Analysis 2, Woche 9. Mehrdimensionale Differentialrechnung I. 9.1 Differenzierbarkeit

Transkript

1 A Analysis, Woche 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung I A 9. Differenzierbarkeit A3 =. (9.) Definition 9. Sei U R m offen, f : U R n eine Funktion und a R m. Die Funktion f heißt differenzierbar in a, wenn es eine lineare Abbildung M a : R m R n gibt derart, dass f(x) (f(a) + M a (x a)) lim x a x a Man nennt M a die (totale) Ableitung von f in a und df(a, h) = M a (h) das Differential. Bemerkung 9.. Wenn f für alle a U differenzierbar ist, dann ist das Differential df eine Funktion von U R m zu R n. Oft gibt man die Variablen in U R m an mit (x,... x m, dx,..., dx m ). Bemerkung 9.. Jede lineare Abbildung M a : R m R n kann man mit Hilfe einer Matrix M a schreiben. Wenn wir h R m als Spaltenvektor schreiben, hat man M a (h) = M a h. (9.) f x Abbildung 9.: Für Funktionen f : R R kann man eine Skizze herstellen. Differenzierbarkeit bedeutet, dass es eine anliegende Tangentialfläche gibt. 9

2 9 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I Bemerkung 9..3 Für eine differenzierbare Funktion f : R R beschreibt g : R R mit g(x) := f(a) + f (a) (x a ) + f (a) (x a ) x x die Tangentialebene an f in a. Anders gesagt: g ist die Approximation erster Ordnung von f in einer Umgebung von a. So gesehen bedeutet f ist differenzierbar in a das gleiche wie es existiert ein Polynom vom Grad kleiner gleich, das f bei a mit erster Ordnung approximiert. Salopp kann man sagen: es gibt ein Polynom x g(x) vom Grad höchstens eins derart, dass f(x) g(x) wesentlich schneller nach geht als x a für x a. Lemma 9. Sei U R m offen, f : U R n eine Funktion und a R m. Die Funktion f ist differenzierbar in a, genau dann, wenn jede Komponente f i : U R für i =,..., n differenzierbar ist in a. Beweis. Man verwendet, dass. -Norm und Euklidische Norm in R n äquivalent sind: es gibt C und C > f(x) f(a) M a (x a) C f i (x) f i (a) (M a (x a)) i f(x) f(a) M a (x a) C f i (x) f i (a) (M a (x a)) i und bemerkt, dass (9.) nur für f gilt, wenn es für jede Funktion f i gilt. Dieses Lemma sagt uns, dass wir uns weiterhin ohne Verlust der Allgemeinheit beschränken dürfen auf f : U R m R. Lemma 9.3 Wenn f differenzierbar ist in a, dann ist f stetig in a. Beweis. Man hat f(x) f(a) f(x) (f(a) + M a (x a)) + M a (x a). Wegen (9.) folgt lim x a f(x) (f(a) + M a (x a)) = und mit folgt lim x a f(x) f(a) =. i= i= M a (x a) M a x a Lemma 9.4 Wenn f differenzierbar ist in a, dann existieren die partiellen Ableitungen in a und es gilt M a (x a) = f(a) (x a) mit x a als Spaltenvektor. Man sagt eine Funktion g approximiert f mit Ordnung k in einer Umgebung von a, wenn f(x) g(x) lim x a x a k =. Die Norm einer Matrix M M n m (R) ist definiert durch M = sup { Mx ; x R m mit x = }.

