Vortragsübung am 25. April 2014

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1 Seite von 6 Termin: 5. April 04 Vortragsübung am 5. April 04.. Berechnen Sie den Grenzwert lim n ( n + + n ), n indem Sie ihn als Riemann-Summe eines Integrals auffassen... Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen (a) xe x ; (b) x 3 e x ; (c) ln x ; e x (d) e x + ; (e) (f) (g) x x x + ; + x ; sin x. In der folgenden Aufgabe sind noch 3 weitere Beispiele zusammengefasst, die jedoch nicht in der Vortragsübung behandelt wurden..3. Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen (a) x + bx + c ; (b) 3x ; (c) + x3 arcsin x.

2 Seite von 6 Termin: 5. April 04 Lösungen.. Berechnen Sie den Grenzwert lim n ( n + + n ), n indem Sie ihn als Riemann-Summe eines Integrals auffassen. Lösung.. Es gilt n ( n n + + n n n ) = ( n n + n und letzteres ist eine Riemann-Summe des Integrals Damit ergibt sich als Grenzwert log n [ ] + x = ln( + x) = ln ) + Den Differentiationsregeln entsprechen Integrationsregeln. Auftretende Funktionen seien jeweils stetig beziehungsweise stetig differenzierbar. Regel 0 f (x) = f(x) + C Regel αf(x) + g(x) = α f(x) + g(x) Regel f (x)g(x) = f(x)g(x) f(x)g (x) Regel 3 Sei g injektiv. Dann gilt f(g(x))g (x) = f(y) dy, y = g(x).

3 Seite 3 von 6 Termin: 5. April 04 Der Tabelle wichtiger Ableitungen entspricht eine Tabelle wichtiger Grundintegrale. Alle Formeln gelten in einem natürlichen Definitionsbereich. (a) x n = n + xn+ + C (b) e x = e x + C (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) cos x = sin x + C und cosh x = sinh x + C und x = ln x + C + x = arctan x + C x sin x = cos x + C = arcsin x + C = arccos x + C + x = arsinh x + C x = arcosh x + C sinh x = cosh x + C.. Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen (a) xe x ; (b) x 3 e x ; (c) ln x ; e x (d) e x + ; (e) (f) (g) x x x + ; + x ; sin x. Lösung.. (a) Hier hilft partielles Integrieren. Es gilt xe x = xe x + e x = e x (x + ) + C. (b) Hier hilft die Substitution y = x, dy = x. x 3 e x = ye y dy = e y (y + ) + C = (x + ) + C. e x

4 Seite 4 von 6 Termin: 5. April 04 (c) Hier führt man den trivialen Faktor ein und integriert einmal partiell. Dies führt auf ln x = x ln x = x ln x x + C. (d) Hier substituiert man y = e x, dy = e x, so dass e x e x + = y y(y + ) dy gilt. Nun nutzt man eine Zerlegung der Form y y(y + ) = A y + B y + (y ) = A(y + ) + By = A + By + A, und damit A = und B =. Damit gilt e x e x + = dy dy y + y = ln y + ln y + C = ln(ex + ) x + C. (e) Es gilt x x x + = x x + + x x x + Den zweiten Term können wir in der Form x (x ) = A x + A (x ) = + x (x ). schreiben. Koeffizientenvergleich liefert A = und A =. Also gilt x x x + = + x + = x + ln x (x ) x + C. (f) Hier kann man zum Beispiel x = sinh y, = cosh ydy, substituieren. Dann folgt mittels cosh y sinh y = + x = cosh y dy = sinh y cosh y sinh y dy = sinh y cosh y cosh y dy + dy = (y + sinh y cosh y) + C = (arsinh x + x ) + x + C. wobei wiederum partiell integriert wurde. Alternativ könnte man auch wie folgt vorgehen und zuerst partiell mit dem trivialen Faktor integrieren, + x = x + x = x = x + x + x + + x ( x ) + x + arsinh x + C. + x

