Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 46. Konvergenz und Werte von Reihen Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und geben Sie ihren Wert an, falls er eistiert. 7 k 3 k 3 (a (b (c 3 k+ 7 k/ (k +3 (3k +(3k +7 k Lösungshinweise hierzu: (a (b k k 7 k 3 k+ 3 k k4 ( k 7 9 Konvergent als geometrische Reihe mit q 7/9 < und Reihenwert k 3 k 7 k/ (k +3 k 3 7/9 3 k/ ( 9 7 }{{} >7/9 k n n 7 8 Bestimmt divergent gegen + mit harmonischer Reihe als Minorante. (c Der Ansatz 3 (3k+(3k+7 A 3k+ + B 3k+7 k4 3 (3k +(3k +7 führt auf k4 Betrachtet man nun die Partialsummenfolge S n n k4 ( 3k + 3(k ++ ( 3k +. 3(k ++ ( (n++ + 3n+ 3(n++ heben sich alle Terme bis auf die ersten beiden positiven und die letzten beiden negativen auf, und der Grenzübergang liefert als Reihenwert (/3 + /6/ 9/46. n n Aufgabe H 47. Parameterabhängige Reihe Seite

2 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe ( j a j j! a j j! j in Abhängigkeit von dem Parameter a R {}. Lösungshinweise hierzu: Für a > ist a a und somit ( j a j j! ( j a j j! [ ( j a j j! a j j! j! j Für a < gilt a a und ( j a j j! a j j! j j j ( j a j j! ( a j j! j j [ j! a j ]. ( j ]. a In beiden Fällen ist der erste Teil absolut konvergent (Eponentialreihe. Die Summe ist also wegen (.9.3 genau dann konvergent, wenn dies für den zweiten Teil gilt. Dies ist jeweils eine geometrische Reihe, die genau für /a <, also für a > konvergiert. Aufgabe H 48. Stetigkeit Gegeben sind die folgenden Funktionen f j : D j R, j {,}: + f (, 3+, f (, ,, (a Bestimmen Sie jeweils den maimalen Definitionsbereich D j R, für den die Abbildungsvorschrift sinnvoll ist. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und f. (b Finden Sie zu jedem < ε < ein δ > so, dass f (U δ ( D U ε (f (. (c Eistiert zu jedem ε > ein δ > so, dass f (U δ ( D U ε (f ( gilt? (d Ist die Funktion f stetig an der Stelle? Ist f stetig an der Stelle? Lösungshinweise hierzu: (a Das Schaubild von f Seite

3 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Das Schaubild von f Die Funktion f kann auf ganz R definiert werden, d.h. D R. Für f formt man Zähler und Nenner um: 3+ ( (, ( ( ( 3, und da eine gesonderte Vorschrift für eistiert, ist der maimale Definitionsbereich D R {,3}. (Die Funktion ist an zwar stetig fortsetzbar, aber dennoch nicht definiert. (b f (U δ ( D U ε (f ( gilt, wenn für alle -Werte, die weniger als δ von entfernt liegen der Abstand des Bildes f ( von f ( kleiner ε ist. Das δ muss also so klein gewählt werden, dass für jedes U δ ( D der Abstand f ( f ( < ε wird. Es ist für δ < und U δ ( f ( f ( 3 ( ( ( < δ δ, da ( δ,δ auf ( ( δ,+δ führt. δ Das δ muss also so gewählt werden, dass ε, d.h. δ ε/(+ε <. δ (c Weil für alle > f ( f ( f ( gilt, eistiert zu ε (,] kein δ > mit f (U δ ( D U ε (f (. (d Die ε-δ-definition der Stetigkeit liefert mit den vorigen beiden Aufgabenteilen: Die Funktion f ist nicht stetig an und f ist stetig an. Aufgabe H 49. Sierpiński-Dreieck Gegeben sei ein gleichseitiges weißes Dreieck der Seitenlänge (Schritt. Die Verbindungsstrecken der Seitenmittelpunkte bilden ein kleineres Dreieck, das schwarz eingefärbt wird (Schritt. Wiederholt man diesen Vorgang für alle nun vorhandenen weißen Dreiecke, so erhält man die unten abgebildete Folge geometrischer Figuren. Seite 3

4 5. Gruppenübung Höhere Mathematik (a Bestimmen Sie für n N die Anzahl der im n-ten Schritt neu entstehenden schwarzen Dreiecke sowie die Seitenlänge und den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks. (b GebenSiedieGesamtlänge L n allerseitenallernach n Schrittenvorhandenenschwarzen Dreiecke an und berechnen Sie den Grenzwert von L n für n. (c GebenSiedieGesamtfläche A n allernach n SchrittenvorhandenenschwarzenDreiecke an und berechnen Sie den Grenzwert von A n für n. Schritt Schritt Schritt Schritt 3 Lösungshinweise hierzu: Wir benutzen die bekannten Formeln 3 l 3s, h s und a sh 3 4 s für den Umfang l, die Höhe h und den Flächeninhalt a eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge s. Zur Vereinfachung setzen wir q : 4 3. (a Pro Schritt entstehen aus jedem weißen Dreieck drei weiße und ein schwarzes Dreieck, jeweils mit halber Seitenlänge. Ausgehend von einem weißen Dreieck mit Seitenlänge sind nach n Schritten insgesamt 3 n weiße Dreiecke mit Seitenlänge ( n vorhanden. Die Anzahl m n der im n ten Schritt neu entstehenden schwarzen Dreiecke ist gleich der Zahl der nach dem (n ten Schritt insgesamt vorhandenen weißen Dreiecke, also m n 3 n. Die neuen schwarzen Dreiecke haben die Seitenlänge s n ( n, und für ihren Umfang l n bzw. Flächeninhalt a n ergibt sich l n 3s n 3 ( n und a n qs n q ( n q ( 4 n. (b L n ist die Summe der Umfänge aller vom ersten bis zum n ten Schritt entstandenen schwarzen Dreiecke, d. h. n n n L n m l +m l +...+m n l n m j l j 3 j 3 ( j ( 3 j. Nach Lemma.9. konvergiert lim L n n nicht, da die Reihenglieder ( 3 j keine Nullfolge bilden. Da alle Reihenglieder positiv sind, ist L n bestimmt divergent gegen +. j j ( 3 j j j Seite 4

5 5. Gruppenübung Höhere Mathematik (c A n ist die Summe der Flächeninhalte aller vom ersten bis zum n ten Schritt entstandenen schwarzen Dreiecke, d. h. n n A n m a +m a +...+m n a n m j a j 3 j q ( n 4 j q ( j. Wegen 3 < folgt mit der Formel für die geometrische Reihe (Beispiel.8.4: 4 lim n A n q 3 j j ( ( ( 3 4 j q ( j ( 3 4 q 3 j j 3 4 Das ist gerade der Flächeninhalt des weißen Ausgangsdreiecks! j q Seite 5