3 9. Differenzierbarkeit 5. Juni 4 93 Beweis. Betrachtet man nur spezielle Richtungen für x a, nämlich die parallel zu den Achsen, dann vereinfacht sich (9.) für die i-te Richtung zu ( f (a,..., a i, x i, a i+,..., x m ) f(a) + M a (,...,, x i a i,,..., ) ) lim. x i a i x i a i Das kleine T-Zeichen ( ) bedeutet transponiert. Weil dieser Limes existiert, hat man die partielle Ableitung in der i-ten Richtung und Es folgt M a = f(a). i f(a) = M a (e i ). Theorem 9.5 Wenn die partiellen Ableitungen i f existieren in einer Umgebung von a und sie stetig sind in a, dann ist f differenzierbar in a. Beweis. Wir schreiben f(x) f(a) = f(x, x,..., x n, x n, x n ) f(x, x,..., x n, x n, a n ) + + f(x, x,..., x n, x n, a n ) f(x, x,..., x n, a n, a n ) + + f(x, x,..., x n, a n, a n ) f(x, x,..., a n, a n, a n ) f(x, a,..., a n, a n, a n ) f(a, a,..., a n, a n, a n ). Verwenden wir den Mittelwertsatz n-mal, dann gibt es ξ i zwischen x i und a i derart, dass Es folgt, dass f(x) f(a) = = (x i a i ) i f (x,..., x i, ξ i, a i+,..., a n ). i= f(x) f(a) f(a) (x a) = (x i a i ) ( i f (x,..., x i, ξ i, a i+,..., a n ) i f(a)). (9.3) i= Sei ε >. Stetigkeit der partiellen Ableitungen in a erlaubt uns, eine Umgebung B δ (a) von a zu wählen derart, dass für x B δ (a) gilt i f (x) i f(a) n ε. Man soll bemerken, dass für x B δ (a) auch (x,..., x i, ξ i, a i+,..., a n ) B δ (a) gilt. Mit (9.3) finden wir f(x) f(a) f(a) (x a) Das heißt, für alle ε > gibt es δ > derart, dass x a < δ i= x i a i ε x a ε. n f(x) f(a) f(a) (x a) x a < ε. Anders gesagt: f ist differenzierbar in a und M a (x a) = f(a) (x a).

4 94 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I Lemma 9.6 Wenn f differenzierbar ist in a, dann existieren die Richtungsableitungen u f(a) in a für u = und es gilt u f(a) = f(a) u. Beweis. Betrachtet man nur die u-richtung für x a, dann vereinfacht sich (9.) zu lim t f(a + tu) (f(a) + t M a (u)) t und man findet, dass u f(a) existiert und dass =, u f(a) = M a (u) = m u i M a (e i ) = f(a) u. i= Es ist leicht einzusehen, dass, wenn u f(a) = u f(a) gilt, die Funktion g(t) = f(a + tu) differenzierbar ist in t =. Salopp gesagt: der Graph von f hat in a eine Tangente in die u-richtung. Beispiel 9.7 Die Funktion f : R R mit { y 3 für y, f (x, y) = x +y für y =, ist in (, ) partiell differenzierbar sowohl in x, als auch in y-richtung. Sogar gilt u f (, ) = u f (, ) in jede Richtung u. Trotz allem ist f nicht differenzierbar in a. Man findet f(, ) = (, ). Setzt man (x, y) = (t, t) mit t >, dann folgt f(x, y) f() f() (x, y ) (x, y ) = ( ) t 3 t +t (t, t) ( t t) = t =. t 4 Dieses Beispiel zeigt, dass differenzierbar wesentlich mehr ist als nur die Existenz partieller oder Richtungsableitungen. Korollar 9.8 Wenn f : R n R differenzierbar ist in a und f(a), dann ist die Richtung u, bei der die maximale Richtungsableitung u f(a) erreicht wird: u max = ( f(a)) f(a). Beweis. Bemerke, dass f(a) u = ( f(a)) u. Setze w = ( f(a)). Cauchy-Schwarz sagt, dass w u w u. Außerdem gilt für u = w w, dass w u = w w w = w = w u. Die größte Richtungsableitung von f in a ist also die in der Richtung von ( f(a)), und u max ist genau der zugehörige Vektor mit Länge.

5 - 9. Differenzierbarkeit 5. Juni 4 95 y - f - f - x Abbildung 9.: Eine Skizze zu Beispiel 9.7 mit einer Vergrößerung Abbildung 9.3: Links eine Skizze der Niveaulinien und die Richtungen der Gradienten einer Funktion f : R R; rechts eine Skizze dieser Funktion. - Definition 9.9 Sei f : U R m R eine Funktion. Das Urbild von c R, also f ({c}), nennt man eine Niveaumenge von f. Im Fall m = und wenn f differenzierbar ist und f(a), werden wir noch zeigen, dass so eine Niveaumenge in einer Umgebung von a eine Kurve definiert. Oft nennt man die Niveaumenge dann eine Niveaulinie. Bemerkung 9.9. Sei U R n offen und f : U R eine Funktion. x. Wenn f differenzierbar ist in jedem x U, dann nennt man f differenzierbar auf U.. Wenn f differenzierbar ist in a U und außerdem f stetig ist in a, nennt man f stetig differenzierbar in a. 3. Wenn f stetig differenzierbar ist in jedem x U, dann nennt man f stetig differenzierbar auf U.

