Vorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009) Kapitel 10: Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 27. März 2009) Differenzialrechnung R R

2 Differenzierbarkeit R n R m 3 Definition 10.1 Eine Abbildung f : R n G R m ist in x G differenzierbar, wenn es eine Matrix A R m n gibt, so dass für die affine Abbildung l : R n R m, l(x) = f (x ) + A (x x ) gilt: l(x) f (x) lim x x x x = O m Das Differenzial Bemerkung 10.2 Wenn f : R n G R m in x G differenzierbar ist, dann gibt es nur eine Matrix A wie in der Definition Sie heißt dann Ableitung(smatrix) (totales) Differenzial Funktionalmatrix von f in x. Schreibweisen: 4 f (x ) := A d x (f ) := A d x f := A

3 Stetigkeit differenzierbarer Abbildungen Satz 10.3 Für A = (a ij ) R m n ist die lineare Abbildung x Ax stetig auf ganz R n. 5 Satz 10.4 Ist f : R n G R m differenzierbar in x, so ist f auch stetig in x. Bemerkung 10.5 Stetigkeit impliziert aber nicht unbedingt Differenzierbarkeit. Komponentenfunktionen Bemerkung 10.6 Eine Abbildung f = f 1. : R n G R m 6 f m ist genau dann in x G differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen f i : G R in x differenzierbar sind. Die Zeilen von f (x) R m n sind dann die Ableitungsmatrizen f 1 (x),..., f m(x) R 1 n von f 1,..., f m.

4 Richtungsableitungen 7 Definition 10.7 Ist f : R n G R m differenzierbar und v R n mit v = 1, so heißt f v (x) := f (x) v R m die Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v. Partielle Ableitungen 8 Definition 10.8 Die j-te partielle Ableitung von f : R n G R m im Punkt x G ist die Richtungsableitung f e j (x) in Richtung des j-ten Einheitsvektors, also f f (x (x) := lim 1,...,x j 1,x j +t,x j+1,...,x n ) f (x 1,...,x n ) t 0 t (falls der Grenzwert existiert).

5 Partielle Ableitungen und Komponentenfunktionen... Existiert für f = f 1. : R n G R m die j-te 9 f m partielle Ableitung im Punkt x G, so ist f 1 (x) f (x) = f m. (x).... Partielle Ableitungen und Komponentenfunktionen Dabei ist f i (x) die Ableitung der i-ten Komponentenfunktion bezüglich der j-ten Variablen an der Stelle x j (wobei man die anderen Variablen auf x 1,..., x j 1, x j+1,..., x n fixiert), also 10 f i (x) = g (x j ) mit g(t) = f i (x 1,..., x j 1, t, x j+1,..., x n ).

6 11 Funktionalmatrix und partielle Ableitungen Satz 10.9 Ist f : R n G R m differenzierbar in x G, so ist f 1 f f x 1 (x)... 1 x n (x) (x) = d x f = f m f x 1 (x)... m x n (x) Hinreichendes Differenzierbarkeitskriterium 12 Satz Existieren für f : R n G R m alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt x G und sind die partiellen Ableitungen f i : G R als durch x f i (x) definierte Funktionen stetig, so ist f in allen Punkten von G (total) differenzierbar.

7 f (0.5, x 2 ) = 0.5x x Der Gradient von f : R n G R 14 Definition Ist f : R n G R (m = 1) differenzierbar, so heißt der Vektor ( f grad x f := x f := (x),..., f ) (x) R n x 1 x n der Gradient von f in x. Als Zeilenvektor aufgefasst ist der Gradient die Ableitungsmatrix von f in x G R n.

