Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen Sie die Regel von de l Hôpital, falls diese anwendbar ist und begründen Sie jeweils, warum die Regel anwendbar ist. a) ln +3) sin e [7] b) + ) tan π [ π ] c) cosh e [ ] d) cos [] Lösung zu Aufgabe 5. a) Der Grenzwert ist vom Typ, die Regel ist also direkt anwendbar: ln + 3) sin L H e ln + 3) 3 4 sin cos +3 e ) Wieder ergibt sich ein Grenzwert vom Typ, wir fahren also fort: ln + 3) 3 4 sin cos +3 e ) L H )+ln+3) 3 +3) 4 cos + 4 sin 7 e 4 e b) Der Grenzwert ist vom Typ ), die Regel von de l Hôpital ist also nicht unmittelbar anwendbar. Wir können aber eine kleine Umformung vornehmen, um den Term auf die passende Gestalt zu bringen: π + ) tan + ) sin π cos π sin π + + ) π π sin π cos π π π c) Der Grenzwert ist hier vom Typ, wir versuchen also die Regel von de l Hôpital: cosh e L H sinh e L H cosh e

2 Leider stellen wir fest, dass die Regel hier nicht weiterhilft. Diesen Grenzwert bestimmen wir deshalb auf andere Weise: cosh e e + e ) e + e d) Der Grenzwert ist vom Typ, wir dürfen also de l Hôpital anwenden: cos sin Aufgabe 5. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f) : a) für einen Parameter a >. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Nullstellen dieser Funktion, Symmetrieverhalten, berechnen Sie wo möglich) die Ableitung, sämtliche Asymptoten, das Monotonieverhalten, lokale und globale Maima und Minima sowie Wendepunkte. Skizzieren Sie anschließend den Graphen der Funktion f für a und tragen Sie die Informationen im Graphen ein. Lösung zu Aufgabe 5. Nullstellen: f) 3 +6a+3a + +a), wenn 3 + 6a + ) + 3a ist, also für, 6 ± 36a + a + 36a 6 a 6 ± 6 a +. Symmetrie: Es gilt f )3, das ist weder f) noch f), also besitzt f keine a ) offensichtliche Symmetrie. Asymptoten: Wir untersuchen zunächst die vertikale Asymptote bei a: Weiter gilt: 3 + ± 3 + a 3 + a + a) + a) + a) 3 + ± + a ) 3, also besitzt die Funktion eine horizontale Asymptote bei y 3.

3 Ableitungen: Wir berechnen die ersten drei Ableitungen: f ) + a) + a) + a) 4 + a + a) 3 a a + ) 3 f ) a + )3 3a )a + ) a + ) 6 f ) a + )4 4 4a)a + ) 3 a + ) 8 a 3a + 3 4a a + ) 4 a + ) 4 a a a + ) 5 8a 6 a + ) 5 Etrema und Monotonie: Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei a. Durch Einsetzen in die zweite Ableitung erhalten wir f a) a a) 4 <, da a > vorausgesetzt wurde. Daher ist a ein lokales Maimum. Für die Untersuchung der Monotonie ist darüber hinaus noch die Nullstelle a des Nenners von f ) von Bedeutung, dort wechselt der Nenner das Vorzeichen. Insgesamt haben wir folgendes Monotonieverhalten: ; a) a; a) a a; ) f fällt streng monoton f wächst streng monoton lokales Maimum f fällt streng monoton Wegen der Asymptoten gilt: f besitzt keine globalen Minima. Wegen fa) 3 + a 4a > 3 ist der Punkt a, fa)) aber ein globales Maimum der Funktionswert ist größer als die horizontale Asymptote!). Die Funktion besitzt keine lokalen Minima. Wendepunkte: Die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung ist offenbar bei a. Hier gilt f a) 8a a 3a) 5, da a > ist. Daher besitzt f bei a tatsächlich einen Wendepunkt. Skizze für a : Für a hat der Graph etwa folgende Gestalt: 3

