1 Partielle Differentiation

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1 Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Analysis 2 Vorlesung Dienstag SS 20 Thema des heutigen Tages sind Differentiation und Potenzreihenentwicklung Partielle Differentiation Beim Differenzieren einer Funktion mit mehreren Argumenten bietet es sich an zunächst das sog. partielle Differenzieren zu betrachten. Bei diesem differenziert man nach einer Koordinate und hält die restlichen Koordinaten konstant. Formal lautet die Definition: Definition. Partielle Ableitung Sei U R n eine offene Menge und f : U R eine Funktion, dann heißt f partiell differenzierbar am Punkt x, falls δ 0 δ (f(x + δê j) ) = j =,..., n f partiell differenzierbar, falls f partiell differenzierbar für alle x U ist. f stetig partiell differenzierbar, falls stetig ist auf U x. Rechenregeln Die partielle Differentiation verhält sich ähnlich wie das Differenzieren in R. So verändern sich die Ketten-, Produkt- und Summenregel wie folgt: (i) Summenregel In einer Dimension: In N-Dimensionen analog dazu: (ii) Produktregel (iii) Kettenregel ( + g(x)) = f (x) + g (x) ( + g(x)) = + g(x) ( ) ( ) ( g(x)) = g(x) + g(x) f(g(x)) = f (g(x)) g(x) Will man entlang einer beliebigen Richtung a partiell Differenzieren, so benötigt man die Richtungsableitung. Für diese ergibt sich δ 0 (f(x + a δ) ) = a δ

2 .2 Vektoranalysis Definition.2 Gradient, Divergenz, Rotation Sei U R n eine offene Menge (i) Gradient: Sei f : U R eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist der Gradient von f x gradf = f =... x n (ii) Divergenz: Sei F : U R n eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist die Divergenz von F divf = F = j= F j (x) (iii) Rotation: Sei F : U R 3 eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist die Rotation von F (rotf ) i = ( F ) i = 3 j,k=.3 Partielle Ableitung höherer Ordnung ɛ ijk F k (x) Da die partielle Ableitung bei Räumen mit n 2 immer mit einer Richtung behaftet ist, stellt sich die Frage ob die Reihenfolge der Ableitungen relevant ist. x i? = x i Satz.3 Satz von Schwarz Sei f : U R mit U R n. Sei f zwei mal stetig partiell differenzierbar. Dann gilt: x i = x i Also ist die Reihenfolge von partielle Ableitungen beliebig vertauschbar, sofern die Funktion genügend of stetig partiell differenzierbar ist. Definition.4 Hessematrix Sei f : U R mit U R n. Ferner sei f zwei mal stetig partiell differenzierbar. Die Hessematrix am Punkt x ist definiert durch: H(f) ij (x) = x i Nach dem Satz von Schwarz ist die Hessematrix symmetrisch. Definition.5 Laplaceoperator, Harmonische Funktion Sei f : U R mit U R n. Ferner sei f zwei mal stetig partiell differenzierbar. Der Laplaceoperator ist definiert durch: 2 f = f = f Eine Funktion f heißt harmonisch, falls f = 0 x 2 j= j 2