6 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 5. Gegeben sei die Abbildung (a Ist f stetig? Einseitige Funktionsgrenzwerte f : R {,, 5} R: ( (b Zerlegen Sie Zähler und Nenner soweit wie möglich in Faktoren. (c Bestimmen Sie jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Lücken des Definitionsbereiches. An welchen Stellen ist f stetig ergänzbar? (d Skizzieren Sie den Graphen von f. Lösungshinweise hierzu: (a Nach Satz..3 sind die Polynomfunktionen f : R R: und f : R R: stetig. Da und 5 { + 5 für < 5 5 für 5 lim + 5 lim gilt, ist die Funktion B : R R: 5 ebenfalls stetig. Nach Satz..4 (. ist die Funktion N : R R: ( stetig. Da die Funktion N im gesamten Definitionsbereich von f nicht Null wird (siehe Teil (b, ist nach Satz..4 (3. die Funktion f stetig. (b Das Polynom X 4 5X 3 3X + 7X hat Nullstellen bei X, X und X 3 5. Polynomdivision ergibt X 4 5X 3 3X + 7X (X + (X 5(X. Das Polynom X 3 +3X 4 hat die Nullstellen X und X. Polynomdivision ergibt X 3 + 3X 4 (X (X +. Seite 6

7 6. Gruppenübung Höhere Mathematik (c bei : ( + ( 5( lim f( lim ( ( + 5 lim ( 5( ( + 5 lim f( lim + + ( + ( 5( ( ( + 5 lim + Hier ist f nicht stetig ergänzbar, da lim f( nicht eistiert. bei : ( 5( ( lim f( ( + ( 5( lim ( ( + 5 lim ( 5( ( + 5 lim f( + ( + ( 5( lim + ( ( + 5 lim ( 5( + ( + 5 Hier ist f stetig ergänzbar durch den Wert f(. bei 5: lim f( 5 ( + ( 5( lim 5 ( ( + 5 lim ( 5( 5 ( lim f( 5+ ( + ( 5( lim 5+ ( ( + 5 lim ( 5( 5+ ( Hier ist f nicht stetig ergänzbar, da lim 5 f( nicht eistiert. f( (d Seite 7

8 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 5. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie folgende Grenzwerte (ohne Verwendung der Regel von l Hospital, aber unter Verwendung der Stetigkeit der Wurzelfunktion. (a lim 3 (c lim (cos( 4 3 sin( + cos( (b lim (d lim sin( + ln(ln( + Lösungshinweise hierzu: (a lim lim 3 (b Vereinfachen wir zunächst wie folgt ( 3( ( 3( ( Um den Betrag aufzulösen, müssen wir zwischen dem links- und dem rechtsseitigen Limes unterscheiden, d.h. lim ( lim > 3 5 lim + ( lim < Ein Funktionsgrenzwert an der Stelle eistiert also nicht. (c Zunächst schätzen wir für > den Betrag wie folgt ab (cos( 4 3 sin( + cos( (cos(4 3 sin( + cos( (3 4 + ( 4 + 3(3 + + ( Seite 8

9 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Da gilt lim + können wir folgern, dass auch , (cos( 4 3 sin( + cos( lim (d gilt. lim (sin( + ln(ln( lim (ln(ln( + +, da der Logarithmus unbeschränkt und monoton ist. Aufgabe H 5. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion { ( sin π f : R R: für für. Ihr Computerplot ist rechts dargestellt. (a Berechnen Sie für die Folge (a n n N mit a n die Grenzwerte +4n lim a n und lim f(a n. n n (b Finden Sie eine Folge (b n n N mit lim b n sowie lim f(b n. n n (c Finden Sie eine Folge (c n n N mit lim c n so, dass (f(c n n N divergiert. n (d Ist f stetig im Punkt? Entscheiden Sie dies unter Verwendung von..3. Lösungshinweise hierzu: (a lim n + 4n lim n + 4n, Seite 9

10 6. Gruppenübung Höhere Mathematik lim f(a n lim n n sin π ( +4n ( π( + 4n lim sin n ( π lim sin n + πn ( π lim sin n (b Für die Folge (b n n N mit b n gilt 3+4n lim n 3 + 4n lim n 3 + 4n und (c Die Folge (c n n N mit lim f(b n lim n n sin lim n sin lim n sin lim n sin π ( 3+4n ( π(3 + 4n ( 3π + πn ( 3π { an für gerades n c n für ungerades n b n hat den Grenzwert lim c n, da sowohl die Teilfolge, die aus den Folgengliedern n mit geradem Inde besteht, als auch die Teilfolge, die aus den Folgengliedern mit ungeradem Inde besteht, gegen den Grenzwert konvergiert. Es gilt { für gerades n f(c n für ungerades n. Die Folge (f(c n n N nicht. hat also zwei verschiedene Häufungspunkte und konvergiert (d Die Funktion f ist unstetig im Punkt, da die gegen konvergierende Folge (a n n N die Bedingung lim f(a n f( nicht erfüllt, vergleiche Definition n Seite

11 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 53. Gleichheitsproblem (a Besitzt die Gleichung sin(+ mehrere reelle Lösungen? Lösungshinweise hierzu: Ja. Seien nämlich f( : R R : e (ln und g( : R R : sin(+. Mit ( π ( f( > g(, f π π < < +π g, f(π π > 3 > +π g(π hat die stetige (! Abbildung f g : R R mindestens zwei Vorzeichenwechsel und damit hat f g nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Nullstellen in R. (b Seien die folgenden Funktionen gegeben: f : (,+ R : ln( und g : R R : 4 +cos(+. Zeigen Sie, dass die Gleichung f( g( im Intervall (, + mindestens drei Lösungen hat. Sie dürfen dabei benutzen, dass ln auf R + stetig ist. Lösungshinweisehierzu: Wirzeigen,dassdiestetige(!Abbildung f g : (,+ R mindestens drei Vorzeichenwechsel hat. Es gilt lim f( < 4 lim g( und lim + + f( + > lim g(. An den Stelle π gilt An der Stelle π gilt f( ln(π > > π 4 g(. f( ln(π ( < < 4 π g(. Dabei gilt ( mit e > (,7 > 7 > π. Also haben wir: f( g( ist kleiner für nahe, größer für π, kleiner für π, größer für nahe bei mit anderen Worten: die stetige Abbildung f g : (,+ R hat mindestens drei Vorzeichenwechsel und damit nach dem Zwischenwertsatz auch mindestens drei Nullstellen, wie behauptet. Aufgabe H 54. Umkehrfunktionen Gegeben sind die Mengen M R {,, } und N R {} und die Funktionen f: M N:, g: N M: Seite

12 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (a Berechnen Sie f(g(. Ist g die Umkehrfunktion von f? Lösungshinweise hierzu: Es gilt + f(g( ( ( Nein! Es reicht nicht zu zeigen, dass f(g( für alle N gilt. Wie in Definition.3.7festgelegt,mussmanebenfallsüberprüfen,dass g(f( füralle M ist. EsgiltbeispielsweiseanderStelle : g(f( g( (b GebenSieTeilmengen Ñ N und M M soan,dassdiejeweiligeneinschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander sind. Lösungshinweise hierzu: Es gilt g(f( + ( ( ( + Schränktmanalso f auf M { R >, } M einund g auf Ñ N, so sind die jeweiligen Einschränkungen von f und g Umkehrfunktionen voneinander. Denn es gilt für > (c Bestimmen Sie lim + g(. Lösungshinweise hierzu: Es gilt g(f( lim g( lim lim + lim + lim lim ( ( (d Skizzieren Sie die Graphen von f und g und markieren Sie die Graphen der Einschränkungen aus (b. Lösungshinweise hierzu: Wir bezeichnen die Einschränkung von f auf M mit q: M R:. Dann sind im linken Bild die Funktionen f und g zu sehen und im rechten Bild ist die Einschränkung q in grün dargestellt. Seite

13 7. Gruppenübung Höhere Mathematik 5 4 f( g( 5 4 f( g( q( Aufgabe H 55. Potenzreihen Geben Sie für die folgenden Potenzreihen die Koeffizienten a j und den Entwicklungspunkt z für die Darstellung in der Form von Definition.4. an. Bestimmen Sie den Konvergenzradius. Geben Sie an, für welche z R die Reihen konvergieren: (a (c n n ( nz n( z n n+ (b (n! (z +3 i n (d n! n! (n zn n n3 ( 5 (z 6iz 9 Lösungshinweise hierzu: Eine Potenzreihe hat nach Definition.4. die Darstellung a j (z z j, d.h. die Reihen müssen entsprechend umgeformt werden. (a ( nz n( z n+ ( n n n n j n (z n+ Somit ist z und a j ( n für j n+,n N und sonst a n j. j Da lim j aj lim n+ n /n ist der Konvergenzradius. Gesonderte Randbetrachtung: Sowohl für als auch für ergibt sich die alternierende harmonische Reihe. Die Reihe ist also für die Randpunkte konvergent und das reelle Konvergenzintervall ist [, ]. (b Die Reihe muss nicht umgeformt werden. Es ist z, a und a j j!,j >. (j Die Quotienten der Koeffizientenfolge sind a j+ (j +! (j a j j + (j+ j! j + j+ j } {{ j+ } und somit ist der Konvergenzradius und die Folge auf ganz R konvergent. n Seite 3

14 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (c (d n (n! (z +3 i n n! n Somit ist a, a j (j!,j > und z j! 3+ i. Mit dem Quotientenkriterium folgt aus a n+ a n ((n+! (n+! n! (n! (n+(n+ n+ (n! (z ( 3+ i n n! 4n+ +, der Konvergenzradius und es gibt kein z R, für das die Reihe konvergiert. n3 lim j ( n 5 (z 6iz 9 n3 3in 5n(z Hier ist also z 3i und a j 5 j für j 6,8,... und sonst a j. Mit dem Wurzelkriterium folgt aus j a j lim n a n lim /5 /5 n n der Konvergenzradius 5. Gesonderte Randbetrachtung: Der Kreis um 3i mit Radius 5 schneidet die reelle Achse bei 4 und 4, und für beide Werte haben dann alle Reihenglieder den Betrag, bilden also keine Nullfolge. Das reelle Konvergenzintervall ist somit ( 4, 4. Aufgabe H 56. Potenzreihen? Gegeben sind die Reihen f(z k (z z + k und g(z k (a Bestimmen Sie die Reihenwerte f(,f(,g(,g(. k (z z k. k (b Bestätigen Sie mit Hilfe der Dreiecksungleichung, dass für zwei Punkte a und b in einem Kreis auch deren Mittelpunkt (a + b/ im selben Kreis liegt: a,b,z C, r R + : a U r (z b U r (z a+b U r (z. (c Formen Sie f(z in eine Potenzreihe um. Begründen Sie mit Hilfe der ersten beiden Aufgabenteile, warum f( konvergiert, ohne die Reihe selbst zu untersuchen. (d Überprüfen Sie, dass g( nicht konvergiert. Begründen Sie damit und mit den ersten beiden Aufgabenteilen, dass sich g(z nicht in eine Potenzreihe umformen lässt. Lösungshinweise hierzu: (a Es ist f( f( (/ k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist /( /. k Des weiteren ist g( g( ( / k und der Grenzwert dieser geometrischen Reihe ist /(+/ /3. k Seite 4

15 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (b Mit der Dreiecksungleichung folgt a+b z a z + b z a z + b z a z + b z < r +r r. (c Der Mittelpunkt (a+b/ hat somit einen Abstand von z der kleiner als r ist, liegt also im Kreis. f(z k k (z z + k k k (z k. Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da ( + /, liegt im Kreis der auch und enthält, und da f dort konvergiert, muss es dies auch an tun. (Da, und auf einer Geraden liegen, können Sie nicht alle auf dem Rand des Kreises liegen. D.h. auch wenn und Kreisrandpunkte sind, ist im Kreisinneren. (d Setzt man in g ein ergibt sich ( k und diese Reihe konvergiert nicht (keine k Nullfolge. Potenzreihen haben einen Konvergenzkreis. Da (+/ liegt in jedem Kreis der auch und enthält. Da g an und konvergiert, nicht aber an, kann es keinen Konvergenzkreis geben und somit ist g keine Potenzreihe. Seite 5

16 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 57. Ableitungen Gegeben seien die Funktionen f: R + R: cosh(, g: R + R: ( /3 und h: R { } R: ln. (a Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. (b Bestimmen Sie jeweils die erste und die zweite Ableitung. Geben Sie den Definitionsbereich dieser Ableitungsfunktionen an. (c Leiten Sie durch vollständige Induktion eine allgemeine Formel für h (n ( her. Lösungshinweise hierzu: (a Graphen der Funktionen f, g und h auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich: f 3 g 3 h Seite 6

17 8. Gruppenübung Höhere Mathematik (b Für f erhält man mit der Produktregel und der Quotientenregel: f ( sinh+ cosh sinh+cosh und (cosh+3sinh sinh+cosh f ( 4 (4 cosh+4sinh 4, für alle R +. Wegen lim + f ( + muss der Punkt ausgeschlossen werden. Aus der Darstellung g( e 3 ln( folgt mit der Kettenregel und der Produktregel: g ( e ln(( 3 ln(+ ( 3 3 ( /3 }{{} + ln(, 3 3 g( g ( g( 3 +g ( ( ln( ( /3 [ +( ln( ], für alle R +. Für h ergibt sich mit der Kettenregel und der Quotientenregel: h ( und h 4 ( (, für alle R {}. (c Mit der Quotientenregel folgt weiter: h 6 ( (, 3 96 h(4 ( (,... 4 Vermutung: h (n ( (n!n ( n. Beweis durch vollständige Induktion: IA Für n ist h ( ( h (! ( IS Ist h (n ( (n!n ( n wahr, so liefert die Quotientenregel: h (n+ ( ( n (n! n n( n ( ( n n!n+ ( n+ Aufgabe H 58. Potenzreihen Seite 7

18 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Sei f: [,+ R: 4 +. Geben Sie mit Hilfe von.4.6 eine Potenzreihe für f auf (, an. Geben Sie die Partialsummen S, S, S und S 3 der Potenzreihe an. Zeichnen Sie die Graphen von f, S, S und S 3 auf [,] in ein Schaubild. Lösungshinweise hierzu: Nach.4.6 gilt für (, 4 ( + (+ 4 4 n. n Die ersten Partialsummen sind S S S S 3 ( 4 n ( 4 n ( 4 n 3 n n n ( n 4 n n + n 4 n ( 4 n n Aufgabe H 59. Differenzierbarkeit Seite 8

19 8. Gruppenübung Höhere Mathematik (a Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen {, für f : R R :, für < g : R R : +. und (b Untersuchen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten, ob f an der Stelle und g an den Stellen und differenzierbar ist. (c Finden Sie ein Polynom p so, dass die Funktion { ln(+ h: R R: für p( für > zweimal differenzierbar, aber nicht dreimal differenzierbar ist. Lösungshinweise hierzu: (a Graphen der Funktionen f und g : f g - Zum Zeichnen von g verwendet man die betragsfreie Darstellung +, für g( +, für < +, für > (b Für den Differenzenquotienten von f bei gilt f( f( lim + lim + lim Seite 9

20 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Da kein endlicher rechtsseitiger Grenzwert vorliegt, eistiert auch f ( lim f( f( nicht, d.h. f ist bei nicht differenzierbar. Im Fall der Funktion g ergibt sich: g( g( lim + g( g( lim ( + lim + ( + lim lim (, + lim (, d.h. g ist bei differenzierbar mit g ( lim g( g(. An der Stelle ist g nicht differenzierbar, denn es gilt: g( g( lim + g( g( lim ( + lim + ( + lim lim (+ 3, + lim. (c Wir berechnen zunächst die Ableitungen der Funktion Das ergibt l: (,] R: ln(+. l : (,] R: + l : (,] R: 4 (+ l : (,] R: 63 (+ 3 (+ Für p wählen wir ein Polynom vom Grad (es wird sich am Ende der Rechnung herausstellen, dass das genügt. Um die Rechnung einfacher zu gestalten, setzen wir mit p( a( +b( +c an. Damit die Funktion h stetig ist (diese Eigenschaft muss erfüllt sein, damit h differenzierbar werden kann, muss gelten. Daraus erhalten wir die Bedingung lim h( lim h( + lim ln( + lim + a( +b( +c Seite

21 8. Gruppenübung Höhere Mathematik und daraus c ln(3. Nun wollen wir mit Hilfe des Differenzenquotienten an der Stelle dafür sorgen, dass h differenzierbar ist. Dafür soll gelten Wir erhalten ln(+ ln(3 lim h( h( lim h( h( lim. + a( +b( lim + Da die Funktion l differenzierbar und die Funktion l stetig ist, gilt ln(+ ln(3 lim l ( 3 und wir erhalten b. Damit hat h die Ableitung 3 h für : R R: + a( + für > 3 lim (a( +b b. + Damit h zweimal differenzierbar wird, betrachten wir den Differenzenquotienten von h an der Stelle. Also ergibt sich und h ( h ( lim lim + 3 h ( h ( lim + l ( a 9 a a( + lim p( ln(3+ 3 ( + 9 ( ln( h : R R: 4 für (+ für > 9 Diese Funktion h ist an der Stelle nicht differenzierbar, denn und sind verschieden. h ( h ( lim h ( h ( lim + l ( 7. Seite

22 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H6. Formel von Euler und de Moivre (a Schreiben Sie f( (sin( (cos( 3 als Linearkombination von Funktionen der Form sin(m und cos(n, mit m, n N. (b SchreibenSie g( sin(4 alslinearkombinationvontermenderform (sin( j (cos( k, mit j, k N. (c Leiten Sie die folgenden Formeln her: cos(cos(y cos(+y + cos( y und ( +y ( y cos(+cos(y cos cos, für alle,y R. Lösungshinweise hierzu: (a Nach Einsetzen der Formeln aus (.4.8, sin( i (ei e i und cos( (ei +e i, folgt mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes (sin( 4 (ei e i 4 (ei +e i (cos( 3 8 (ei +e i 3 8 (e3i +3e i +3e i +e 3i. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert (sin( (cos( 3 3 (ei +e i (e 3i +3e i +3e i +e 3i und 3 ( ei e i +e 3i +e 3i +e 5i +e 5i 8 cos( 6 cos(3 6 cos(5. (b Wir schreiben sin(4 Im[cos(4+isin(4] Im(e 4i und erhalten wegen e 4i (e i 4 (cos(+isin( 4 (cos( 4 +4i(cos( 3 sin( 6(cos( (sin( 4icos((sin( 3 +(sin( 4 die Formel sin(4 4sin((cos( 3 4(sin( 3 cos(. Diese Darstellung ist nicht eindeutig; beispielsweise kann sin((cos( 3 durch sin(cos(( (sin( sin(cos( (sin( 3 cos( ersetzt oder der gesamte Term mit (sin( +(cos( multipliziert werden. Seite

23 8. Gruppenübung Höhere Mathematik (c Mit cos( (ei +e i und cos(y (eiy +e iy ergibt sich cos(cos(y 4 (ei +e i (e iy +e iy [ e i(+y +e i( y +e i( +y +e i( y] 4 ei(+y +e i(+y 4 + ei( y +e i( y 4 Die zweite Formel folgt aus der ersten, denn es ist ( +y ( y cos cos [ cos( +y + y cos(+cos(y. cos(+y + cos(+y y + cos( y ]. Seite 3

24 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Gegeben ist die Funktion tanh: R R: sinh( cosh(. (a Bestimmen Sie die Ableitung von tanh. Untersuchen Sie tanh auf Nullstellen, Etremalstellen und Monotonie. Bestimmen Sie lim tanh( und lim tanh(. Skizzieren Sie den Graphen von tanh und geben Sie den Wertebereich + an. Lösungshinweise hierzu: Bezüglich der Ableitung gilt: tanh ( (cosh( (sinh( Beispiel.3.3 (cosh( (cosh( >. Etremalstellen gibt es daher nach Lemma.4. keine, da tanh ( >, R. Wegen Satz.4.8 ist tanh auf ganz R streng monoton steigend. Bezüglich der Nullstellen gilt: tanh( sinh( (e e e e. Bezüglich der Grenzwerte gilt tanh( sinh( cosh( e e e +e e e + e + und damit lim tanh( lim + + e + bzw. lim tanh( lim e +. Der Wertebereich ist W tanh { R < < }. (b Es ist artanh definiert als die Umkehrfunktion von tanh. Skizzieren Sie den Graphen von artanh und geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich an. Begründen Sie, dass Satz.3. anwendbar ist, und berechnen Sie damit die Ableitung von artanh. Lösungshinweise hierzu: Der Definitionsbereich von artanh ist der Wertebereich von tanh, also D artanh W tanh { R < < }. Genauso ist der Wertebereich von artanh der Definitionsbereich von tanh also W artanh D tanh R. Zur Anwendbarkeit von Satz.3.: Nach (a ist tanh streng monoton und stetig, an jeder Stelle differenzierbar mit Ableitung ungleich. Somit ist der Satz anwendbar und für die Ableitung gilt mit y tanh( : d dy artanh(y yy tanh ( (tanh( y. Seite 4

25 9. Gruppenübung Höhere Mathematik tanh artanh (c Beweisen Sie: artanh( ( + ln. Hinweis: Satz.4.6 aus der Vorlesung kann dabei helfen. Lösungshinweise hierzu: Mit dem (b-teil gilt und wir berechnen: ( d d ln Nach Satz.4.6 gilt dann artanh ( ( + ( +(+ ( + +( (+(. artanh( ( + ln +c. Setzt man in diese Identität ein, so folgt c ( + ln +c arsinh( und damit ist artanh( ln( + bewiesen. Seite 5

26 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 6. Monotonie und Mittelwertsatz (a Zeigen Sie, dass für R + {} gilt: < ln( <. Skizzieren Sie die Graphen dieser drei Funktionen in ein Koordinatensystem. Lösungshinweise hierzu: Zunächst stellen wir fest, dass für alle drei Funktionen den Wert annehmen. Betrachten wir nun die Ableitungen der Funktionen, so erhalten wir > >, für < <, sowie < <, für >. Mit Hilfe der Kennzeichnung monotoner Funktionen folgern wir nun, dass die Differenzfunktion ln( für < monoton fällt und für > monoton steigt. Da die Differenz an der Stelle gerade ist, ist die Differenzfunktion ln( also für alle R + {} positiv. Damit haben wir die erste Ungleichung gezeigt. Analog dazu gilt für die Differenzfunktion ( ln(, dass diese für < monoton fällt und für > monoton steigt. Wiederrum gilt somit die Ungleichung, da die Differenz an der Stelle gerade ist ln (b Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für,y R + gilt: cos ( e cos ( e y y. Begründen Sie außerdem, dass Gleichheit nur für y gilt. Lösungshinweise hierzu: Wir betrachten die Funktion f: R R: cos(e. Mit dem Mittelwertsatz folgt, dass ein ξ [,y] eistiert, so dass cos(e cos(e y y f (ξ Seite 6

27 9. Gruppenübung Höhere Mathematik gilt. Einsetzen der Ableitung der Funktion f und durchmultiplizieren mit ( y liefert die Gleichheit cos ( e cos ( e y ( y( e ξ ( sin(e ξ. Diese Gleichheit liefert insbesondere die Gleichheit der Beträge cos ( e cos ( e y y e ξ sin(e ξ. Da für ξ R + gilt, dass e ξ und sin(e ξ ist, gilt die behauptete Ungleichung cos ( e cos ( e y y. Gleichheit kann hier nur in zwei Fällen gelten: Zum Einen, wenn y ist, was gerade bedeutet, dass y ist. Zum Anderen, wenn e ξ sin(e ξ ist, was aber für R + niemals erfüllt ist. Aufgabe H 63. Funktionsgrenzwerte und Regel von l Hospital Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (sin( (a lim sin( Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher erhalten wir durch mehrfaches Anwenden der Regel von l Hospital: e (b lim + (e (sin( lim sin( lim cos( sin( cos( cos(sin( lim cos( lim (cos( (sin( cos( sin( Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher erhalten wir durch mehrfaches Anwenden der Regel von l Hospital: lim + e (e lim e + e + e (e + lim + lim + e + e Seite 7

28 9. Gruppenübung Höhere Mathematik ( (c lim ln(+ Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher formen wir diesen zunächst in einen Bruch um. Anschließend kann die Regel von l Hospital angewandt werden: lim ( sin( (d lim 3 ( lim ln(+ ln(+ ln(+ lim + ln(++ + lim lim (+ln(++ ln( Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist ebenfalls von der Form, daher formen wir diesen zunächst in einen Bruch um. Anschließend kann die Regel von l Hospital angewandt werden: lim ( sin( 3 sin( lim lim lim lim 6 3 cos( 3 sin( 6 cos( 6 Seite 8

29 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 64. Etremwerte Das graue Dreieck wird durch die y-achse sowie durch die Tangente und Normale an den Graphen der Funktion f: R R: 4 im Punkt P begrenzt. Bestimmen Sie y und y in Abhängigkeit von der - Koordinate von P. Für welches min > wird der Flächeninhalt F des Dreiecks am kleinsten, und wie groß ist der minimale Wert F min? y y P Lösungshinweise hierzu: Die Steigung der Tangente bzw. Normale in Punkt P (, y ist 4 3 bzw. 43. Folglich ist ỹ eine Gleichung für die Tangente und y +4 3 ( ỹ y + 4 3( eine Gleichung für die Normale. Verwendet man y 4 und setzt jeweils in die Gleichungen ein, erhält man als Schnittpunkte y ( 3 4, y ( Der Flächeninhalt des grauen Dreiecks ist Aus F( (y y ( F ( 4 8 folgt 6 /8 (,487 als einzige positive Nullstelle der Ableitung. Da F( + für oder +, muss an ein Minimum vorliegen, und der zugehörige Flächeninhalt ist F min ( (,34. Seite 9

30 . Gruppenübung Höhere Mathematik Dass dieses Minimum global ist, begründet sich wie folgt: da F ( auf (, und (, keine Nullstellen hat, ist F( auf diesen Intervallen streng monoton. Da lim F( + + musssieauf (, fallen.entsprechendmusssieauf (,+ steigen,da lim F( +. Daher ist F( F( für alle R + und somit liegt an ein globales Minimum vor. Aufgabe H 65. Taylorpolynom Sei f: R R : cosh(. (a Bestimmen Sie das Taylorpolynom T 4 (f,,, R. Lösungshinweise hierzu: Um das Taylorpolynom 4. Stufe samt Restglied angeben zu können, brauchen wir die ersten fünf Ableitungen von f. f ( f ( f (5 ( sinh(, f ( f (4 ( cosh( Das gesuchte Taylorpolynom 4. Stufe lautet dann wie folgt: T 4 (f,, 4 k f (k ( k f( +f ( ( + f ( ( k! + f ( ( 3 + f(4 ( ( cosh( (+ ( + ( 4 +sinh( (( + ( (b Skizzieren Sie die Graphen von f( und T 4 (f,, in ein Koordinatensystem. Lösungshinweise hierzu: Für ist cosh( und sinh( und Somit T 4 (f,, y 4. f T (c Berechnen Sie T 4 (f,,. Verwenden Sie das Restglied R 4 (f,,, um eine Schranke für den Fehler f( T 4 (f,, zu erhalten. Seite 3

31 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: Eine mögliche Näherung für cosh ist gegeben durch T 4 (f,,. T 4 (f,, +/+/4 37/4. Das Restglied R 4 lautet R 4 ( f(5 (ξ 5 sinh(ξ 5! 5, wobei ξ [,]. Wir wählen nun und erhalten mit sinh(ξ < sinh( < 3/ und eine mögliche Restgliedabschätzung durch R 4 ( 8. Der Fehler f( T 4 (f,, ist also kleiner als,5. (d Bestimmen Sie die Potenzreihe von f unter Verwendung der Eponentialreihe. Lösungshinweise hierzu: die Potenzreihe der Eponentialreihe ist e k k k! Da cosh( (e +e / ist ergibt sich cosh( ( k k! + ( k k! k +( k k k k! n n (n! Aufgabe H 66. Partielle Integration (a Leiten Sie durch partielle Integration eine Stammfunktion für f : (,+ R : 3 ln( her. (b Leiten Sie durch partielle Integration eine Stammfunktion für f : R R : 3 arctan( her. (c Berechnen Sie die Integrale (ln( 3 d und π (cos( d. Lösungshinweise hierzu: Seite 3