4 lokales Maimum f) 5 4 Aufgabe 5.3 Sie haben eine Coladose gekauft, die eine perfekte zylindrische Form besitzt. Die Masse M der Dose ohne Inhalt) ist gleichmäßig über die ganze Dose verteilt, die Dose habe Höhe H und Volumen V. Sie möchten, dass die Dose möglichst stabil steht, der Schwerpunkt der Dose inklusive Inhalt) soll also so tief wie möglich liegen. Wir unterstellen zur Vereinfachung, dass Cola die Dichte besitzt. Wie viel Cola Füllhöhe in Prozent der Dosenhöhe) müssen Sie trinken, damit der Schwerpunkt seinen tiefsten Stand erreicht? Lösung zu Aufgabe 5.3 Wir bezeichnen den Füllstand der Dose mit [; H]. Wir können die Verteilung der Gesamtmasse der Dose dann eindimensional in Abhängigkeit von modellieren. Der Schwerpunkt der leeren Dose liegt bei Höhe H /, der Schwerpunkt der Cola liegt bei Höhe /. Die Höhe des Schwerpunkts s des Gesamtsystems ergibt sich dann als Mittel der Schwerpunkte dieser beiden Teilsysteme, gewichtet mit deren jeweiligem Anteil an der Gesamtmasse: s) M H + V H M + V H MH + V H M + V H MH + V MH + V ) Um s) zu minimieren, bilden wir zunächst die erste und zweite Ableitung: s ) V )M + V ) MH + V H H H ) V ) H 4M + V V V + MH MH ) H ) MH + V ) s ) V H MM + V ) MH + V ) 3 4

5 Wir bestimmen nun die Nullstellen von s ) : s ) V H )M + V H ) MH + V H ) V H ) M + V H ) MH + V H ) V H + M MH, M ± 4M + 4MV V H H V M ± M + MV ) Die negative Lösung macht hier natürlich keinen Sinn, schließlich ist die Füllhöhe, also muss im Optimum gelten H M + M + MV ). V Da s ) > ist wegen > ) handelt es sich tatsächlich um ein Minimum, also die gesuchte Lösung. Um den optimalen Füllstand in Prozent zu bekommen, müssen wir diese Höhe noch durch H teilen, d. h. H M + M + MV ). V Für den optimalen Schwerpunkt s s ) bedeutet das H s MH + V M + MV + M M M H V + MV ) M + V H H V M + M + MV ) MH MH + V M + V M + MV ) M M + M + MV HM M + M M + MV )) + MV V Aufgabe 5.4 Zeigen Sie: Zu jedem Zeitpunkt gibt es auf dem Erdäquator zwei sich gegenüberliegende Punkte, an denen die gleiche Temperatur herrscht. Sie dürfen dafür annehmen, dass sich die Temperatur entlang des Äquators stetig ändert. Lösung zu Aufgabe 5.4 Wir nehmen zugegeben etwas vereinfacht) an, dass der Äquator ein Kreis ist. Die Temperatur ist dann eine Funktion T : [; π] R des Winkels Längengrad) mit T ) T π), die Funktion T ist nach Annahme stetig. Wir definieren eine Funktion f : [; π] R durch f) : T ) T +π). Ein Punkt auf dem Äquator und der ihm gegenüberliegende Punkt + π haben also genau dann die gleiche Temperatur, wenn f) gilt. Es ist damit zu zeigen, dass f eine Nullstelle auf [; π] besitzt. Es gilt f) T ) T π) und fπ) T π) T π) T π) T ) f) wegen T ) T π)). Ist f), so muss die Funktion f auf Grund des Zwischenwertsatzes auf 5

6 dem Intervall [; π] jeden Wert zwischen f) und f) annehmen, besitzt also insbesondere eine Nullstelle auf dem Intervall [; π], was zu zeigen war. Ist f), so ist die gesuchte Nullstelle und der Beweis ist ebenfalls erbracht. Aufgabe 5.5 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale. Geben Sie jeweils auch eine Stammfunktion des Integranden an. a) d [ ln ] b) π sin d [] c) + d [ln π ] d) + d [ ] ln e) π + sin d Additionsth.!) [4] f) π + +sin tan ) dt Lösung zu Aufgabe 5.5 a) [ ln d ] [ d ln ln ln b) Wegen cos) cos sin sin ) sin sin gilt: ] [ ln ] π sin d π [ ] π cos) d sin) c) + d [ ln + ) arctan ] + d + d ln π 4 ln + ln π d) + d e ln+) d [ e ln ] [ ln ln eln ] ln e e +) ln d e ln ln e ln d 6