8 Das Gradientenfeld 15 Für eine differenzierbare Funktion f : R n G R ist grad f : G R n x grad x f ein Vektorfeld, das Gradientenfeld von f. Eigenschaften des Gradienten Bemerkung Sei f : R n G R differenzierbar. Der Gradient grad x f von f in x G weist in Richtung des stärksten Anstiegs von f in x. Die Steigung in Richtung grad x f (also die Richtungsableitung für v = 1 grad x f grad x f ) ist grad x f (falls grad x f O n ). Der Gradient grad x f steht orthogonal auf der Niveaumenge von f in x. ( grad x f, 1) R n+1 ist Normalenvektor für die Tangential(hyper)ebene an den Graphen von f über dem Punkt x. 16

9 Gradientenfeld von h = z f (x, y) 17 Pfaffsche Formen Definition Für Funktionen g 1,..., g n : R n G R heißt 18 g 1 d x g n d x n = (g 1,..., g n ) : G R n eine Pfaffsche Form (oder unvollständiges Differenzial). Die Pfaffsche Form ist ein vollständiges Differenzial, wenn es eine differenzierbare Funktion f : G R gibt mit g i = f x i für alle i = 1,..., n

10 Linearität der Ableitung Satz Sind f, g : R n G R m differenzierbar, so ist auch f + g : G R m differenzierbar mit 19 (f + g) (x) = f (x) + g (x). Für jedes λ R ist auch λf : G R m differenzierbar mit (λf ) (x) = λ f (x). Produktregel: Skalare Multiplikation Satz Sind f : R n G R und g : G R m differenzierbar, so ist auch fg : G R m differenzierbar mit (für alle j = 1,... n): 20 (fg) = f g + f g, d. h. für alle x G: (fg) (x j ) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) R m

11 Spezialfall: Produkt skalarwertiger Funktionen Korollar Sind f : R n G R und g : G R differenzierbar, so ist auch fg : G R differenzierbar mit: 21 grad fg = g grad f + f grad g, d.h. grad x fg = g(x) grad x f + f (x) grad x g R n für alle x G. Produktregel: Skalarprodukt 22 Satz Sind f, g : R n G R m differenzierbar, so ist auch f, g : G R differenzierbar mit f, g = f, g + f, g d. h. f, g (x) = f (x), g(x) + f (x), g (x) für alle x G.

12 Produktregel: Kreuzprodukt 23 Satz Sind f, g : R n G R 3 differenzierbar, so ist auch f g : G R 3 differenzierbar mit (f g) = f g + f g, d. h. (f g) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) für alle x G. Kettenregel Satz Sind g : R n R m, x g(x) und f : R m R p, y f (y) differenzierbar, so ist auch f g : R n R p differenzierbar mit 24 (f g) (x) = f (g(x)) }{{} R p m g (x) }{{} R m n R p n, d. h. mit f = (f 1,..., f m ) und g = (g 1,..., g p ): (f g) k (x) = m i=1 f k y i (g(x)) g i (x)

13 Ebene Polarkoordinaten 25 Zusammenfassung Polarkoordinaten 26 x = ϱ cos φ y = ϱ sin φ ϱ = x 2 + y 2 ϱ: Abstand zum Ursprung Φ: Winkel mit positiver x-achse

14 Ableitungen Polarkoordinaten 27 x x ϱ = cos φ = ϱ sin φ y ϱ = sin φ y = ϱ cos φ ϱ x = x ϱ x = sin φ ϱ ϱ y = y ϱ y = cos φ ϱ Zylinderkoordinaten 28

15 Zusammenfassung Zylinderkoordinaten 29 x = ϱ cos φ y = ϱ sin φ z = z ϱ = x 2 + y 2 (ϱ, φ): Polarkoordinaten von (x, y) z: Höhe über x-y-ebene Ableitungen Zylinderkoordinaten 30 x ϱ = cos φ y ϱ = sin φ z ϱ = 0 x = ϱ sin φ x y = ϱ cos φ z = 0 z = 0 y z = 0 z z = 1 ϱ x = x ϱ x = sin φ ϱ z x = 0 ϱ y = y ϱ y = cos φ ϱ z y = 0 ϱ z = 0 z = 0 z z = 1

16 Kugelkoordinaten 31 Zusammenfassung Kugelkoordinaten 32 x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x 2 + y 2 + z 2 r: Abstand zum Ursprung θ: Winkel mit positiver z-achse φ: Winkel der Projektion in x-y-ebene mit positiver x-achse

