3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik

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1 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik Übersicht 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in einer Variable Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in zwei Variablen Integration rationaler Funktionen Anfangswertprobleme mit separierbaren Dierentialgleichungen Bestimmung von Grenzwerten bei rekursiv denierten Folgen In der Höheren Mathematik wird die formale Mathematik, die von Mathematikern entwickelt wird, auf Probleme der Natur- oder Ingenieurs- oder Wirtschafts- oder Politikoder einer anderen Wissenschaft angewandt. Die mathematischen Probleme sind dabei oft sehr einheitlicher Natur. Z.B.: Eine Funktion beschreibt den Aktienkurs, den Temperaturverlauf, den Energiebedarf eines Menschen während des Arbeitstages,... Gesucht sind die Extrema dieser Funktion. 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in einer Variable Im folgenden betrachten wir eine Funktion f, die ein Intervall D = [a, b] von R in R abbildet. Wir kümmern uns gar nicht genauer um eine exakte Denition des Begris Funktion, wir greifen auf die Vorstellung der Schulzeit zum Funktionsbegri zurück. Unsere Funktion f soll dierenzierbar sein. Dieser Begri der Dierenzierbarkeit ist tatsächlich alles andere als selbstverständlich, aber auch hier handhaben wir das so

2 8 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik wie in der Schulzeit: Wir stellen uns das richtige darunter vor, nämlich die Ableitung. Eigentlich machen wir es uns sogar noch einfacher, wir unterstellen, daