Klausur Mathematik I

Transkript

1 Klausur Mathematik I (E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). September 7 (Hans-Georg Rück) Aufgabe (6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft Re(z) = und (z ) ( z ) =. Geben Sie die Lösungen in karthesischen Koordinaten (Real- und Imaginärteil) an. b) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen, deren dritte Potenz gleich der komplexen Zahl i (i = ) ist. Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten (Winkel und Betrag) an. Aufgabe (8 Punkte): a) Die Ebene E gehe durch die drei Punkte (,, ), (,, ) und (,, ). Auf der Ebene E mit dem Normalenvektor liege der Punkt (,, ). Berechnen Sie die Schnittgerade g = E E in Parameterform. b) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem x + x + = 4 x + ax + 6 = 9 x x = 4 in den Unbekannten x, x und. Dabei ist a eine reelle Konstante. Berechnen Sie die Konstante a, so dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

2 Aufgabe ( Punkte): Betrachten Sie für ein Paar reeller Konstanten (a, b) die Funktion f (a,b) : R R mit f (a,b) (x) = (x + a) e bx. a) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung von f (a,b). b) Wie viele Wendepunkte kann f (a,b) höchstens haben? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Finden sie mindestens ein Paar (a, b), so dass die Funktion f (a,b) bei x = ein lokales Maximum hat. Erklären Sie Ihr Vorgehen. d) Berechnen Sie die beiden Grenzwerte lim f (,)(x) und x lim x f (, )(x). Aufgabe 4 (8 Punkte): a) Berechnen Sie eine Stammfunktion von mittels Partialbruchzerlegung. f(x) = x + x +. b) Berechnen Sie die Taylorreihe um den Punkt x = von f(x) = x. Aufgabe 5 (8 Punkte): a) Berechnen Sie (durch Anwendung einer geeigneten Substitution) das bestimmte Integral (x ) cos( x x ) dx. b) Berechnen Sie (durch Anwendung von partieller Integration) das bestimmte Integral e x e x dx.

3 Lösungen:. a) Wir schreiben z = x + iy mit x, y R. Dann lesen sich die Eigenschaften als x = und (x ) + y =. Setzen wir x = in die zweite Gleichung ein und lösen die quadratische Gleichung in y, so erhalten wir y = ±. Es ergeben sich somit die beiden Lösungen z = + und z = b) Wir schreiben i in Polarkoordinaten (r =, ϕ = ): i = ei. Somit erhalten wir gemäß der Vorlesung die drei Lösungen. z k = e i( 6 +k ) mit k =,,.. a) E lautet in Parametrform x E = x = + λ + µ λ, µ R E lautet in impliziter Form x E = x x x = = x x x x = Setzen wir x, x, von E in die Gleichung von E ein, so erhalten wir ( + λ + µ) λ =, also µ =. Die Geradengleichung lautet dann g = E E = x x = + λ λ R b) Die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems lautet: 4 a Mit dem Gauß-Algorithmus formen wir dies um zu 4 a 4. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass dieses lineare Gleichungssystem genau dann nicht lösbar ist, wenn a 4 = ist. Somit ist die Lösung a = 4.

4 . a) Mit der Produkt- und der Kettenregel berechnen wir f (a,b) (x) = ebx ( + bx + ba) und f (a,b) (x) = ebx (b + b x + b a). b) Wenn x ein Wendepunkt ist, dann muss f (a,b) (x) = sein. Also muss b+b +x+b a = sein. Es gibt aber höchstens ein solches x, da dies ein Polynom vom Grad in x ist. Also gibt es höchstens einen Wendepunkt. c) Hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum bei x = sind f (a,b)() = und f (a,b)() <. Dies bedeutet aber gerade + b + ba = und b + b + b a <. () Lösen wir die erste Gleichung nach b auf (falls a ), so erhalten wir b = + a. Setzen wir dies in die Ungleichung ein und multiplizieren sie dann mit ( + a), so bekommen wir ( + a) + + a < beziehungsweise a >. Somit folgt, dass wenn a > und b = + a, dann hat f (a,b) bei ein lokales Maximum. Natürlich können wir auch ein Paar (a, b) erraten, dass () erfüllt, etwa (a, b) = (, ). d) Es gilt Ausserdem lim f (,)(x) = lim (x + x x )ex = =. Hier müssen wir also l Hospital anwenden: lim f (, ) = lim (x + x x )e x =. lim f (, ) = lim (x + x + x x )e x = lim x e x = lim =. x ex 4. (a) Es ist x + x + = (x + ). Also machen wir den Ansatz A x + + B (x + ) = (x + ). Wir multiplizieren mit (x + ) und erhalten A(x + ) + B =. Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir A = und B = 4 und somit x + x + = x (x + ). Laut Vorlesung ist dann die Stammfunktion ( ) x + x + dx = x (x + ) dx = ln x + 4 x + + c. 4

5 (b) Wir benutzen die Geometrische Reihe u = k= uk und formen um: Mit u = x erhalten wir x = x = x = x. k= ( ) k x = k= ( ) k x k. 5. (a) Wir substituieren: u = x du x und erhalten dx =, somit dx = (x )du. Für die (x ) Grenzen erhalten wir, beziehungsweise /. Wir setzen dies alles ein und erhalten ( ) x ( (x ) cos ) dx = cos(u)du = sin + sin() =. x (b) Wir berechnen die Stammfunktion von x e x durch zweimalige Anwendung der partiellen Integration: Also erhalten wir e x e x dx = x e x xe x dx ( = x e x xe x = x e x xe x + e x = (x x + )e x ) e x dx x e x dx = (e e + )e e ( + + )e = (e e + )e e. 5