6 96 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I Um m-te Ableitungen von f in a zu definieren benötigt man die Existenz der (m )- ten Ableitungen von f in einer Umgebung von a. Partielle Ableitungen können aber existieren, ohne dass f differenzierbar ist. Wir legen mal genau fest was wir meinen mit m-mal differenzierbar. Definition 9. Sei U R n offen und a U. Man sagt, f ist m-mal differenzierbar in a, wenn für jedes α N n mit α < m gilt: α f existiert in B r (a), und α f ist differenzierbar in a. Die Multiindexnotation für α N n ist wie folgt: α = (α, α,..., α n ), α = α + α + + α n und α f = α α αn n f. (9.4) Bemerkung 9.. Sei U R n offen. Wenn f : U R stetig ist, f stetig differenzierbar ist in U und f stetig fortsetzbar ist auf U, dann nennt man f stetig differenzierbar auf U und schreibt u ( C (U). Diese Fortsetzung ) von f wird wiederum f genannt. Man kann zeigen, dass C (U),. C (U) mit f C (U) = sup f(x) + x U i= sup x U i f(x) ein normierter Vektorraum ist. Rekursiv definiert man C k (U) für k N\ {, }, indem man sagt, dass f C k (U), wenn f C (U) und i f C k (U) für alle i {,..., n}. Beispiel 9. In Analysis von W. Walter findet man folgendes Beispiel: y ( x ) für y x, y f(x, y) = y x für x < y < x, y + x für y x. Diese Funktion ist differenzierbar auf R. Es existieren sogar die zweiten (partiellen) Ableitungen in (, ). Trotzdem ist f nicht stetig in (, ). Dann ist f auch nicht stetig differenzierbar in (, ). Eine Skizze findet man in Abbildung Zusammenfassung Sei U R m offen, f : U R und a U. die partiellen Ableitungen existieren in B r (a) und sind stetig in a differenzierbar in a stetig in a die partiellen Ableitungen existieren in a die Richtungsableitungen existieren in a Für f differenzierbar in a U, u R m mit u = und dx = (dx,..., dx m ) R m gilt: df(a, dx) = f(a) dx u f(a) = df(a, u) = f(a) u

7 9. Rechenregeln 5. Juni Rechenregeln Die Summen- und Produktregeln sind fast wie früher in einer Dimension. Wenn f, g : U R m R differenzierbar sind in a, dann ist f + g differenzierbar in a und (f + g) (a) = f(a) + g(a). Wenn f, g : U R m R differenzierbar sind in a, dann ist gf differenzierbar in a und (gf) (a) = g(a) f(a) + ( g(a)) f(a). Auch der Beweis ist wie in einer Dimension. Bei der Kettenregel vereinfacht sich die Notation, wenn wir Matrizen verwenden. Schreiben wir die Koordinaten als Spaltenvektor und setzen wir für f : U R m R n und a U, dann finden wir f (a) f (a)... m f (a) f (a) f (a)... m f (a) f(a) = f n (a) f n (a)... m f n (a) Lemma 9. (Kettenregel) Sei U R m und V R k offen, a U. Sei f : U R k differenzierbar in a, f(u) V und g : V R n differenzierbar in f(a). Dann ist g f : U R n differenzierbar in a und (g f) (a) = g(f(a)) f(a). Bemerkung 9.. Man bemerke, dass (g f) (a) M n m (R), g(f(a)) M n k (R) und f(a) M n k (R). Beweis. Weil f differenzierbar ist in a gilt r(x) f(x) = f(a) + f(a) (x a) + r(x) mit lim x a x a Setze b = f(a). Weil g differenzierbar ist in b gilt s(y) mit lim =. Wir setzen S : V y b y b Rn mit =. (9.5) g(y) = g(b) + g(b) (y b) + s(y) (9.6) S(y) = s(y) y b für y b für y = b und bemerken, dass lim S(y) =. (9.7) y b

8 98 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I Kombinieren von (9.5) und (9.6) liefert uns 3 und es folgt Weil (g f) (x) = (g f) (a) + g(f(a)) (f(x) f(a)) + s(f(x)) = = (g f) (a) + g(b) f(a) (x a) + g(b)r(x) + ( ) + f(a) (x a) + r(x) S b + f(a) (x a) + r(x), (g f) (x) (g f) (a) g(b) f(a) (x a) = x a = g(b) r(x) f(a) (x a) + r(x) + x a x a f(a) (x a) + r(x) x a S ( ) b + f(a) (x a) + r(x). f(a) + r(x) x a und diese rechte Seite wegen (9.5) beschränkt ist, und weil lim x a ( f(a) (x a) + r(x)) = gilt, finden wir mit nochmals (9.5) und (9.7), dass lim (g f) (x) (g f) (a) g(f(a)) f(a) (x a) x a =. Das heißt, g f ist differenzierbar in a und (g f) (a) = ( g) (f(a)) f(a). 9.3 Extremum Wenn f differenzierbar ist in a und f in a einen Extremwert erreicht, dann gilt wegen Proposition 8.6, dass f(a) =. Wenn f(a) = gilt, ist noch nicht geklärt, ob es tatsächlich in a einen Extremwert gibt. In einer Dimension hat eine zweimal differenzierbare Funktion f : R R ein Minimum in a, wenn f (a) = und f (a) >. Und wenn f ein Minimum in a hat, dann gilt f (a) = und f (a). Die zweite Ableitung ist positiv bedeutet, dass diese Funktion f in a aufwärts gekrümmt ist. Kann man auch in höheren Dimensionen ähnliche Argumente benutzen, um auf ein Minimum zu schließen? Dazu erstmal ein Beispiel. Beispiel 9.3 Betrachten wir f, g : R R mit f(x, y) = x + 3xy + y und g(x, y) = x + xy + 3y. Anhand der Höhenlinien lässt sich vermuten, dass nur g in (, ) ein Minimum hat. Das kann man auch beweisen. Weil ( folgt xy x y und x + y ) = x + xy + y g(x, y) = x + xy + 3y x x y + 3y = x + y. 3 Wir schreiben hier Vektorfunktionen als Spalten. Zum Beispiel: f(x) = f (x). f k (x).

9 9.3 Extremum 5. Juni 4 99 Man sieht g (x, y) > für (x, y) (, ). Weil f(x, y) = x + 3xy + y = ( x + 3y) 4 y sieht man, dass man über die Gerade x + 3 y = negative Werte von f erreicht und f in (, ) kein Minimum hat. Skizzen zu f und g findet man in Abbildung x x f g y y Abbildung 9.4: Die Funktionen f, g aus Beispiel 9.3, zwei Polynome von Grad ; unten stehen die zugehörigen Höhenlinien: f hat kein Minimum, g hat ein Minimum. Wir werden erst Extrema betrachten bei rein quadratischen Polynomen in R n. Solche Polynome lassen sich darstellen als x x a a a n x f(x) = a ij x i x j =. M x.. mit M = a a.. a n i,j= x n x n a n a n a nn und weil n i,j= a ijx i x j = n i,j= a ij +a ji x i x j, dürfen wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass a ij = a ji, anders gesagt, dass M M n n (R) symmetrisch ist.

10 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I 9.4 Algebraisches Intermezzo Definition 9.4 Sei M M n n (R) eine symmetrische Matrix. Sie heißt positiv definit, wenn es c > gibt derart, dass ξ Mξ c ξ für alle ξ R n. Sie heißt positiv semidefinit, wenn ξ Mξ für alle ξ R n. Sie heißt negativ definit, wenn es c > gibt derart, dass ξ Mξ c ξ für alle ξ R n. Sie heißt negativ semidefinit, wenn ξ Mξ für alle ξ R n. Sie heißt indefinit, wenn sie nicht semidefinit ist. Bemerkung 9.4. Wenn M M n n (R) symmetrisch ist, dann gibt es eine orthonormale Basis von Eigenvektoren. Das heißt: es gibt eine Transformationsmatrix T mit T = T und eine Diagonalmatix D derart, dass M = T DT. Positive Definitheit liefert, weil ξ T ξ und ξ ξ äquivalente Normen sind: ( T ξ ) D ( T ξ ) = ξ T DT ξ = ξ Mξ c ξ c T ξ. Positiv definit heißt alle Eigenwerte positiv und positiv semidefinit heißt alle Eigenwerte nicht negativ. Wenn M nicht positiv definit ist, dann gibt es also mindestens einen negativen Eigenwert. Bemerkung 9.4. Äquivalent zu ξ Mξ c ξ für alle ξ R n ist ξ Mξ > für alle ξ R n \ {}. Deutlich ist die Richtung von links nach rechts. Für die umgekehrte Richtung bemerke man, dass B () R n kompakt ist und dass die stetige Funktion ξ ξ Mξ auf kompakten Mengen ihr Minimum annimmt. Das heißt, es gibt ξ B () derart, dass ξ Mξ ξ Mξ =: c > für alle ξ B (). Für ξ R n \ {} gilt ( ξ ξ Mξ = ξ ξ M ξ ) c ξ. ξ Um die Eigenwerte einer Matrix in M n n (R) zu berechnen, muss man die Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades finden und das ist nicht immer leicht. Wir müssen sie auch nicht explizit kennen, sondern es reicht, wenn wir die Vorzeichen kennen. Lemma 9.5 Sei n N\ {, } und M eine symmetrische Matrix in M n n (R). Sei das charakteristische Polynom. p(λ) = det (M λi) =: a + a λ + a λ + + a n λ n M ist positiv definit genau dann, wenn ( ) k a k > für k =,,..., n. M ist negativ definit genau dann, wenn alle a k das gleiche Vorzeichen haben.