3 2 (Totale) Differentiation Definition 2. Differenzierbare Funktionen Sei U R n, f : U R m (i) f heißt differenzierbar in x U, falls eine lineare Abbildung A(x) : R n R m existiert sodass mit dem Fehlerterm ζ der sublinear ist, d.h. f(x + ξ) = + A(x)ξ + ζ(ξ) ζ(ξ) = 0 ξ 0 ξ (ii) f heißt differenzierbar in U, falls f differenzierbar für alle x U. (iii) f heißt stetig differenzierbar, falls x A mn (x) stetig ist. Hinweise: A(x) ist das Differential von f. Es wird auch Jacobi-Matrix J f oder Funktionalmatrix D f genannt. Für eine Funktion f die k-mal stetig differenzierbar ist, schreibt man f C k.f C bedeutet, dass f unendlich oft stetig differenzierbar ist. Satz 2.2 Sei U R n, f : U R m eine differenzierbare Funktion. Dann gilt: (i) f ist stetig (ii) f ist partiell differenzierbar mit f i (x) = A ij (x) (iii) Satz 2.3 δ 0 δ (f i(x + δa) f i (x)) = a f i (x) i =,..., m Sei U R n, f : U R eine stetige partiell differenzierbare Funktion. Dann ist f differenzierbar. Satz 2.4 Kettenregel Sei U R n, V R m, g : U V, f V R l differenzierbare Funktionen. Dann gilt: f g : U R l ist differenzierbar und Hinweise Df g ist eine l n-matrix Df ist eine l m-matrix Dg ist eine m n-matrix Die Reihenfolge ist einzuhalten! Df g(x) = Df(g(x)) Dg(x) 3

4 3 Potenzreihenentwicklung 3. Taylorentwicklung Wie schon in einer Dimension ist es nützlich die Taylorentwicklung in mehreren Dimensionen durchführen zu können. Zunächst die Entwicklung in R: Satz 3. Satz von Taylor in -Dimension Sei f : R R, f C, x 0 der Entwicklungspunkt und ξ = x x 0. Dann ist die Taylorentwicklung gegeben durch = f(x 0 ) + f (x 0 )ξ n! f (n) (x 0 )ξ k + O( ξ n+ ) = Führt man Multiindizes α = (α,..., α n ) N n und folgende Abkürzungen ein, α f = α = α j α! = j= α j! j= ( j ) αj f x α = dann lässt sich der Satz von Taylor im R n kompakt formulieren: j= Satz 3.2 Satz von Taylor in n-dimensionen α p (x j ) αj j= j=0 j! f (j) (x x 0 ) j Sei U R n, f : U R, f C p+, x 0 U, B ξ (x 0 ) U. Dann existiert ein θ mit 0 θ, sodass f(x 0 + ξ) = α! α f(x 0 )ξ α + α! α f(x 0 + θξ)ξ α α =p+ Bis zur 2. Ordnung kann die Taylor-Formel auch wie folgt dargestellt werden: 3.2 Extrema f(x 0 ) + (x x 0 ) f + 2 (x x 0) (H(f)(x 0 )(x x 0 )) Das Konzept von Minima, Maxima usw. lässt sich vom R in den R n übertragen. Definition 3.3 kritischer Punkt Sei f : U R, U R n, f C. x U heißt kritischer (stationärer) Punkt, falls = 0 Definition 3.4 (lokales) Minimum/Maximum Sei f : U R, U R n, f C 2. x U heißt: (i) (lokales) Minimum, falls eine Kugel B R (x) existiert, so dass: f(y) y B R (x) (ii) striktes Minimum, falls eine Kugel B R (x) existiert, so dass: f(y) > y B R (x) x 4

5 (iii) (lokales) Maximum, falls eine Kugel B R (x) existiert, so dass: f(y) y B R (x) (iv) striktes Maximum, falls eine Kugel B R (x) existiert, so dass: f(y) < y B R (x) x Um isolierte Minima(Maxima) zu finden kann man die Hessematrix benutzen. Satz 3.5 Minimum/Maximum Sei f : U R, U R n, f C und x 0 ein stationärer Punkt. Dann gilt: (i) x 0 ist ein isoliertes Maximum H(f)(x 0 ) < 0 (ii) x 0 ist ein isoliertes Minimum H(f)(x 0 ) > 0 H(f)(x) > 0 bedeutet hierbei, dass die Eigenwerte der Matrix größer als Null sind. Hierzu noch zwei nützliche Eigenschaften von Eigenwerten aus der linearen Algebra. Sei A C n n und λ j die zugehörigen Eigenwerte, dann gilt SpurA = deta = j= j= λ j λ j 5