32 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a Mit u ( 3 und v( ln( ergibt sich 3 ln( d u (v( d [u(v(] [ ] 4 4 ln( [ ] 4 4 ln( u(v ( d 4 4 [ ] d 4 4 ln( 4 [ ] [ ln( ] d (b Mit u ( 3 und v( arctan( ergibt sich mittels Polynomdivision 3 arctan(d [ 4 4 arctan(] 4 [ 4 4 arctan(] 4 4 d + ( ( ++ d + [ 4 4 arctan(] 4 + d + [ 4 4 arctan( 3 + arctan(]. 4 4 (c Linkes Integral: Mit partieller Integration wird unter Verwendung von P 68 (a (ln( 3 d (ln( 3 d [(ln( 3 ] 3(ln( d [(ln( 3 ] 3 (ln( d [(ln( 3 ] 3[(ln( ]+3 ln( d [(ln( 3 ] 3[(ln( ]+6[ln( ] [(ln( 3 3(ln( +6ln( 6]. Also wird (ln( 3 d (ln( 3 6(ln( +ln( 6. Rechtes Integral: Partielle Integration mit u ( cos( und v( cos( liefert π (cos( d π π u (v( d [u(v(] π u(v ( d [cos( sin(] π }{{} π sin((cos( sin( d, also π π (cos( d π sin((cos( sin( d sin( cos( d + π (sin( d. Seite 3

33 . Gruppenübung Höhere Mathematik Mit der Stammfunktion sin( cos( d [ ] (sin( aus Beispiel 3..4 sowie der Darstellung (sin( (cos( folgt dann π Also ist letztlich (cos( d [ (sin(] π + }{{} π π d (cos( d π π π ( (cos( d (cos( d. d π 4. Aufgabe H 67. Integrationsformel Beweisen Sie, dass für jede differenzierbare Funktion f die Formel f(f ( [ ] d +(f( +(f( gilt, und berechnen Sie hiermit die Integrale π/ sin( d und +(cos( ( +e d. + e Lösungshinweise hierzu: Durch Ableiten der rechten Seite mit der Kettenregel erhält man d +(f( d +(f( d d (f( +(f( f(f (, d.h. G( +(f( ist eine Stammfunktion von g( f(f ( +(f(. Für f( cos( ist f(f ( +(f( cos( sin( +(cos( sin( +(cos(, also π/ sin( [ d +(cos( +(cos( Für f( e ergibt sich f(f ( +(f( ] π/ e (e +e + e (. ( +e + e, und damit ( +e [ ] + e d + e +e +e e e +e. Seite 33

34 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 68. Integration durch Substitution Berechnen Sie die folgenden Integrale. (arctan( 3 (a d + Lösungshinweise hierzu: Substitution t arctan(, d t d +. (arctan( 3 d + t 3dt d d t 3 dt [ ] 4 t4 [ ] 4 arctan(4 (b ln( e ( e d Lösungshinweise hierzu: Substitution t e, dt d e. ln( e ( e d ln( t t t e e ( e d e ( tdt d d e ( t dt t (c sin(ln(d [ e t ] e +e e e Seite 34

35 . Gruppenübung Höhere Mathematik d t Lösungshinweise hierzu: Substitution t ln(,, d t et. sin(ln(d sin(t e t dt [ e t cos(t]+ e t cos(tdt [ e t cos(t]+[e t sin(t] e t sin(tdt Damit folgt sin(ln(d [ et cos(t+e t sin(t] [ cos(ln(+ sin(ln(] [sin(ln( cos(ln(] (d d Lösungshinweise hierzu: Substitution sin(t, d cos(t. dt d sin(t (sin(t cos(tdt sin(tcos(t dt cos(t sin(tdt [ cos(t] [ cos(arcsin(] [ (sin(arcsin( ] [ ] Aufgabe H 69. Partialbruchzerlegung Berechnen Sie die folgenden Integrale. (a d (b d (c ( ++5 d Seite 35

36 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: (a Wir berechnen zunächst die Nullstellen des Nenners. Dazu substituieren wir u und erhalten die Gleichung u + 8u + 5. Diese Gleichung hat die Lösungen u 3 und u 5. Das Polynom lässt sich also zu u +8u+5 (u+3(u+5 ( +3( +5 faktorisieren. Der Ansatz zur Partialbruchzerlegung lautet demnach (nach 3.4.5: Daraus ergibt sich A+B +3 + C +D +5. und das Gleichungssystem (B +D 3 +(A+C +(5B +3D+5A+3C B +D A+C 5B +3D 5A+3C. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist A 3, B C 5 D und wir erhalten mit der Formel aus d d [ 3 ( 3 arctan [ ( 5 arctan 5 (b Polynomdivision ergibt ( 5 arctan ( ]. 3 arctan ] 5 Das Polynom hat eine dreifache Nullstelle bei und eine (einfache Nullstelle bei. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet also (+ 3 (+ A + + B C d (+ + ( Seite 36

37 . Gruppenübung Höhere Mathematik Wir erhalten und daraus A(+ (++B(+(++C(++D(+ 3 Das ergibt d A, B C D. + + (+ + (+ 3 + d [ +ln + + ] + (+ ln + (c Nach der Formel aus gilt (( 4 ( ++5 d [ ] 4 u + du+ u (u + [ ] 8 arctan(u+ u (u + [ ( + 6 arctan + ] Aufgabe H 7. Universalsubstitution Berechnen Sie die folgenden Integrale. (a cos(+sin( d (b cos((+sin( d Lösungshinweise hierzu: (a cos(+sin( d u +u + u +u u u du (u+ +u du (u du [ ln u+ ln u ] ] [ ( tan ln + ( ln tan ] Seite 37

38 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b cos(+sin( d ( u + u +u du +u +u (+u ( u (+u du +u ( u(+u du 3 u + u+ + (u+ + (u+ du [ 3 ln u + ln u+ ] u+ (u+ [ ( tan ln + ( tan ln + ] tan ( ( ( + tan + Aufgabe H7. Formel von Euler und de Moivre (a Berechnen Sie das folgende Integral. (sin( (cos( 3 d Hinweis: vergleiche Aufgabe H 6. (b Für m, n N sei f: R R: (sin( 3 (cos( 4, s m : R R: sin(m, c n : R R: cos(n. Schreiben Sie f als Linearkombination der Funktionen c,s,c,s,c,... (c Berechnen Sie das folgende Integral. (sin( 3 (cos( 4 d Lösungshinweise hierzu: (a (sin( (cos( 3 d 8 cos( 6 cos(3 cos(5 d 6 [ 8 sin( 48 sin(3 ] 8 sin(5 Seite 38

39 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b (sin( 3 (cos( 4 ( ( e i e i 3( ( e i +e i 4 i i i 8 e7i i 8 e 7i + i 8 e5i i 8 e 5i 3i 8 e3i + 3i 8 e 3i 3i 8 ei + 3i 8 e i 64 sin(7 64 sin( sin( sin( (c (sin( 3 (cos( 4 d 64 sin(7 64 sin( sin(3+ 3 sin( d 64 [ 488 cos(7+ 3 cos(5 3 9 cos(3 3 ] 9 cos( Seite 39

