A1: Diplomvorprüfung HM II/III WS 2007/

Transkript

1 A: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe. (+68 Punkte) a) Ist die Reihe k+ k k 5k konvergent oder divergent? Begründen Sie ihre Aussage! b) Führen Sie eine Partialbruchzerlegung für n+ durch und berechnen Sie damit den Wert n n der Reihe ( ) k k + k k. Lösung: a) Der Term k + k geht gegen für k. Wegen k + k ( k + k)( k + + k) k + + k k + k k + + k k ist der Term als Folge insbesondere beschränkt. Also gilt N k k + k 5k 5 N k und die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium. b) Partialbruchzerlegung: Ansatz: Daraus folgt A(n )+Bn n(n ) n+ n(n ) also k n + n n n + n(n ) A n + B n. An + Bn A n +. Koeffizientenvergleich liefert: A und A + B, also A und B und Damit gilt: N ( ) k N k + k k N ( ) k N k + n + n n n + n. ( ) k ( k + ) k N ( ) k N k ( ) N N + ( ) ( ) k N k + ( ) k k ( ) k N. N k + k ( ) k k

2 A: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe. (+4,5+,58 Punkte) Es sei die Funktion f : R R gegeben durch x y + x, falls (x, y) (, ) f(x, y) x + y, falls (x, y) (, ). a) Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich S f von f. b) Berechnen Sie, soweit möglich, alle partiellen Ableitungen von f auf R. c) Berechnen Sie die Richtungsableitung bezüglich e (, ) im Punkt (, ). Lösung: a) Für (x, y) (, ) ist f stetig als Komposition stetiger Funktionen. Für die Stelle (, ) verwenden wir Polarkoordinaten x r cosϕ, y r sin ϕ, wobei r [, ), und ϕ [, π). r sin ϕ r cos ϕ lim f(r cosϕ, r sin ϕ) lim r r r cos ϕ + r sin + r cosϕ ϕ r 4 sin ϕ cos ϕ lim + r cosϕ r r lim r r sin ϕ cos ϕ + r cosϕ f(, ) Daher ist f auch stetig im Punkt (, ) und es gilt S f R. b) Ableitungen nach x: Für (x, y) (, ) und x gilt: xy (x + y ) y x 3 +, falls x > (x f x (x, y) + y ) xy (x + y ) y x 3, falls x <. (x + y ) Für (x, y) (, ) gilt: f(x, ) f(, ) x x f x (, ) lim lim lim, x x x x x x Für x und beliebiges y R gilt: f(x, y) f(, y) lim x ± x lim x ± x ( ) x y + x y x + y + y ( ) x y x + y y + y ( ) x y ( + y ) y (x + y ) (x + y )( + y ) x lim x ± x + lim x ± x x lim x ± x + lim x ± x ± + y + y lim y (x ) x ± (x + y )(x ) ± + y4 + y lim (x + ) x ± (x + y ) ± + y4 ( + y ).

3 Also existiert f x (, y) nicht. Ableitungen nach y: Für (x, y) (, ) gilt: Für (x, y) (, ) gilt: c) Es gilt: f y (x, y) x y(x + y ) y 3 x (x + y ). f(, y) f(, ) f y (, ) lim lim. y y y y f f((, ) + t(, )) f(, ) e (, ) lim t t f(t, t) f(, ) lim t lim t t lim t t ( t ) t 4 + t t ( ) t t lim t t. 3

4 A3: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe 3. (+78 Punkte) Gegeben sei die Menge B {(x, y) R x + y 3, x } und die Funktion f : B R mit f(x, y) x + y xy + y + 4. a) Skizzieren Sie die Menge B und berechnen Sie die Schnittpunkte zwischen den Gleichungen x + y 3 und x. b) Bestimmen Sie den maximalen und den minimalen Wert von f auf der Menge B. Lösung: a) Skizze der Menge B:,,5,,5 K, K,5 K, K,5,5,,5 K,5 K, K,5 K, Die Schnittpunkte zwischen den Gleichungen x + y 3 und x sind (, ) und (, ). b) Es gilt: f (x, y) ( ) x y. y x + Zunächst betrachten wir das Innere der Menge B und suchen dort nach kritischen Punkten. Dafür setzen wir den Gradient von f gleich. ( ) x y f! (x, y) x y x x y x + 3, y 3. Da ( 3) + ( 3) 5 < 3 und 9 <, befindet sich der Punkt 3 (, 3 ) im Inneren 3 der Menge B und ist somit ein kritischer Punkt von f in B. 4

