Praktische Optimierung
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- Alexandra Meinhardt
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1 Grundlagen klassischer Optimiertechniken Praktische Optimierung Wintersemester 2008/09 Prof Dr Günter Rudolph Lehrstuhl für Algorithm Engineering Fakultät für Informatik TU Dortmund Themen der heutigen Vorlesung: Exkurs: Differentialrechnung Optimalitätsbedingungen für unrestringierte Optimierprobleme Analyse von quadratischen, konvexen Funktionen Gradientenverfahren Nicola Beume (LS11) Vorschau / 20 Grundlagen von Optimierproblemen Exkurs: Differentialrechnung Grundlagen der Differentialrechnung Am Montag gelernt: Formalitäten Überblick über dieses Semester Def: Optimierproblem Optimum, Optimalstelle lokales, globales Optimum Minimierung wie Maximierung konvexe Funktionen f : R R differenzierbar in x f (x+h) f (x) lim h 0 h existiert und ist endlich Der Limes wird mit f (x) bezeichnet und heißt Ableitung von f an der Stelle x Einige grundlegende Ableitungsregeln Sei f : R R, g : R R, x,α,n R (α) =0 Konstante (αf ) = αf Faktorregel (f + g) = f + g Summenregel (fg) = gf + fg Produktregel ( f g ) = gf fg g 2 Quotientenregel (f g) (x) =(f (g(x))) = g (x)f (g(x)) Kettenregel (x n ) = nx n 1 Potenzregel (ln x) = 1 x logarithmische Ableitung Nicola Beume (LS11) Rückblick / 20 Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20
2 Partielle Funktion und Ableitung f : R n R Argument x =(x 1,,x n) ist ein n-dimensionaler Vektor ˆzeigt an, dass eine Variable (Veränderliche) als konstant angenommen wird Sei ˆx R n und f (ˆx 1,, x k 1, ˆ x k, x k+1,, ˆ ˆx n) eine partielle Funktion mit existierender Ableitung in x k Partielle Ableitung nach x i: f (x1,,xn) xi = f f (x1,,xn) = = f xi xi xi Handwerkliches: Alle Veränderliche außer x i als Konstanten auffassen und die nunmehr nur noch von x i abhängende Funktion wie gewohnt ableiten Partielle Ableitung zweiter Ordnung Ordnung: Anzahl abzuleitender Variablen 2 f (x1,,xn) =fxi xj xi xj (höhere Ordnungen analog) Prinzip: ( ) xi xj Handwerkliches: erst nach x j ableiten, dann Resultat nach x i ableiten Reihenfolge egal, falls f C m (G) (f m-fach stetig differenzierbar) Satz von Schwarz: Für jedes f C m (G) mit G R n offen ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen bis zur m-ten Ordnung irrelevant Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20 Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20 Beispiel: Einfache partielle Ableitungen Beispiel: Partielle Ableitungen zweiter Ordnung f (x, y, z) =x 2 + xy 2 +2z 3 Partielle Ableitungen: f x(x, y, z) =2x + y 2 f y (x, y, z) =2xy f z(x, y, z) =6z 2 f (x, y) =y log(2xy), x, y > 0 f (x, y) =x 3 2x 2 y 2 +4xy 3 + y Partielle Ableitungen f x =3x 2 4xy 2 +4y 3 f y = 4x 2 y +12xy 2 +4y 3 1 Ordnung f xx =6x 4y 2 f yx = 8xy +12y 2 2 Ordnung f xy = 8xy +12y 2 f yy = 4x 2 +24xy +12y 2 Partielle Ableitungen: 1 f x(x, y) =y 2y 2xy = y x 1 f y (x, y) =log(2xy)+y 2x 2xy =log(2xy)+1 Regel: log(g(x)) = g (x) g(x) f xy = f yx Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20 Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20
3 Gradient f : R n R Gradient f (x): Vektor der partiellen Ableitungen von f (x) f (x) f (x) :=(, f (x) f (x),, ) x1 x2 xn ( heißt Nabla-Operator, steht für transponiert) Hessematrix 2 f (x): Matrix der partiellen zweiten Ableitungen von f (x) 2 f (x) 2 f (x) 2 f (x) x1 x1 x1 x2 x1 xn 2 f (x) := 2 f (x) 2 f (x) xn x1 xn xn Falls f C 2 Satz von Schwarz Hessematrix symmetrisch Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20 Optimalitätsbedingungen für unrestringierte Probleme f C 2, x R n mit f (x )=0und 2 f (x ) positiv definit f hat in x ein lokales Minimum negativ definit lokales Maximum, indefinit kein lokales Optimum Definitheitskriterium für (n n)-matrix A: a 11 a 1k Sei Δ k := k-te Abschnittsdeterminate a k1 a kk (von Hauptminor: quadr Untermatrix beginnend links oben) A pos def k :Δ k > 0 A neg def k :( 1) k Δ k > 0 ( ) a b Beispiel: b c a > 0 und ac b 2 > 0 pos def a < 0 und ac b 2 > 0 neg def a < 0 und ac b 2 < 0 indef Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20 Taylor Gemäß Taylor-Formel nähert man eine Funktion durch eine Taylor-Reihe bestehend aus Taylor-Polynomen an f (x + h) =f (x)+( f (x)) h h 2 f (x)h + h 2 ρ(h) mit lim h 0 ρ(h) =0 Andere Darstellung mit h = x x 0 Abweichung kann beliebig klein