1. Klausur. für Studierende der Fachrichtungen phys. 2u du u(1 + u 2 ) = 2. = 1, c = 1. x= 1

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1 Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Prof. Dr. C. Rohde Höhere Mathematik I III Diplomvorprüfung Klausur für Studierende der Fachrichtungen phys Bitte unbedingt beachten: In dieser Klausur können bis zu 74 Punkte erreicht werden. Aufgabe 8 Punkte: Bestimmen Sie dx a mit Hilfe der Substitution u x, x + x b x u, dx u du dx x + x. dx x + x u du u + u Partialbruchzerlegung: x + x a x + b x + c + x Grenzwertmethode: b, c x + x x x du + u arctan u π a bestimmt man schnell durch Einstzen eines Wertes, z. B. x : a++ a dx x + x x + x + dx lim ln x + ln + x A + x A x lim ln + x A ln + ln A x x Gesamt: 8 P HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite von

2 Aufgabe Punkte: Gegeben sei die Matrix 3 + α α A α 3 + α mit α R. 4 a Bestimmen Sie zum Eigenwert λ 4 zwei Eigenvektoren f und f der Matrix A mit f f. + α α A 4E α + α f f,, T, f,, T b Geben Sie einen von f und f linear unabhängigen Eigenvektor f 3 von A und den zugehörigen Eigenwert an. f 3 f f,, T, A f 3 + α f 3 λ 3 + α c Geben Sie eine Orthogonalmatrix S und eine Diagonalmatrix D an, so dass S T AS D gilt. S 4, D 4 + α d Gegeben sei eine Schar von Quadriken durch Q α : 3 + αx αx + αx x + 4x 3. i Bestimmen Sie die Normalform dieser Quadriken bezüglich der Koordinaten x S y. Mit x T A x und x S y ergibt sich 4y + 4y + + αy 3. ii Für welches α ist Q α eine Kugel? α iii Geben Sie den Typ von Q an: 4y + 4y Kreiszylinder e Wie lautet die Gleichung der Ebene x im { f, f, f 3 } System?,, x, x, x 3 T xs y,, S y,, y y + y 3 Gesamt: P HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite von

3 Aufgabe 3 Punkte: Gegeben sei die Funktion f : R R durch fx x e x. a Symmetrie: Es gilt f x fx, also Achsensymmetie zur y-achse. b Nullstellen: fx x, die Nullstellen sind also ±. Extremstellen: Es gilt f x x x xe x 4x + x 3 e x xx e x. Als Extremstellen kommen somit und ± in Frage. Nun kann man mit Vorzeichenwechsel argumentieren oder mit der zweiten Ableitung f x 4x 4 + 4x 4e x, f 4 <, f ± e >. Die Funktion f besitzt somit an der Stelle ein lokales Maximum und an den Stellen ± lokale Minima. Es gilt und lim fx, da lim x ± x ± e x lim x ± x e x wegen lim ye y. y c Entwickeln Sie die Funktion f in eine Potenzreihe um x. fx x e x x x n n x n n x n+ n n! n n! n n! n x n + n x n + n n n! n n! n n! + x n n! + n + n x n n! n Gesamt: P HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 3 von

4 Aufgabe 4 8 Punkte: Bestimmen Sie das Minimum der Funktion f : R 3 R : x, y, z 4 x + z auf der Schnittkurve des parabolischen Zylinders Z : x + y und der Ebene E : y z. Lagrangefunktion: Lx, y, z, λ, µ 4x + z + λ x + y + µ y z Notwendige Bedingung für Extrema: L x L y L z und L λ L µ Nebenbedingungen. L z µ, L y λy + µ, L x 8x + λ µ, λy y!, 8x λ λ y, x 8y. Zusammen mit den Nebenbedingungen folgt daraus x 8y und x + y y 8y y x 4. Als Kandidaten y für das und Extrema y z haben wir also z den Punkt P,,. f nimmt in P den 4 Wert 4 7 an Nachweis, dass ein Minimum vorliegt, wird nicht verlangt. 4 4 Gesamt: 8 P HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 4 von

5 Aufgabe 5 7 Punkte: Lösung: üx, 4 ux 3 x, u u. Substitution yx ux y x 4y 3 x y. Trennung der Variablen: x gx Gx dζ x y hy 4y 3 Hy 4ζ 3 dζ y 4. H : R R +, H : R + R, H x ± 4 x. yx H Gx + H ± 4 x. ux ± 4 x ux ± C + ± x C + x u ± C + 4 C ± ζ 4 dζ. ux 4 5 ± 4 5 x 5 4, u :, R. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 5 von

6 Aufgabe 6 6 Punkte: Wegen f kann man den Ansatz fz z + b cz + d machen. Es gilt f 3, f 4, fi i. 3 Daraus folgt 3 b d, b c + d, i i + b ci + d 4c + 4d 3 + 3b, 3d b, ici + d i + b Einsetzen der. Gleichung in die. und 3. Gleichung liefert 4c 5d 3 + i + ic + id i 4. Addition liefert nun 5i i 3 + 3i 4i 3 id 3 i d. Einsetzen liefert und 3d b b 3 4c + 4d 3 + 3b 4c c. Damit ist fz z + 3 z +. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 6 von

