3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

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Mina Vogt
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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. Christian Karpfinger 3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 0/) Aufgabe 3.: Gehen Sie die Inhalte der heutigen Vorlesung in kleinen Gruppen durch fertigen Sie eine Zusammenfassung bzw. ein Formelblatt an. Aufgabe 3.: Gegeben sei ein Quadrat Q der Seitenlänge L. Ein zweites Quadrat Q mit Seitenlänge l sei Q einbeschrieben, d. h. die Ecken von Q liegen auf den Seiten von Q. Wie muss l gewählt werden, damit der Flächeninhalt von Q möglichst gering wird? Tipp: Untersuchen Sie folgende Funktion: F : [0, L] R, F (x) = l = x + (L x). Lösung: x l L x Mit den Bezeichnungen aus der Zeichnung gilt für den Flächeninhalt F von Q : F : [0, L] R, F (x) = l = x + (L x). Wir bestimmen die Extrema von F. (i) Es gilt F (x) = x + (L x) ( ) = x L + x = 4x L F (x) = 4. (ii) Die einzige Nullstelle von F ist x = L. (iii) Es gilt (iv) An der Stelle x = L F (x ) = 4 > 0. liegt ein lokales Minimum vor.

2 (v) Das lokale Minimum hat den Wert F(x ) = L. (vi) Es gilt F(0) = L F(L) = L. (vii) Das globale Minimum ist L, es liegt in x = L vor. D.h. die gesuchte Länge ist l = L. Aufgabe 3.3: Seien a, b > 0. In die durch die Gleichung ( ) x a + ( y ) b = definierte Ellipse soll ein achsenparalleles Rechteck R einbeschrieben werden, d. h. die Ecken von R liegen auf der Ellipse. Wie sind die Seitenlängen des Rechtecks zu wählen, damit der Flächeninhalt von R maximal wird? Welchen Flächeninhalt besitzt R in diesem Fall? Tipp: Untersuchen Sie folgende Funktion: F : [0, a] R, F(x) = b a x a x. Lösung: x b a y Es gilt Für die Fläche F(x) des Rechtecks gilt damit x a + y b = = y = b x a. F : [0, a] R, F(x) = x b x a = bx a x a = b a x a x Wir bestimmen die Extrema von F. (i) Es gilt F (x) = b a a x + b a x x a x = b a a x x = b a x a a x a x F (x) = b a x3 3a x. (a x ) 3

3 (ii) Die Nullstellen von F (x) sind damit x = a x = a, die einzige zulässige Lösung ist x = a. (iii) Es gilt F (x ) = 4b a < 0. (iv) An der Stelle x = a liegt ein lokales Maximum vor. (v) Das lokale Maximum hat den Wert F(x ) = ab. (vi) Es gilt F(0) = 0 F(a) = 0. (vii) Das globale Maximum ist ab, es liegt in x = a vor. Aufgabe 3.4: Bestimmen Sie für die Funktion f(x, y) = sin(x) + sin(y) alle lokalen Extrema die globalen Maxima Minima für (x, y) [0, π] [0, π]. Lösung. (i) Es gilt f x = cos(x), f y = cos(y), (ii) Es ist f xx = sin(x), f xy = 0, f yx = 0, f yy = sin(y). f x = cos(x) = 0 erfüllt, wenn cos(x) = 0 somit ist f y = cos(y) = 0, wenn cos(y) = 0 erfüllt für f x = f y = 0 (a, b ) = ( π, π ), (a, b ) = ( π, 3π ), (a 3, b 3 ) = ( 3π, π ), (a 4, b 4 ) = ( 3π, 3π ) 3

4 (iii) Es gilt H( π, π ) = f xx( π, π ) f yy( π, π ) f xy( π, π ) f yx( π, π ) = H( 3π, π ) = f xx(3 π, π ) f yy( 3π, π ) f xy( 3π, π ) f yx(3 π, π ) = H( π, 3π ) = f xx( π, 3π ) f yy( π, 3π ) f xy( π, 3π ) f yx( π, 3π ) = H( 3π, 3π ) = f xx( 3π, 3π ) f yy( 3π, 3π ) f xy(3 π, 3π ) f yx( 3π, 3π ) = S( π, π ) = f xx( π, π ) + f yy( π, π ) = S( 3π, π ) = f xx( 3π, π ) + f yy( 3π, π ) = 0 S( π, 3π ) = f xx( π, 3π ) + f yy( π, 3π ) = 0 S( 3π, 3π ) = f xx( 3π, 3π ) + f yy( 3π, 3π ) = (iv) Es gilt H( π, π ) > 0 S( π, π ) < 0, daher liegt in ( π, π ) ein lokales Maximum vor. Es gilt H( 3π, π ) < 0 H( π, 3π ) < 0, daher liegt in ( 3π, π ) ( π, 3π ) weder Minimum noch Maximum vor. Es gilt H( 3π, 3π ) > 0 S( 3π, 3π ) > 0, daher liegt in ( 3π, 3π ) ein lokales Minimum vor. (v) Es gilt: f( π, π ) = f(3π, 3π ) =. (vi) Auf den vier Rändern gilt: f(0, y) : [0, π] R, f(0, y) = sin(y), Aus 0 = f y (0, y) = cos(y), folgt y = π oder y = 3π. Wegen f (0, y) = sin(y) liegt y bei y = π ein lokales Maximum bei y = 3π ein lokales Minimum, f(0, π ) = f(0, 3π ) = f(π, y) : [0, π] R, f(π, y) = sin(y), Aus 0 = f y (π, y) = cos(y), folgt y = π oder y = 3π. Wegen f y (π, y) = sin(y) liegt bei y = π ein lokales Maximum bei y = 3π ein lokales Minimum, f(π, π ) = f(π, 3π ) = f(x, 0) : [0, π] R, f(x, 0) = sin(x) f(x, π) : [0, π] R, f(x, π) = sin(x) analog. 4