5 Wir untersuchen die Funktion f auf mögliche Extrema auf dem Rand von B. Für die Punkte mit x + y 3 und x < verwenden wir die Methode von Lagrange. Wir definieren die Funktion g : R R durch g(x, y) x + y 3. Zunächst untersuchen wir die Funktion H(x, y, λ) f(x, y) + λg(x, y) auf stationäre Punkte. ( ) x Da g (x, y), erhalten wir die folgenden Gleichungen. y! H x (x, y, λ) x y + λx ()! H y (x, y, λ) y x + + λy ()! H λ (x, y, λ) x + y 3 (3) Für x bzw. y hat das System keine Lösung. Also sei x und y. Mit () und () gilt y x λ x, y woraus y (x )x folgt. Einsetzen in (3) ergibt x + x(x ) 3 x x 3, also ist x 3 oder x. Da x <, erhalten wir x und daher y, d.h. y ±. Die Punkte (, ) und (, ) sind also kritische Punkte von f. Nun betrachten wir die Funktion f für die Punkte auf dem Rand von B mit x. Wir setzen x in f ein und erhalten h(y) : f(, y) y mit Ableitung h (y) y. Also ist der Punkt (, ) auch kritisch. Da B kompakt ist, nimmt f als stetige Funktion ihr globales Maximum bzw. Minimum in B an. Daher sind nun bei all den erhaltenen kritischen Punkten zusammen mit den Ecken (, ) und (, ) die Funktionswerte zu überprüfen: f( 3, 3 ), f(, ) 3 4 +, f(, ) 3 4, f(, ) 5 4, f(, ) 3 4 f(, ). Da < 3 < 5 < 3 < 3+, liegt im Punkt (, ) das absolute Minimum 3 und bei (, ) das absolute Maximum von f in B. 5

6 A4: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe 4. ( Punkte) Im R sei die Kurve Γ durch γ(t) 4 ( ) t cost π t, t R sin t gegeben. a) Bestimmen Sie γ(t), γ(t), den Tangenteneinheitsvektor und den Normalenvektor n(t) von Γ für t >. b) Berechnen Sie die Krümmung κ(t) von Γ für t >, sowie den Krümmungskreis C(γ(t )) für t. Ist die Kurve links- oder rechtsdrehend? c) Ermitteln Sie die Bogenlänge L(T) von Γ für das Intervall [, T], wobei T >. d) Berechnen Sie γ( k π) für k {,,, 3, 4} und skizzieren Sie Γ im Bereich von [, π]. Lösung: a) Es gilt: und Dann ist (ẍ ) γ(t) ÿ (ẋ ) γ(t) ẏ 4 ( ) t cost t sin t π t sin t + t cost 4 ( ) cost 4t sin t t cost π sint + 4t cost t 4 ( ) ( t ) cost 4t sin t sin t π ( t. ) sin t + 4t cost γ(t) 4 π ( 4t cos t 4t 3 sin t cost + t 4 sin t + 4t sin t + 4t 3 sin t cost + t 4 cos t ) 4 π ( 4t + t 4) 4 π t 4 + t Der Tangenteneinheitsvektor lautet dann γ(t) γ(t) t 4 + t ( t cost t sin t t sin t + t cost ) 4 + t ( ) cost t sin t sint + t cost und der Normalenvektor n(t) 4 + t ( ) sin t t cost. cost t sin t 6

7 b) κ(t) ẋÿ ẏẍ γ(t) 3 ( ) 3 [ ( ) π 4 4t (t cost t sin t)(( t ) sint + 4t cost) (4 + t ) π ( ) 4 (t sin t + t cost)(( t ) cost 4t sin t)] π π cos t t sin t( t ) + 8t sin t t cos t( t )) 4t 3 (4 + t ) 3/(8t π t ( t ) ) 4t 3 (4 + t ) 3/(8t π (6 + t ) 4t(4 + t ) 3/ Für t >, ist κ(t) > und daher ist die Kurve linksdrehend. Weiterhin gilt κ() π (6 + ) 7π 4(4 + ) 3/ 5. Also ist der Radius r des Krümmungskreises C(γ(t )) an der Stelle t r() κ() 5 7π, und der Mittelpunkt ist gegeben durch γ() + r()n() 4 ( ) cos + ( ) sin cos π sin 7π cos sin 4 ( ) sin + cos. 7π cos + sin c) L(T) 4 π T 4 ( ) 4 + t 3/ T 3π t 4 + t dt 4 T 3t 4 + t 3π dt 4 3π ( 4 + T ) 3/ 3 3π. d) γ() ( ) ( π, γ ) ( ), γ(π) ( ) 4, γ ( ) ( ) 3π, γ(π) 9 ( ) 6 7

