Musterlösungen zu Blatt 14

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Clemens Fuhrmann
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1 Musterlösungen zu Blatt 4

2 Aufgabe 79 Sei F eine Stammfunktion von f (eistiert, da f stetig ist). Dann ist b() a() f(t)dt = F (b()) F (a()) nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Man verwendet die Kettenregel um abzuleiten und erhält d b() f(t)dt = f(b())b () f(a())a () d Aufgabe 8 a() f() =. Man substituiert = cos(t) und erhält das Integral (beachte cos() = ) d = tan(t) dt Mit dem Ansatz tan(t) = d dt tan()dt = + tan(t) dt = t + tan(t) dt erhält man eine Stammfunktion. Rücksubstituieren unter Verwendung von sin(arccos()) = liefert d = arccos() g() = +. Man substituiert = sinh(t) und erhält d = + sinh(t) dt Nun kann man leicht mit partieller Integration und der Identität cosh() sinh() = die Stammfunktion sinh(t) dt = cosh(t) sinh(t) t Man resubstituiert und verwendet cosh(arsinh()) = + und erhält schließlich g() = + arsinh() h() =. Mit dem Ansatz aus der Vorlesung formt man um: 6+ h()d = d d

3 Das erste Integral erhält man damit sofort d = ln( 6 + ) Für das zweite Integral schreibt man 6 + = ( ) + 4 und substituiert z =. Damit erhält man ein Integral, was man analog zur Vorlesung berechnet: 6 + d = z + 4 = ( z ) arctan Man resubstituiert und setzt alles zusammen und erhält h()d = ln( 6 + ) + ( ) arctan u() = cos(). Zunächst verwendet man cos() = cos(). Man versucht, die Funktion in einzelne Brüche zu unterteilen, deren Stammfunktion man leicht angeben kann. Dazu schreibt man = cos() + und unterteilt u() = + cos() ( cos() ) Wegen = cos() erhält man u() = = cos() + cos() ( cos() ) cos() + Nun berechnen wir zunächst die Stammfunktion des ersten Bruchs. Man substituiert cos() = u, dann ist d = du und man erhält cos() d = u du Nun führt man noch die Substitution z = u durch und erhält mit du = dz u du = z dz = artanh(z) wobei man letzteres Elementares Integral kennt. Beides resubstituieren liefert cos() d = artanh( cos()) Nun berechnen wir d = d = cos() Wir erkennen: cos() = ( cos())( + cos()). Man führt eine Partialbruchzerlegung durch (etwa durch Substitution u = cos()) und erhält cos() = + cos() + cos()

4 Die beiden letzten Brüche können leicht integriert werden: = ln( + cos()), = ln( cos()) + cos() cos() Setzt man schließlich alles zusammen, so erhält man cos() = ln( cos()) ln( + cos()) + artanh( cos()) v() = + ( +). Mit dem Ansatz d d ( + ) = ( + ) verwendet man partielle Integration und die aus der Vorlesung bekannte Stammfunktion: + ( + ) d = ( + ) ( + ) d = + ( + ) + + d = + ( + ) + arctan() Aufgabe 8 Wegen lim ln() = werden wir im Folgenden für f() = ln() stets stillschweigend f() = einsetzen. Zunächst berechnet man das Integral. Dabei stellt man fest, dass der erste Term der partiellen Integration in jedem Schritt verschwindet. Man erhält n ln() n = n + n+ n ln() n d = n n ln() n d n + = = n(n ) (n + ) =... n(n )(n ) (n + ) = ( ) n n! (n + ) n = ( ) n n! (n + ) n+ n ln() n d n ln() n d n ln()d 4

5 Nun verwenden wir die Reihenentwicklung der Eponentialfunktion: = e ln() = k ln() k Man berechnet das Integral, indem man Summe und Integral vertauscht und obige Formel verwendet: d = k= k! k ln() k d = k= k= k! ( ) k (k + ) k+ = Nun muss man nur noch rechtfertigen, warum man Summe und Integral vertauschen darf. Die stetige(!) Funktion f() = ln() nimmt auf dem abgeschlossen Intervall [, ] ihr Maimum an, sei M dieses Maimum. Dann ist k ln() k k! M k = e M k! k= Daher konvergiert die Reihe nach dem Weierstrass schen Majorantenkriterium gleichmäßig. 4 Aufgabe 8 f (k) n = k= n k ( + n ) Man erkennt leicht, dass für alle [, ] und für k =,, stets lim f (k) n () = da der Nenner wie n 4 wächst. Um die Folge auf gleichmäßige Konvergenz zu prüfen, berechnen wir die maimalen Funktionswerte (offenbar ist stets f n (k) ). Man leitet ab und erhält Die Nullstelle der Ableitung (im Intervall [, ]) ist d d f n (k) () = nk ( + n )( n ) ( + n ) 4 f (k) n ( ) n n = 6 und der Funktionswert ist Insbesondere sind für k = die Funktionswerte beschränkt durch Cn. Somit ist für k = die Konvergenz gleichmäßig. Für k = wird stets der Wert C > angenommen, dieser ist unabhängig von n, somit ist für k = die Konvergenz nicht gleichmäßig. Für k = erhält man sogar eine Folge n := C n mit f n ( n ), obwohl die Funktionenfolge punktweise gegen konvergiert. Somit ist auch für k = die Konvergenz nicht gleichmäßig. }{{} =:C n k 5

6 Für k = können wir aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz sofort schließen, dass lim f () n ()d = lim f () n ()d = Für k = und k = berechnet man eine Stammfunktion mit dem Ansatz d d ( + n ) = n ( + n ) Mit der Stammfunktion berechnet man für k = und k = die Integrale Somit ist für k = : lim f (k) n k n ()d = n + f n () n ()d = lim (n + ) = = lim f () n ()d obwohl die Konvergenz nicht gleichmäßig ist. Für k = erhält man allerdings lim f n () n ()d = lim (n + ) = lim f () n ()d Somit hat man ein Beispiel einer Funktionenfolge, die nicht gleichmäßig konvergiert, bei der man im einen Fall dennoch Integral und Limes vertauschen kann, im anderen Fall aber nicht. 5 Aufgabe 8 Es gilt: f() = e n sin(n) n= e n sin(n) n= Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert (geometrische Reihe). Nach dem Weierstrass schen Majorantenkriterium folgt, dass obige Reihe gleichmäßig auf ganz R konvergiert. Somit ist die Funktion f() auf ganz R definiert. Wir betrachten nun die Funktionenfolge der Ableitungen: n f n() = e n n cos(n) Es gilt k= n e n cos(n) n= n= e n n e n Die rechte Reihe konvergiert, daher konvergiert die Folge f n() gleichmäßig gegen die Funktion g() = n e n cos(n) Nach Satz, (4.) ist f differenzierbar mit stetiger Ableitung f () = g(). n= n= 6

7 6 Aufgabe 84 Auf dem Intervall [, b] mit b < konvergiert die Reihe gleichmäßig, da ( ) j j j= und die rechte Reihe konvergiert (geometrische Reihe). werden. Man erhält b + d = = j= j= b (b ) j j= Somit darf die Reihe termweise integriert ( ) j j d ( ) j b j+ 7

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