7 Aufgabe 7 8 Punkte:. Lösungsweg: Der Rand kann in 4 Teile C, C, C 3, C 4 zerlegt werden, diese werden durch aufeinanderfolgend parametrisiert. Anmerkung: Die Parametrisierung C t, + t T : t [, ] C t t, T : t [, 4] C 3 t, t 4 T : t [4, 6] C 4 t + t 6, T : t [6, 8] C t t, T : t [, ] C t, t T : t [, ] C 3 t + t, T : t [, ] C 4 t, + t T : t [, ] ist auch O.K. Es gilt C y x + y x i C i x + y y x Die Tangentialvektoren an die Parametrisierungen sind gegeben durch an C, an C, an C 3,. an C 4 Daher ist Ebenso sind Daher ist C fxs ds C fxs ds C 3 fxs ds C 4 fxs ds t dt + s ds arctan arctan π 4 4 π. + t dt + s ds arctan arctan π 4 4 π + t 4 dt + s ds arctan arctan π 4 4 π + + t 6 dt + s ds arctan arctan π 4 4 π. C y x + y x 4 π π. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 7 von

8 .Lösungsweg Da fx für x kann der Verlauf des Weges geändert werden, solange die Kurve einmal um den Nullpunkt läuft. Das heißt wobei C x + y der Einheitskreis ist. Er wird durch y x K y x + y x K {x, y R : x + y } s : [, π] R, sθ parametrisiert. Für den Tangentialvektor im Punkt θ gilt sinθ tθ. cosθ cosθ sinθ Somit ist K y x + y x π π π fθ tθ dθ sinθ cosθ sinθ cosθ [ sin θ + cos θ ] dθ π. dθ HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 8 von

9 Aufgabe 8 9 Punkte: f : R R R, fx, y e x cos y + e y sin x i f ist harmonisch: f f x + f y ex cos y e y sin x e x cos y + e y sin x. ii iii Da f stetig differenzierbar und harmonisch ist, ist es der Realteil einer holomorphen Funktion. Finde g : R R,, so dass F z fx, y + igx, y holomorph ist. Cauchy-Riemannsche Gleichungen: f g f x, y x, y, x y y g x, y x, y x g y x, y ex cos y + e y cos x gx, y e x sin y + e y cos x + Cx. e x sin y + e y sin x e x sin y + e y sin x C x C x Cx K Konstante gx, y e x sin y + e y cos x + K. Anmerkung: Es ist nicht notwendig K hinzuschreiben. Speziallfälle, wie z.b. K, reichen auch. iv F z e x cos y + e y sin x + ie x sin y + e y cos x + ik e x cos y + i sin y + e y sin x + i cos x + ik e x e iy + ie y cos x i sin x + ik e z + ie y e ix + ik e z + ie zi + ik. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite 9 von

10 Aufgabe 9 7 Punkte: Berechnen Sie das Oberflächenintegral der Funktion 3z F x, y, z 5y auf der Oberfläche einer Kugel K { x, y, z R 3 x + y + z r } mit dem Radius r >. Wir benutzen folgende Parametrisierung einer Kugel: r cos ϕ cos ψ ωϕ, ψ r sin ϕ cos ψ, ψ [ π, π ], ϕ [, π]. r sin ψ also gilt und damit auch ω ϕ ω ψ ϕ, ψ Mit F 3z 5y ω ϕ ϕ, ψ ω ψ ϕ, ψ ω ϕ, ω ψ,3 ω ϕ,3 ω ψ, ω ϕ,3 ω ψ, ω ϕ, ω ψ,3 ω ϕ, ω ψ, ω ϕ, ω ψ, r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ r sin ϕ sin ψ r cos ψ r cos ϕ cos ψr cos ψ r sin ϕ cos ψ r cos ψ r sin ϕ cos ψ r sin ϕ sin ψ r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ r cos ϕ cos ψ r sin ϕ cos ψ r cos ψ sin ψ und r > folgt.. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite von

11 π π/ F ωϕ, ψ ω ϕ ω ψ ϕ, ψ dψ dϕ / π π/ r π r π r π 3 r3 3 πr3. / π/ / 3r sin ψ 5r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ r sin ϕ cos ψ r cos ψ sin ψ dψ dϕ 3r sin ψ cos ψ cos ϕ + 5r sin ϕ cos 3 ψ + cos ψ sin ψ dψ dϕ [ r cos ϕ cos 3 ψ + 5r sin ϕsin ψ 3 sin3 ψ + sin ψ 3 r sin ϕ dϕ [ ϕ sin ϕ 4 ] π. Lösungsweg Die Aufgabe läßst sich auch mit dem Satz von Gauß lösen. Es gilt also F n ds divf dx dy dz. Es gilt K K divf 5. ] π/ / dϕ Also folgt K F n ds K 5 dx dy dz πr3 3 πr3. HM I III,. Klausur, , Prof. Dr. C. Rohde Seite von