11 9.4 Algebraisches Intermezzo 5. Juni 4 Beweis. Weil die Matrix M symmetrisch ist, hat sie n unabhängige reelle Eigenvektoren. Nennen wir die dazugehörigen (reellen) Eigenwerte λ λ λ n. Wir listen hier die Eigenwerte inklusive Multiplizität auf. Positiv definit heißt dann, dass der kleinste Eigenwert positiv ist: λ >. Negativ definit heißt, dass der größte Eigenwert negativ ist: λ n <. Betrachten wir den positiv definiten Fall. Der negativ definite Fall folgt, wenn man λ durch λ ersetzt in p (λ). ( ) Wenn ( ) k a k > und λ, dann gilt a k λ k und p(λ) = a + a λ + a λ + + a n λ n a >. Also kann λ keine Nullstelle von p sein. ( ) Wir nehmen an λ > und sollen zeigen, dass ( ) k a k > für k =,,..., n. Diese Richtung des Beweises verwendet das folgende Ergebnis. Wenn ein Polynom q von Grad n genau n reelle Nullstellen x q, x q, x q,n hat, dann hat q genau n reelle Nullstellen x q, x q, x q,n und es gilt 4 x q, x q, x q, x q, x q,n x q,n. Hier werden k-fache Nullstellen k-fach aufgeführt. x p, x p, x p,3 x p,4 x p, x p, =3 x p,4 x p,5 Das heißt, M ist positiv definit genau dann, wenn alle Nullstellen von p und von seinen Ableitungen p,..., p (n ) positiv sind. Wir beweisen durch Widerspruch und nehmen an, dass ( ) k a k für mindestens ein k. Weil p ( k) () = k λ ( a + a λ + a λ + + a n λ n) λ= = k!a k gilt, finden wir ( ) k p ( k) (). Wenn p ( k) () = haben wir einen Widerspruch. Es bleibt noch der Fall, dass ( ) k p ( k) () <. Weil a n = ( ) n für das Polynom p (λ), gilt für λ <, dass k λ (a n λ n ) = n (n )... (n k + ) ( ) n λ n k > für k gerade und k λ (a n λ n ) = n (n )... (n k + ) ( ) n λ n k < für k ungerade. Das heißt, für λ gilt ( ) k p (k) (λ) > und weil ( ) k p (k) () < gilt, liefert der Nullstellensatz eine nicht-positive Nullstelle für p (k). Wiederum ist dies ein Widerspruch. ( a b Korollar 9.6 Sei M = b c ) eine symmetrische Matrix in M (R). Dann gilt M ist positiv definit ( ac > b und a > ). (9.8) M ist negativ definit ( ac > b und a < ). (9.9) 4 Wenn x q,i < x q,i+, dann sagt der Mittelwertsatz, dass es ξ ( x q,i, x q,i+ ) gibt mit q (ξ) =. Wenn x q,i eine m-fache Nullstelle von q ist, dann ist x q,i eine (m )-fache Nullstelle von q. Zwischen zwei Nullstellen von q liegt also mindestens eine Nullstelle von q, wenn wir die Multiplizität mitzählen. Weil q Grad n hat, liegt auch höchstens eine Nullstelle von q zwischen x q,i und x q,i+.

12 5. Juni 4 Woche 9, Mehrdimensionale Diff.rechnung I Beweis. Das charakteristische Polynom ist p(λ) = ( ac b ) (a + c) λ + λ. Weil aus ac > b folgt, dass a und c das gleiche Vorzeichen haben, ist a + c > äquivalent zu a >. Ebenso ist a + c < äquivalent zu a <.