5 Seite 5 von 6 Termin: 5. April 04 (g) Hier nutzt man die Substitution t = tan x beziehungsweise x = arctan t. Diese Substitution funktioniert immer, wenn man rationale Funktionen in sin x und cos x zu integrieren hat. Hier gilt = dt und sin x = t sowie cos x = t, so dass +t +t +t dt sin x = = log t + C = ln tan x + C t in jedem der Definitionsintervalle ( π, 0) und (0, π) (und damit aufgrund der Periodizität auch in jedem Definitionsintervall)..3. Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen (a) x + bx + c ; (b) 3x ; (c) + x3 arcsin x. Lösung.3. (a) Hier nutzt man eine quadratische Ergänzung des Nenners. Dazu unterscheiden wir drei Fälle, je nachdem ob der Nenner reelle Nullstellen besitzt oder nicht. (i) Sei b < 4c. Dann gilt mit β = b und c β = γ x + bx + c = mit der Substitution y = x+β γ (x + β) + γ = γ ( + ) x+β γ = γ arctan y + C = γ arctan ( x + β γ und dy = γ. (ii) Sei b = 4c und wie oben β = b. Dann gilt nun x + βx + β = (x + β) = x + β + C. ) + C (iii) Gilt nun b > 4c so folgt mit β = b und β c = δ x + bx + c = (x + β) δ = ( ) δ x + β δ x + β + δ = δ ln x + β δ x + β + δ + C auf jedem der Definitionsintervalle in R \ {δ β, δ β}. (b) Aus der Zerlegung + x 3 = (x + )(x x + ) erhalten wir den Ansatz 3x + x = A 3 x + + Bx + C x x +

6 Seite 6 von 6 Termin: 5. April 04 für die Partialbruchzerlegung. Für die Koeffizienten ergibt sich A =, B = C =. Damit gilt 3x + x = 3 x + + x + x x +, wobei sich der zweite Term weiter sinnvoll in der Form x + x x + = zerlegen lässt. Insgesamt gilt dann 3x + x = 3 x + + x x x x x x x x + x x + = ln x + + ln x x arctan ( x 3 ) + C. Dabei wurde im zweiten Term die Substitution y = x x + vorgenommen. Um den dritten Term zu integrieren, nutze man Teil (a). (c) Mit partieller Integration gilt arcsin x = x arcsin x x = x arcsin x + x x x = x arcsin x + x + C, wobei im letzten Schritt y = x, dy = x, substituiert wurde. Partialbruchzerlegung: Ziel der Partialbruchzerlegung ist es, die Bestimmung der Stammfunktion von rationalen Brüchen der Form f(x) = p(x) q(x), wobei p und q Polynome sind, zu vereinfachen. Der Polynomanteil kann dabei mittels Polynomdivision abgespalten werden, weshalb wir uns im Folgenden nur mit echten Brüchen beschäftigen wollen, bei welchen der Grad von p kleiner als der von q ist. Zusätzlich wollen wir annehmen, dass der höchste Koeffizient von Q gleich sei. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten eindeutig in Faktoren der Form x a und x + px + q zerlegen lässt, wobei der quadratische Anteil keine reellen Nullstellen besitzen soll. Also lässt sich q in der Form q(x) = (x a) k... (x + px + q) l... schreiben, wobei k, l,... N. Weiterhin existieren Koeffizienten A,..., A k,... R und B, C,..., B l, C l,... R, so dass sich die Funktion f auf die Form f(x) = A x a A k (x a) k B x + C x + px + q B lx + C l (x + px + q) l bringen lässt. Die Koeffizienten lassen sich nach Multiplikation mit q(x) durch Koeffizientenvergleich berechnen. Somit lässt sich die Stammfunktion von f im Allgemeinen leicht bestimmen. siehe Fichtenholz, Band, Kapitel VIII,.