax1 + bx 2 bx 1 + cx 2 = a x b x 1 x 2 + c x 2 2 = a (x ba x 1 x 2 + c x 2 2

22 22 = a ( x b a x 1 x 2 + ( b 2 a x 2 ( b 2 a x 2 + c x 2 2 = a = a ( ( x 1 + b 2 a x 2 b2 a 2 x2 2 ( x 1 + b 2 a x 2 b2 a x2 2 + c x2 2 + c x 2 2 = a 2 ( x 1 + b a x 2 }{{} 0 + ( c b2 a x 2 2 }{{} 0

23 Wann ist ( Q A (x = a x 1 + b ( 2 a x 2 + c b2 a }{{} für alle x = ( x1 x positiv? x 2 2 }{{} < a (setze x 2 = 0 und x < c b2 a = ac b2 a (setze x 1 = b a x 2 = det(a a

24 24 Satz (Hurwitz, 2 2 Eine symmetrische (2 2-Matrix ist genau dann A = ( a b b c positiv definit, wenn sowohl a > 0 als auch det(a > 0; negativ definit, wenn sowohl a < 0 als auch det(a > 0; indefinit, wenn det(a < 0.

25 Aufgabe 5 25 Untersuchen Sie die folgenden Matrizen auf Definitheit: ( , ( , ( 1 1/2 1/2 1 und (

26 26 Verallgemeinerung Sei A eine symmetrische (n n-matrix A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Für alle k = 1, 2,...,n definieren wir jeweils eine (k k-matrix A k wie folgt A k = a a 1k..... a k1... a kk Das ist die quadratische Matrix aus der linken oberen Eck von A. Wir bezeichnen die Determinante von A k als den k-ten führenden Hauptminor von A.

27 Satz (Hurwitz, n n 27 Die symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn für alle führenden Hauptminoren gilt. det(a k > 0 (k = 1, 2,...,n Bemerkung: Es müssen also n Determinanten berechnet werden. A ist negativ definit, wenn A positiv definit ist. Achtung: Das heisst nicht, dass det(a k < 0 für alle k.

28 28 Aufgabe 6 Untersuchen Sie die folgenden Matrizen auf Definitheit: , und ,

29 Teil 5 Semi-Hurwitz für (n n-matrizen 29

30 30 Achtung: Man kann im Satz von Hurwitz nicht einfach > durch ersetzen und dann auf positiv semidefinit schliessen!!!! Beispiel: Für die Matrix A = ( a b b c = ( gilt offensichtlich a = 0 0 und det(a = 0 0!! Ist A positiv semidefinit?? Nein!!

31 Sei A eine symmetrische (n n-matrix 31 A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Es müssen alle (k k-untermatrizen von A überprüft werden, die aus A entstehen, wenn man jeweils die selben n k Spalten und Zeilen aus A streicht. Die Determinanten dieser Matrizen nennt man die k-ten Hauptminoren von A.

32 32 Satz (Semi-Hurwitz, n n Die symmetrische Matrix A ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Hauptminoren (einschliesslich führender Hauptminoren von A grösser oder gleich Null sind. Bemerkung: Für die Matrix A = ( a b b c = ( gilt a = 0 0 und det(a = 0 0, aber c = 1 < 0!! A ist also nicht positiv semidefinit (was wir schon wussten.

33 Aufgabe 7 33 Untersuchen Sie die Matrix A = auf positive Semidefinitheit. Ist A positiv definit?

34 34 Teil 6 Definitheit und Eigenwerte

35 Einer Diagonalmatrix 35 D = d d d n kann man unmittelbar ihre Definitheitseigenschaften ansehen, denn es gilt Q D (x = x T D x = n i=1 d i x 2 i = d 1 x d 2 x d n x 2 n Beachte: Die Diagonaleinträge von D sind die Eigenwerte von D. Prüfen Sie das!

36 36 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaften der Matrizen ( , ( , und

37 Satz (Sylvester, n n 37 Eine symmetrische n n-matrix A ist positiv definit, falls alle Eigenwerte grösser Null sind; positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte grösser oder gleich Null sind; negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner Null sind; negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind; indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.

38 38 Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A = und bestimmen Sie die Definitheitseigenschaft.