17 Ableitungen Kugelkoordinaten 33 x r = sin θ cos φ x θ = r cos θ cos φ x = r sin θ sin φ y r = sin θ sin φ y θ = r cos θ sin φ y = r sin θ cos φ dz r = cos θ z θ = r sin θ z = 0 r x = x r r y = y r r z = z r θ x = cos θ cos φ r θ y = cos θ sin φ r θ z = sin θ r x = sin φ r sin θ y = cos φ r sin θ z = 0 Schrankensatz Satz Sei f : R n G R differenzierbar mit f (x) M j 34 für alle x G und j = 1,..., n. Für alle x, y G gilt dann (falls die Verbindungsstrecke zwischen x und y in G liegt): f (y) f (x) n M j y j x j j=1

18 Zweite Ableitung Definition Ist f : R n G R differenzierbar mit wiederum differenzierbaren partiellen Ableitungen f : G R, so heißt f zweimal (partiell) differenzierbar. Die partiellen Ableitungen ( ) 2 f f := x i x i 35 heißen die zweiten partiellen Ableitungen von f. Schreibweise: 2 f = 2 f xj 2 Ergänzung zu Definition Die Matrix f (x) = 2 f x 1 x 1 (x) f x n x 1 (x)... 2 f x 1 x n (x). R n n 2 f x n x n (x) heißt die Hesse-Matrix von f (im Punkt x G). Sind die Funktionen 2 f x i : G R alle stetig, so ist f zweimal stetig differenzierbar.

19 Satz von Schwarz 37 Satz Ist f : R n G R zweimal stetig differenzierbar, so ist 2 f x i = 2 f x i für alle i, j {1,..., n}, die Hesse-Matrix f (x) R n n ist also symmetrisch, d. h. f (x) = (f (x)) T. Taylor-Formel Satz Sei f : R n G R zweimal stetig differenzierbar. Falls die Verbindungsstrecke zwischen x und x + x ganz in G liegt, gilt: 38 f (x + x) = f (x) n i=1 n j=1 n j=1 f (x) x j 2 f x i (x) x i x j + Fehler( x) mit lim x O n Fehler ( x) x 2 = 0.

20 Hesse-Form 39 Definition Ist f : R n G R zweimal differenzierbar, so heißt die quadratische Abbildung hess x f : R n R n u hess x f (u) = 1 2 ut f (x)u (u R n als Spaltenvektor aufgefasst) die Hesse-Form von f im Punkt u. Lokale Extrema 40 Definition Eine Funktion f : R n G R nimmt in x G ein (striktes) lokales Minimum bzw. Maximum an, wenn es ε > 0 gibt mit f (x) (>)f (x ) bzw. f (x) (<)f (x ) für alle x G mit x x < ε.

21 Notwendiges Kriterium für lokale Extrema 41 Satz Nimmt eine differenzierbare Funktion f : R n G R (auf einer offenen Menge G R n ) in x G ein lokales Extremum an, so gilt grad x f = O n. Hinreichendes Kriterium Satz Sei f : R n G R zweimal stetig differenzierbar und x G mit grad x f = O n. (i) Ist hess x f (u) > 0 für alle u R n \ {O n } (positiv definit), so nimmt f in x ein striktes lokales Minimum an. (ii) Ist hess x f (u) < 0 für alle u R n \ {O n } (negativ definit), so nimmt f in x ein striktes lokales Maximum an. (iii) Gibt es u, u R n mit hess x f (u) > 0 und hess x f (u ) < 0 (indefinit), so nimmt f in x kein lokales Extremum an. 42

22 Ergänzung zu Satz (iv) Ist hess x f (u) 0 für alle u R n (positiv semidefinit) oder hess x f (u) 0 für alle u R n (negativ semidefinit), so gibt das Kriterium keine Auskunft. Hinreichendes Kriterium für n = 2 44 Satz Sei f : R 2 G R zweimal stetig differenzierbar und x G mit f x 1 (x ) = 0 und f x 2 (x ) = 0. Sei d(x ) := 2 f x 2 1 (x ) 2 f x 2 2 (x ) ( 2 ) 2 f (x ) x 1 x 2 (die Determinante der Hesse-Matrix f (x ) R 2 2 ).

23 Fortsetzung von Satz Dann gelten: (i) Falls d(x ) > 0 ist: 2 f x1 2 2 f x 2 1 > 0 striktes lokales Minimum in x < 0 striktes lokales Maximum in x (ii) Falls d(x ) < 0 ist, hat f in x kein lokales Extremum. (iii) Falls d(x ) = 0 ist, gibt das Kriterium keine Auskunft.