f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.

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1 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales Minimum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy Gilt fx = fy nur für x = y, so heiÿt x ein isoliertes, lokales Maximum Minimum Lokale Maxima und Minima werden als lokale Extremstellen bezeichnet x heiÿt Sattelpunkt, falls f x = 0 und x ist kein Extremum ist Satz Notwendige Bedingung für lokale Extrema Seien f C 1 U, R, x U Hat f eine lokales Maximum bzw Minimum in x, so gilt f x = 0 Beweis Sei f C 1 U, R, x U lokale Extremstelle, obda lokales Maximum, ξ B Dann gilt: und genauso für ξ: f fx + ɛξ fx xξ = D ξ fx = lim 0 ɛ 0 ɛ f fx ɛξ fx x ξ = D ξ fx = lim 0, ɛ 0 ɛ dh f xξ = 0 für alle ξ B Also f x = 0 In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: fx = 0 Definition Sei U R n oen und f C U, R Die n n-matrix 1 1 fx 1 n fx H f x := 1 n fx n n fx wird Hesse-Matrix von f genannt Die Hesse-Matrix ist symmetrisch, dh H f x = H f x T, vgl Satz von Schwarz Satz Notwendige Bedingung für lokale Extrema Sei f C 1 U, R, x U Hat f eine lokales Maximum bzw Minimum in x, so ist H f x negativ bzw positiv semidenit, dh w U : w T H f xw 0 bzw w U : w T H f xw 0 Taylorentwicklung von f im Punkt x liefert: fx + h fx = wobei Rx, h für h 0 schneller verschwindet als h n h i i fx + 1 n n h i h j i j fx +Rx, h, i=1 i=1 j=1 }{{}}{{} =0 relevanter Term an Extremstelle Martin Gubisch 18 SS 008

2 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung Einsetzen der Hesse-Matrix liefert fx + h fx = 1 ht H f xh + Rx, h 0, da f bei x ein lokales Maximum besitzt Damit folgt Satz Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Sei f C U, R, x U mit f x = 0 Dann gilt: f hat in x ein lok, isol Maximum, falls w U : w T H f xw < 0 dh falls H f x negativ denit f hat in x ein lok, isol Minimum, falls w U : w T H f xw > 0 dh falls H f x positiv denit f hat in x einen Sattelpunkt, falls v, w U:v T H f xv <0, w T H f xw >0 dh falls H f x indenit In der Linearen Algebra wurden zwei Kriterien zur Denitheit von Matrizen gezeigt: 1 Jede reelle, symmetrische Matrix ist über R diagonalisierbar Berechne die Eigenwerte Nullstellen des charakteristischen Polynoms, dann gilt: Alle Eigenwerte positiv Matrix positiv denit Alle Eigenwerte negativ Matrix negativ denit Alle Eigenwerte positiv oder 0 Matrix positiv semidenit Alle Eigenwerte negativ oder 0 Matrix negativ semidenit Es gibt positive und negative Eigenwerte Matrix indenit Problem: Berechnung der Eigenwerte groÿer Matrizen ist sehr aufwendig Kriterium von Hurwitz Sei A = a ij 1 j n 1 i n eine reelle n n-matrix Dann wird A k := a ij 1 j k 1 i k der k-te Hauptminor von A genannt, 1 k n, und es gilt: A positiv denit deta k > 0 für alle k {1,, n} Dies funktioniert auch gut in höheren Dimensionen Beispiele fx, y = 1 x + y, dann fx, y = x y H f x, y = 0 1 ist positiv denit, dh f besitzt bei 0, 0 lok, isol Minimum Mit dem Kriterium von Hurwitz: det1 = 1 > 0 und det 0 1 = 1 > 0 Über Denition: w 0 : w T H f x, yw = w1 w 1 w 0 1 w = w1 + w > 0 fx, y = 1 x + y, dann fx, y = x y H f x, y = 0 1 negativ denit f besitzt bei 0, 0 ein lok, isol Maximum Hurwitz liefert keine Antwort: det 1 = 1 < 0 und det 0 1 = 1 > 0 Über Denition: w 0 : w T H f x, yw = w1 w 1 w 0 1 w = w1 w < 0 fx, y = 1 x y, dann fx, y = x y Dann ist H f x, y = indenit, dh f besitzt bei 0, 0 einen Sattelpunkt 0 1 f hat in x-richtung ein Minimum und in y-richtung ein Maximum f hat aber keine lokale Extremstelle Martin Gubisch 19 SS 008

3 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung x 0 = 0 x = 0 fx, y = 1 x, dann fx, y = H f x, y = ist positiv semidenit 0 0 f besitzt bei 0, 0 ein lokales, nicht isoliertes Minimum x 3 fx, y = 1 x + y 3, dann fx, y = H f x, y = ; H f 0, 0 = positiv semidenit 0 3 y 0 0 Allerdings besitzt f keinen Extrempunkt y x fx, y = 1 x + y 4, dann fx, y = y 3 H f x, y = ; H f 0, 0 = positiv semidenit 0 6y 0 0 Hier besitzt f bei 0, 0 ein lokales, isoliertes Minimum fx, y = 4x + y e x 4y, dann fx, y = e x 4x x4x + y 4, also y16x + 4y 1 fx, y = 0 x, y {0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1} und H f x, y = e x 4y 16x 4 40x + 4x y y + 8 4xy16x + 4y 17 4xy16x + 4y 17 64y 4 40y + 56x y 3x + Wir erhalten für die kritischen Punkte: H f 0, 0 = H f 0, 1 = 7, lokales Minimum 1 e Sattelpunkt H f 0, 1 = 7, e Sattelpunkt H f 1, 0 = e lokales Maximum H f 1, 0 = e lokales Maximum Satz Extrema unter Nebenbedinungen Seien U R n oen, f C 1 U, R, Ψ C 1 U, R n mit r < n und RangΨ x = r für alle x U Hat f in x ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung Ψ = 0, so gibt es ein λ R r, so dass die Funktion U R F : r R x, λ fx + λ 1 Ψ 1 x + + λ r Ψ r x in x, λ einen kritischen Punkt hat, dh F x, λ = 0 Die λ i werden als Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet Beispiel Extremwertaufgabe Eine kreisförmige Platte trage die Temperaturverteilung D := {x, y R T : :=Φx,y {}}{ x + y 1 0} D R x, y xy + 1 Gesucht sind die Stellen höchster bzw niedrigster Temperatur Martin Gubisch 0 SS 008