5 (vii) In den Ecken gilt: f(0, 0) = f(π, 0) = f(π, π) = f(0, π) = 0. (viii) Das absolute Maximum mit dem Wert liegt also bei ( π, π ), das absolute Minimum mit dem Wert wird in ( 3π, 3π ) angenommen. Man erhält folgendes Bild: x y Aufgabe 3.5: Bestimmen Sie für die Funktion f(x, y) = y 4 3xy + x 3 alle lokalen Extrema die globalen Maxima Minima für (x, y) [ 5, 5 ] [, ]. Lösung. (i) Es gilt f x = 3y + 3x, f y = 4y 3 6xy, f xx = 6x, f xy = 6y, f yx = 6y, f yy = y 6x. 5

6 (ii) Es ist f x = 3y + 3x = 0 erfüllt, wenn y = ±x f y = 4y 3 6xy = 0, wenn y = 0 oder x = 3 y, wegen y = x folgt: x = 3 somit ist erfüllt für f x = f y = 0 (a, b ) = (0, 0), (a, b ) = ( 3, 3 ), (a 3, b 3 ) = ( 3, 3 ) (iii) Es gilt H(0, 0) = f xx (0, 0) f yy (0, 0) f xy (0, 0) f yx (0, 0) = 0 H( 3, 3 ) = f xx( 3, 3 ) f yy( 3, 3 ) f xy( 3, 3 ) f yx( 3, 3 ) = 9 8 ( 9) ( 9) = 8 H( 3, 3 ) = f xx( 3, 3 ) f yy( 3, 3 ) f xy( 3, 3 ) f yx( 3, 3 ) = = 8 S(0, 0) = f xx (0, 0) + f yy (0, 0) = 0 S( 3, 3 ) = f xx( 3, 3 ) + f yy( 3, 3 ) = = 7 S( 3, 3 ) = f xx( 3, 3 ) + f yy( 3, 3 ) = = 7 (iv) Es gilt H(0, 0) = 0, daher ist keine Aussage möglich. Es gilt H( 3, 3 ) > 0 S( 3, 3 ) > 0, daher liegt in ( 3, 3 ) ein lokales Minimum vor. Es gilt H( 3, 3 ) > 0 S( 3, 3 ) > 0, daher liegt in ( 3, 3 ) ein lokales Minimum vor. (v) Es gilt: f(0, 0) = 0 f( 3, 3 ) = f(3, 3 ) = 7 6 = (vi) Auf den vier Rändern gilt: 6

7 f( 5, y) : [, ] R, f(5, y) = y4 5 y + 5 8, Aus 0 = f y ( 5, y) = 4y3 5y, folgt y = 0 oder y = ± 5. Wegen f ( 5 y, y) = y 5 liegt bei y = 0 ein lokales Minimum bei ± 5 jeweils ein lokales Maximum, f( 5, 0) = 5 8 = 5.65 f( 5, ± 5) = 5 6 =.565 f( 5, y) : [, ] R, f( 5, y) = y4 + 5 y 5 8, Aus 0 = f y ( 5, y) = 4y3 + 5y, folgt y = 0 für reelle y. Wegen f ( 5 y, y) = y + 5, gilt, dass bei y = 0 ein lokales Minimum ist, f( 5 5, 0) = 8. f(x, ±) : [ 5, 5 ] R, f(x, ) = f(x, ) = 6 x + x3. f x (x, ±) = 3x = 0 ergibt x = ±. Offenbar ist bei x = ein lokales Maximum bei x = ein lokales Minimum (obiger Funktion, nicht notwendigerweise von f). Es gilt f(, ) = 3 f(, ) = 0. (vii) In den Ecken gilt: f( 5 43, ±) = 8 = , f(5, ±) = 3 8 =.65. f( 5 43, ±) = 8 = , f(5, ±) = 3 8 =.65. (viii) Das absolute Maximum mit dem Wert 3 liegt also bei (, ±), das absolute Minimum, = 5.65 wird in (.5, 0) angenommen. 5 8 Zusammengefaßt erhält man folgendes Bild: 7

8 - - y 0 x f x,y

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