7 e) Wir benutzen das Additionstheorem sin sin cos : π π π + sin d sin + cos + sin cos π d sin + cos d [ cos + sin ] π [ + ] 4 sin + cos ) d f) π + + sin tan ) dt + + sin tan ) [t] π π + + sin tan ) Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 5.6 aus einer GOP Seien a, b >. In die durch die Gleichung ) ) a + y b definierte Ellipse soll ein achsenparalleles Rechteck R einbeschrieben werden, d. h. die Ecken von R liegen auf der Ellipse. Wie sind die Seitenlängen des Rechtecks zu wählen, damit der Flächeninhalt von R maimal wird? Welchen Flächeninhalt besitzt R in diesem Fall? Lösung zu Aufgabe 5.6 b a y Wir verwenden die Bezeichnungen wie in obiger Skizze. Weil der Punkt /, y /) auf der Ellipse liegt, gilt ) ) y + y b a b 4a. Die Fläche F ) des Rechtecks beträgt damit F ) y b 4a b 4a b 4a a 4a Wir leiten diese Funktion nach ab, um lokale Etrema zu bestimmen: F ) b 4a a + b a 4a b a 4a 4a b a a 4a 7

8 Die Nullstellen von F ) sind damit a und a, die einzige zulässige Lösung ist a. Da F ) an diesem Punkt stetig ist und das Vorzeichen von + nach wechselt, muss ein lokales Maimum der Funktion F sein. Zu prüfen bleibt, ob die Randpunkte oder a ein besseres Ergebnis liefern. Für ist die Fläche natürlich, für a ist y und die Fläche ist wiederum. Also hat das einbeschriebene Rechteck genau für a die maimale Fläche, der zugehörige y-wert ist dann y b a b. 4a Aufgabe 5.7 Zeigen Sie: Für > gilt < ln + ) <. + Tipp: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Lösung zu Aufgabe 5.7 Wir betrachten die Funktion g : [; ) R, gy) : ln + y). Für jedes > ist diese Funktion auf dem Intervall [; ] stetig und auf ; ) differenzierbar, der Mittelwertsatz ist also anwendbar. Damit gibt es ein y ; ) mit ln + ) ln + ) ln + ) g) g) g y ) + y, also haben wir ein y ; ) mit ln + ) + y. Da y > ist, folgt + y > und damit +y <, das ergibt ln + ) + y < ln + ) <. Ebenso ist y <, also y + < + und damit +y >, damit folgt + ln + ) + y > + ln + ) > +. Alternativ kann man auch eine etwas andere Version des Mittelwertsatzes benutzen. Wenn man die Aussage leicht umformuliert, lautet sie: Mit den gleichen Voraussetzungen wie für den MWS aus der Vorlesung gilt: Es gibt ein λ ; ) mit b a) f a + λb a)) fb) fa). Setzt man nun f) ln + ), a und b, so gilt für dieses λ ; ) + λ Weil + λ > ist, folgt daraus die Ungleichung ln + ln + ). + λ <. 8

9 Da + λ < + gilt, folgt ebenso ln + ) + λ > +, und damit die zweite Ungleichung aus der Behauptung. Aufgabe 5.8 Zeigen Sie: n n k n + k ln Tipp: Interpretieren Sie die Partialsumme als Untersumme einer geeigneten Funktion. Lösung zu Aufgabe 5.8 Wir betrachten die Funktion f) : auf dem Intervall [; ], vgl. Skizze. Die Bilder + darunter zeigen die Untersummen für eine gleichmäßige Zerlegung des Intervalls [; ] in einen, zwei und drei Teile. f) + U n U + 3 4) n 3 3 U ) n 3 Offenbar hat U jeweils die Form n k für n, n bzw. n 3. Dieser Zusammenhang n+k gilt allgemein: Sei,, n,..., n n n eine Zerlegung des Intervalls [; ] in n n gleiche Teile, dann ist die Untersumme U n f) zu f bezüglich der Zerlegung {,,..., n } U n f) n n f k k ) n n n k + k n n n k n n n + k n + k k 9

10 Die Funktion f ist stetig auf [; ], also ist sie auch integrierbar. Im Grenzwert gilt daher: n n k n + k U nf) n + d [ln + )] ln ln ln