4 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung Wir gehen dabei wie in 1D vor: 1 Aufspüren kritischer Punkte mit Hilfe der Ableitung Überprüfen der Funktionswerte an kritischen Punkten, um Maxima und Minima zu nden Suche zunächst kritische Punkte in D = {x, y R x + y < 1} Dann gelten: T x, y = x y = 0 x = y = 0; H T x, y = ; 0 1 P HT λ = λ 1 = 0 λ = ±1 Da H T einen positiven und einen negativen Eigenwert hat, ist H T indenit, dh T hat in 0, 0 einen Sattelpunkt und auf D keine Extrempunkte Da T stetig auf Kompaktum, nimmt T Maximum und Minimum an, also müssen auf dem Rand der Platte D = {x, y R Φx, y = 0} Extrempunkte von T liegen: T hat Extrempunkte unter der Nebenbedingung Φx, y = 0 Deniere Lagrange-Funktion F x, y, λ = xy λx + y 1, dann { F x, y, λ = = 0 y + λ x + λ x + y 1 Auösen des Gleichungssystems ergibt: y = λx x + λ λx = 0 x1 4λ = 0 x + y 1 = 0 1 x = 0 y = 0, aber , dh 0, 0 ist kein kritischer Punkt 1 4λ = 0 λ = ±1 x = y 3 x = y, dann x = 1 x = ± 1 4 x = y, dann x = ± 1 Wir erhalten die kritischen Punkte 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Einsetzen in T ergibt: Maxima bei ± 1, ± 1 und Minima bei ± 1, 1 Also Höhenlinien Isothermen von T erhalten wir: T x, y = c yx = c x 1 In den Extrempunkten berühren sich Höhenlinie und Kurve der Nebenbedingungen Beachte: T Isotherme und Φ Kurve der Nebenbedingungen, also T Φ und damit F = T + λ Φ = 0 Martin Gubisch 1 SS 008

5 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung Beispiel Geometrische Optimierung Seien a, b, c, d Vektoren des R n mit b, d 0 Wir denieren zwei Geraden xs := a + sb; yt := c + td; wobei s, t Parameter aus R Wir untersuchen die Abstandsfunktion Φ : R R s, t xs yt auf Extremstellen Allgemein gilt für x, y, h, k R n und ein Skalarprodukt s, :=, : R n R n R: x + h, y + k = x, y + x, k + y, h }{{} + h, k }{{}, = x, + y, h,k 0 für h,k 0 dh das totale Dierenzial ds := s von s ist gegeben durch s x, yh, k = x, + y, h, k = x, k + y, h Damit erhalten wir als Bedingungen erster Ordnung von Φs, t = xs yt, xs yt : Φ s, t = xs yt, + xs yt, s s xs yt, xs yt s = xs yt, x s + xs yt, x s = a + bs c td, b und analog Φ t s, t = xs yt, y t = a + bs c dt, d Mögliche Extremstellen s, t müssen Φs, t = 0 erfüllen, also das System +s b, b t d, b = c a, b s b, d + t d, d = c a, d lösen Die Koezientenmatrix des zu gehörenden homogenen Systems ist b, b b, d A := b, d d, d Genau dann ist A invertierbar und damit eindeutig lösbar, wenn deta = b, b d, d b, d = b d b, d 0 Nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz ist deta > 0 b, d linear unabhängig In diesem Fall erhalten wir also als mögliche Extremstelle ein eindeutig bestimmtes Paar s, t Bedingung zweiter Ordnung: Φs, t s s = a + sb c td, + b, b, 0 = b, b ; Φs, t t s = a + sb c td, + b, d, 0 = b, d ; Φs, t t t = a + sb c td, + d, d, 0 = d, d Martin Gubisch SS 008

6 Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung Damit ist die Hesse-Matrix H Φ s, t = 4 b, b b, d b, d d, d positiv denit, denn für die Determinanten der Hauptminoren H 1, H gelten deth 1 = det b, b = b, b > 0; deth = deth Φ s, t = b d b, d > 0 nach Cauchy-Schwarz, also hat Φ in s, t ein lokales, isoliertes Minimum Wegen lim Φs, t = lim s,t ist s, t sogar ein globales Minimum s,t s b, b + t d, d st b, d s t lim t b + d b, d = t }{{} = b d >0 Bleibt noch der Fall zu untersuchen, dass b, d linear abhängig sind, dh dass d = µb für ein µ R Setze Φs, t := Ψs µt mit Ψx := a c + xb Dann ist Ψ eine 1D-Funktion und wir erhalten durch Dierenzieren nach x die Gleichungen Ψ x = a c + xb, b Ψ x = b, b Aus Ersterem erhalten wir als einziges mögliches Extremum von Ψ den Wert x = c a, b b, b und da Ψ x = b > 0, besitzt Ψ in x ein lokales sogar globales, isoliertes Minimum Also nimmt Φ bei allen s, t sein globales Minimum an, für die gilt s µt = x Martin Gubisch 3 SS 008