40 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren, und berechnen Sie gegebenenfalls deren Werte. (a π π sin( d (b 3 + d (c π sin( cos( + d (d + 3t +t 6 dt Lösungshinweise hierzu: (a Der Integrand /sin( ist nicht definiert in π, und π. Zur Konvergenzuntersuchung unterteilen wir das Integral also wie folgt. π π sin( d π π sin( d+ π sin( d+ π π sin( d+ π sin( d. Das fragliche Integral konvergiert genau dann, wenn alle vier Teilintegrale konvergieren. Dies ist aber nicht der Fall. Wir wollen uns von der Divergenz von d über- sin( zeugen. Es gilt lim + sin( lim + sin( Nach dem Grenzwertkriterium 3.7. konvergiert also π d konvergiert. Das ist nicht der Fall, denn π π d lim a + [ln ]π a + π d genau dann, wenn sin( Alternative Lösung: Mit der Universalsubstitution aus Aufgabe P 73 gilt +(u( sin( d u( +(u( du [ u( du ln tan ( ]. Seite 4

41 . Gruppenübung Höhere Mathematik Wir betrachten: π π [ d lim ln sin( a π ( ] a tan ( tan a ( ln tan π lim ln a π ( ( 4 a lim ln tan. a π π Dieser Grenzwert eistiert nicht, da dort tan gegen + strebt. (b Zuerst teilen wir das Integral auf, um den Betrag weglassen zu können, und erhalten + d (+ d+ + d. 3 3 Nun berechnen wir die beiden Integrale getrennt: 3 (+ d lim a a 3 d lim + a + a Insgesamt erhalten wir 3 [ d lim ] a (+, (+ a 3 [ lim ] +. + a + a + d + 4. (c Wir integrieren zuerst unbestimmt die einzelnen Integrale. Es folgt d [ln ] [ ln ( ] und mit der Substitution u cos( folgt weiter sin( sin( cos( d du [ln(u] [ln cos( ]. u sin( Zusammen ergibt sich sin( cos( + [ d ln ] cos(. Seite 4

42 . Gruppenübung Höhere Mathematik Wir berechnen π sin( cos( + π sin( d lim a + cos( + d a [ ] lim ln π [ ( ] π a + cos( lim ln a + a cos( a ( ( π ln lim cos(π ln a a + cos(a ( ( π a ln ln lim. a + cos(a Für den zweiten Term ergibt sich mit der Regel von l Hospital lim a + Gesamt ergibt sich π a cos(a lim a + sin( cos( + d ln Bemerkung zum Grenzwert: Eine Alternative, wie man lim cos(a a a + a sin(a lim a + cos(a. ( ( π π ln( ln 4. a cos(a bestimmen kann, wäre den Grenzwert von zu bestimmen, indem man die Taylorreihe von cos(a verwendet. Denn es ist cos(a a + 4! a4..., womit cos(a a 4! a +... ist und für a gegen lediglich / als Grenzwert verbleibt. (d Mit der Substitution t 3 u gilt 3t +t dt 3t 6 +u 3t du Mit der Achsensymmetrie der Funktion ergibt sich + 3t +t 6 dt + 3t dt lim +t6 a + a +u du [ arctan(t 3 ]. 3t [ dt lim +t6 arctan(t 3 ] a π. a + Aufgabe H 73. Uneigentliche Integrale Untersuchen Sie die folgenden Integrale auf Konvergenz: + sin( cos( ( (a d (b d (c e 4 + Lösungshinweise hierzu: d (d d ( Seite 4

43 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a Es ist sin( cos( e + e im Intervall [,+ und das Integral d konver- e giert nach Beispiel Somit ist + sin( cos( e d nach dem Majorantenkriterium absolut konvergent. Achtung: Das Grenzwertkriterium ist hier nicht anwendbar, da die Funktion wegen sin( cos( nicht positiv ist auf dem Intervall! (b Wir definieren Dann gilt lim g: R R:. g( ( +/( 4 + lim + +. Da g( und ( auf dem Intervall [, positiv und stetig sind, hat nach Satz ( d dasselbe Konvergenzverhalten wie 4 + Aber nach Beispiel divergiert divergiert. (c Wir teilen das Integral auf und erhalten d Das Integral konvergiert nicht, denn d lim 8 + a + a lim a + a d d Alternativlösung mit Grenzwertkriterium: d, womit auch d lim d lim a + a + d d. a d [ lna ] +. Eswird wiederdasintegralaufgeteilt und eswirdnur der Summand betrachtet. Wir definieren g: R R:. + ( 4 + d d Seite 43

44 . Gruppenübung Höhere Mathematik Dann gilt lim + Da g( und Satz 3.7. Aber es gilt + g( ( 3 +3/( 4 +/ 8 lim 3 +/ auf dem Intervall [,+ positiv und stetig sind, hat nach d dasselbe Konvergenzverhalten wie d. + d lim a + [ln(]a lim ln(a +. a + Damit divergiert auch das ursprüngliche Integral d. (d Wir bestimmen zuerst die Nullstellen von. Diese sind, ±. Damit teilen wir das Integral auf + Das Integral ( + 3 d + + ( + 3 d+ + + ( + 3 d. d konvergiert(satz3.5.5,weildiefunktion ( + 3 ( + 3 stetig ist auf dem Intervall [,+ ]. Wir bemerken, dass ( + 3 ist auf dem Intervall [+,+. Weiterhin gilt für > Das Integral + + ( + 3 d konvergiert, denn es gilt 4 + a lim a d lim 4 a + ] a [ (+ 3. Mit Hilfe des Majoranten-Kriteriums erhalten wir die Konvergenz des Integrals + + d. Insgesamt konvergiert auch d. ( + 3 ( Seite 44

45 . Gruppenübung Höhere Mathematik Alternativlösung mit Grenzwertkriterium: EswirdwiederdasIntegralaufgeteiltundeswirdnurderSummand + + ( + 3 d betrachtet (der andere Summand konvergiert wie zuvor schon begründet. Wir definieren g: R R: 4. Dann gilt lim + g( ( /( lim +3+3/ +/ 4 +. Da g( und ( + 3 auf dem Intervall [ +,+ positiv und stetig sind, hat nach Satz ( + 3 d dasselbe Konvergenzverhalten wie d. Wie schon oben nachgerechnet, konvergiert das Integral gesamte Integral. + + d und damit das 4 Aufgabe H 74. Ober- und Untersummen Gegeben seien f : [,] R : sin(π und I : (a Skizzieren Sie das Schaubild von f. f( d. (b Bestimmen Sie mit Hilfe der Ober- und Untersummen von f zu den Partitionen P : {, 3, 3,} und Q : {, 6, 5 6,} jeweils eine obere und eine untere Schranke für I. (c Finden Sie eine Verfeinerung R von Q mit S(f,R S(f,R,3. Hinweis: Zur Auswertung von f können elektronische Hilfsmittel benutzt werden. Lösungshinweise hierzu: (a Das Schaubild von f : [,] R : sin(π hat die folgende Gestalt: Seite 45

46 . Gruppenübung Höhere Mathematik f (b Mit den Funktionswerten f( f(, f (, f ( ( 3 f 3 sin ( π und f ( ( 6 f 5 6 sin ( π ergeben sich die Untersummen (hellgraue Rechtecke S(f,P f( + f( f(.3 und 3 S(f,Q f( + f( f(.4745, 6 sowie die Obersummen (hellgraue + dunkelgraue Rechtecke S(f,P f( S(f,Q f( 6 6 vgl. die nachfolgenden Abbildungen. 3 f( 3 + f( 3 f( und + f( f ( 3 f ( Seite 46