8 5 5 K K4 K6 K8 8

9 A5: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe 5. (5+38 Punkte) a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von ẋ(t) 3 4 x. 5 b) Bestimmen Sie die Lösung y y(x) der Differentialgleichung durch den Punkt (, ). y y x Lösung: a) Das charakteristische Polynom der Matrix ist ( λ)(3 λ)(5 λ) und somit die Eigenwerte λ, λ 3 und λ 3 5. Wir bestimmen die zugehörigen Eigenvektoren v i y i, (i,, 3): z i λ : Setze x. Es folgt y z. Also v. 3 λ 3: Setze y. Es folgt x und z. Also v. 5 λ 3 5: Setze z 3. Es folgt y 3 und x 3. Also v 3. Also lautet das Fundamentalsystem et, e 3t, e 5t. b) Verwendung der Methode der Trennung der Variablen ergibt: y y x y y x y x 4 + c y x + c. 4 9 x i

10 Einsetzen von (x, y) (, ) ergibt: Also ist y(x) x x c c 3 4.

11 A6: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/ Aufgabe 6. (,5++3+,58 Punkte) Sei m(x, y, z) x + 4y + 9z und M das Viertel eines Ellipsoids, gegeben durch M { (x, y, z) T m(x, y, z) 36, x, y }, sowie F { (x, y, z) T M } m(x, y, z) 36, und G { (x, y, z) T M } x zwei der Randflächen von M. Die Normale der Flächen zeige nach außen! Außerdem sei f(x, y, z) (xz, x, 3 y ) T. a) Sei Φ(ϕ, θ) (a cosϕcosθ, b sin ϕ cosθ, c sin θ) T. Berechnen Sie a, b und c so, dass Φ eine Parameterdarstellung von F ist, sowie den Parameterbereich für ϕ und θ. b) Berechnen Sie rot(f). c) Berechnen Sie mit a) das Integral d) Berechnen Sie mit dem Satz von Stokes die Zirkulation F rot(f) do. (Tipp: cos 3 θ cosθ( sin θ).) G f dw. Benutzen Sie die folgende Parameterdarstellung von G (Normale geht nach außen): Ψ(s, t) (, t, s) mit t 3 und t s t. Lösung: a) Für θ π/ erhält man (a ) + 4(b ) + 9(c ) 36 also c. Für θ und ϕ bzw. ϕ π/ folgt analog a 6 und b 3. (Alternativ ist z.b. bekannt: m(x, y, z) 36 ( ) x + ( ) y + ( ) z ( ) x + ( ) y + ( z 6 3 a b c).) θ ist nicht zusätzlich eingeschränkt, geht also von π/ bis π/, das bedeutet insbesondere: cosθ. Somit folgt aus x, dass cos ϕ, und aus y, dass sin ϕ also ϕ π/. b) rot(f) y ( 3 y ) z x xz z x ( 3 y ) x x xz y 4y 3 x. x c) Wir haben Φ(ϕ, θ) (6 cosϕ cosθ, 3 sin ϕ cosθ, sin θ) T. Die Normale von F gemäß Parameterdarstellung in a) ist 6 sin ϕ cosθ 6 cosϕsin θ 6 cosϕcos θ Φ ϕ Φ θ 3 cosϕcosθ 3 sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ cosθ 8 ( ). sin ϕ + cos ϕ cosθ sin θ }{{} Sie zeigt nach außen. Dann ist π π 4 (3 sinϕcosθ) 6 cos ϕ cos θ 3 rot(f) do 6 cosϕ cosθ sin ϕ cos θ dϕ dθ F π 6 cosϕ cosθ 8 cosθ sin θ

12 π π π π ( 4 + 7) sinϕcosϕcos 3 θ + 8 cosϕ sin θ cos θ dϕ dθ π π π π π π 48 sin ϕ cosϕcos 3 θ + 8 cosϕ sin θ cos θ dϕ dθ [ 4 sin ϕ cos 3 θ + 8 sinϕsin θ cos θ ] π ϕ dθ 4( ) }{{} cosθ ( sin θ) +8( ) }{{}}{{} sinθ cos }{{ θ} h g(h) h [ 4(sin θ 3 sin3 θ) 8 3 cos3 θ ] π θ π g(h) dθ (4 8 ) ( ) 3 d) Aus x folgt 9z 36 4y, also y z y. Die Normale von G gemäß der Parameterdarstellung Ψ(s, t) (, t, s) ist: ( ) ( ) ) Ψ s Ψ t. Mit Stokes ist G f dw 3 G rot(f) do ( 4 3 t G t 36 4t dt ) ( ( ) 3 d(s, t) ( 7 4 }{{ t } h [ ] 3 (36 4t ) 3 7 t t t 3 ) 36 4t }{{} dt }{{ h } g(h) 4 t ds dt 3