werden f (x) f (x 0)+( f (x 0)) (x x 0) (x x0) 2 f (x 0)(x x 0) Approx durch Gerade Approx durch Paraboloid Ende Exkurs Differentialrechnung Nicola Beume (LS11) Differentialrechnung / 20 Beispiel: Methodik bestimmt lokales Optium f (x, y) =x 3 + y 3 3xy f x =3x 2 3y f y =3y 2 3x partielle Ableitungen bestimmen Nullstellen der partiellen Ableitungen suchen Gleichungssystem mit zwei Lösungen: (0, 0) und (1, 1) ( ) 6x 3 2 f (x, y) = Hessematrix berechnen 3 6y Eigenschaften( der Hessematrix ) an Lösungsstellen f (0, 0) = indefinit (0, 0) keine Optimalstelle 3 0 ( ) { Δ 1 = 6 > 0 und f (1, 1) = 3 6 Δ 2 = 6 6 ( 3)( 3) = 27 > 0 posdef lokales Optimum: f (1, 1) = 1 globales Optimum? f (x, x) + für x + und f (x, x) für x f unbeschränkt lokales Opt ist kein globales Opt Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20
4 Beispiel: Methodik hat erste Schwierigkeiten f (x, y) =x 2 + y 2 2xy +1 f x =2x 2y f y =2y 2x Nullstellen der partiellen Ableitungen suchen alle (x, y) mit x = y Hessematrix berechnen ( ) { Δ 1 > 0 f (x, y) = 2 2 Δ 2 =0 Analyse durch Nachdenken und Abschätzung der Funktion: f (x, y) =x 2 + y 2 2xy +1=(x y) }{{} 0 Lösung raten: x : f (x, x) =1 partielle Ableitungen bestimmen so keine Entscheidung möglich alle Elemente in {(x, y) R 2 : x = y} sind lokale und globale Minimalstellen Optimum einer quadratischen, konvexen Funktion (1) f (x) = 1 2 x Ax + b x + c (Erinnerung: für transponiert) f (x) =Ax + b =0! suche Optimalstellen 2 f (x) =A A pos def, da f konvex lokales Opt = globales Opt Umformung des Gradienten Ax = b A 1 linksseitig A 1 Ax = A 1 b x = A 1 b =: x Optimalstelle eines globalen Optimums Inverse Matrix A 1 existiert immer: A pos def det A > 0 det A 0 A 1 existiert Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20 Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20 Beispiel: Methodik versagt f (x, y) = x 2 + y 2 offensichtlich: globales Minimum in (0, 0) Analyse durch partielle Ableitung: f x =2x 1 2 x 2 +y 2 f y =2y 1 2 x 2 +y 2 suche Nullstelle der partiellen Ableitung: f x(0, y) =0für y 0und f y (x, 0) = 0 für x 0, aber f x(0, 0) und f y (0, 0) undefiniert es existieren keine partiellen Ableitungen in (0, 0) Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20 Optimum einer quadratischen, konvexen Funktion (2) Umformung von f durch ausmultiplizieren f (x) = 1 2 x Ax + b x + c = 1 ( )( ) ( ) 2 (x1, x2) a11 a 12 x1 x1 +(b a 12 a 22 x 1, b 2) + c A symmetrisch 2 x 2 = 1 ( ) 2 (x x1 1a 11 + x 2a 12, x 1a 12 + x 2a 22) + b x 1x 1 + b 2x 2 + c 2 = 1 2 (a11x a 12x 1x 2 + x 2a 22)+b 1x 1 + b 2x 2 + c Gradient ( fx1 ) f (x) = f x2 ( ) a11x = 1 + a 12x 2 + b 1 a 22x 1 + a 12x 1 + b 2 = Ax + b Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20
5 Optimum einer quadratischen, konvexen Funktion (3) Berechne globales Optimum an Optimalstelle x f (x ) = f ( A 1 b) = 1 2 ( A 1 b) AA 1 b b A 1 b + c = 1 2 b A 1 b b A 1 b + c = 1 2 b A 1 b + c Zusammenfassung Heute (mindestens) gelernt: Grundlagen der Differenzialrechnung sind immer noch wie in der Schule Partielle Ableitungen betrachten nicht abzuleitende Variablen als Konstanten existieren nicht immer sind oft nicht zum Auffinden einer Optimalstelle geeignet Konvexe, quadratische Funktion sind harmlos haben als lokale Optima nur das globale Optimum lassen sich mit Hilfe partieller Ableitungen lösen Gradientenverfahren sind Optimierverfahren arbeiten iterativ benötigen eine passend gewählte Schrittweite Nicola Beume (LS11) Optimalitätsbedingungen / 20 Nicola Beume (LS11) Zusammenfassung / 20 Gradientenverfahren Literatur zu Analysis f (x) zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs an der Stelle x f (x) stärkster Abstieg Idee: iterative Annäherung an lokales Optimum durch Verfolgen des neg Gradienten Schrittweite s R +, Hochzahl bezeichnet Iterationsschritt x (k+1) = x (k) s (k) f (x (k) ) Vektorlänge normiert f (x (k) ) = x (k) s (k) d (k) H Heuser: Lehrbuch der Analysis (Teil 1) 3 Auflage, Teubner, Stuttgart, 1984 (Kapitel 6) H Heuser: Lehrbuch der Analysis (Teil 2) 9 Auflage, Teubner, Stuttgart, 1995 (Kapitel 20) (ganz viele andere) optimale Schrittweite: wähle s (k) so, dass f (x (k) s (k) d (k) ) = min{f (x (k) s (k) d (k) : s R + } Wie macht man das? Fortsetzung am Montag Nicola Beume (LS11) Gradientenverfahren / 20 Nicola Beume (LS11) Literatur / 20
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