47 . Gruppenübung Höhere Mathematik Mit der Partition P kann der Wert von I durch.3 I eingegrenzt werden. Mit Q folgt die (bessere Abschätzung.4744 I.937. (c Die Verfeinerung R : P Q {,,,, 5,} von Q liefert die Schranken S(f,R f( f( + f( f(5 + f( und 6 6 S(f,R 6 f( f( + f( f( f( , 6 die wegen S(f,R S(f,R noch zu weit auseinanderliegen. Durch Einfügen weiterer Punkte kann eine Differenz,3 erreicht werden. So ist z.b. für die Partition R : {, 6, 4, 3, 3, 3 4, 5 6,} S(f, R.568 und S(f, R mit S(f,R S(f,R.9684, und für R : {,, 6, 3, 3, 5 6,,} gilt S(f, R und S(f, R mit S(f,R S(f,R.548. Aufgabe H 75. Differentiation und Integration von Potenzreihen (a Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe n u( n n. n BestimmenSiedurchgliedweisesDifferenziereneinePotenzreihendarstellungvon u (. (b Stellen Sie u ( und u( auf (, in geschlossener Form dar. (c Stellen Sie v( Lösungshinweise hierzu: (a Es ist u( a n n, mit a n n sin(s ds als Potenzreihe dar. n n, für n N, n. n(n Für den Konvergenzradius gilt nach.4.7 lim a n+ n + a n lim n(n n + (n+n lim n n + n+, also. Gliedweises Differenzieren gemäß Satz liefert dann u ( na n n n n und u ( n n n(n a n n n für alle (, (,. n n n, n Seite 47

48 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b Bei u ( handelt es sich um die geometrische Reihe, d.ḣ. es ist u ( n n, vgl. Beispiel Durch Integrieren erhält man zunächst u ( u (t dt und hieraus folgt durch partielle Integration u( u (t dt [tln( t] für (,, t dt [ ln t ] ln(, ln( t dt t t ln( [ ln t t] +( ln(, dt ln( ln( t dt dt t ln( +ln( + für alle (,. Hierbei wurde berücksichtigt, dass u( u ( gelten muss und für < < immer positiv ist. (c Einsetzen von z s in die aus Definition.4.7 bekannte Sinusreihe sin(z liefert die Reihendarstellung sin(s n n ( n (n+! zn+, für alle z C, ( n (n+! s4n+, für alle s R. Durch gliedweise Integration gemäß Satz ergibt sich v( für alle R. n sin(s ds ( n (n+! n s 4n+ ds Trainingstipp: Scheinklausur HM II vom : ( n (n+! s4n+ ds n ( n (4n+3(n+! 4n+3, scheinklausuren/6 6 7 SoSe6 HM.pdf Seite 48

49 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 76. Ableitungen Bestimmen Sie den Gradienten f und die Richtungsableitung v f(pin den folgenden Fällen: (a f(,y y, P (3,4, v (, (b f(,y,z cos(y +ze y, P (,,π, v 6 (,, (c f(,y,z ln(yze, P (,,, v 3 (,,. Bestimmen Sie außerdem in (b alle zweiten partiellen Ableitungen. Lösungshinweise hierzu: (a ( gradf, (gradf(3,4 y ( 6 8, ( v f(3,4 ( 6 8 (. (b gradf ( v f(,,π yze y ysin(y +ze y e y 6, (gradf(,,π /3., Die zweiten partiellen Ableitungen sind f y ze y, f yy sin(y 4y cos(y + ze y, f zz sowie (unter Verwendung des Satz von Schwarz f y f y ze y +yze y, f z f z ye y, f yz f zy e y. (c Es ist ln(yze ln+lny +lnz + und daher gradf ( v f(,, + y z, (gradf(,, 3., Seite 49

50 3. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 77. Funktionen in Veränderlichen Finden Sie Funktionen f j : R R für j {,,3,4} mit folgenden Eigenschaften: (a f (,, f (,5 3 und f (, 7 (b Die Niveaumenge von f zum Niveau ist { (,y R +y }, die Niveaumenge von f zum Niveau 4 ist { (,y R +y } und f ist stetig. (c f 3 ist an jeder Stelle (,y R {(,} stetig und an der Stelle (, unstetig. (d Die Ableitung von f 4 an der Stelle (, in Richtung (, ist 4 und die Ableitung von f 4 an der Stelle (, in Richtung (, ist 5. Lösungshinweise hierzu: (a Die Funktion f : R R: (,y erfüllt offenbar die geforderten Eigenschaften. (b Die Funktion für (,y (, 3 für (,y (,5 7 für (,y (, 7 sonst f : R R: (,y ( +y erfüllt die geforderten Eigenschaften, denn zum Niveau ergibt sich und zum Niveau 4 ergibt sich (c Die Funktion f (,y ( +y +y f (,y 4 ( +y 4 +y. { für (,y (, f 3 : R R: (,y 7 sonst ist für (,y (, stetig. An der Stelle (, ist sie nicht stetig, denn für die Folge (a n n N mit a n (, gilt lim a n n (, und n ( lim f (a n lim f n n n, 7 f(,. Seite 5

51 3. Gruppenübung Höhere Mathematik (d Wir wollen eine eine stetig differenzierbare Funktion f 4 konstruieren. Deren Gradienten an der Stelle (, bezeichnen wir mit (a,b. Die beiden Bedingungen ergeben dann ( ( ( ( a a 4 und 5. b b Dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung a 9, b. Wir suchen ( 9 also eine Funktion f 4, die an der Stelle (, den Gradienten hat. Die Funktion hat diese Eigenschaft. f 4 : R R: (,y 9 Aufgabe H 78. Nullstellenmenge skizzieren y (a Fertigen Sie jeweils eine Skizze der Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von für α {,,,4} an. f α : R R: (,y ( +y y +(y α (b Begründen Sie mit Hilfe der Skizze und Satz 4..8, dass f mindestens 3 lokale Etremstellen hat. Lösungshinweise hierzu: (a Die Funktion f ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. f(,y (( +(y (y α(y + α Die Nullstellenmenge besteht also aus der y-achse, dem Kreis um (, mit Radius und den Geraden y ± α für α > bzw. der -Achse für α. An jedem dieser Teile findet ein Vorzeichenwechsel statt mit Ausnahme der -Achse im Fall α (Doppelgerade bzw. doppelte Nullstelle. Seite 5

52 3. Gruppenübung Höhere Mathematik y α α y Skizzen: y α α 4 y (b Der Kreis, die y-achse und die erste Winkelhalbierende definieren drei voneinander getrennte kompakte Mengen. Nach Satz 4..8 muss auf jeder dieser Mengen das Maimum und Minimum angenommen werden. Der Rand gehört aber jeweils zur Nullstellenmenge also muss im Inneren jeweils noch ein Etremum liegen (je nach Vorzeichen ein Maimum bei + oder ein Minimum bei -. Aufgabe H 79. Stetigkeit und Folgen Gegeben sei die Funktion f: R R: (,y y 3 +y 6 für (,y (, für (,y (, (a Skizzieren Sie die Niveaumengen von f zu den Niveaus und. (b Berechnen Sie für die Folge (a n n N mit a n (, n n die Grenzwerte lim a 3 n und n lim f(a n. n. Seite 5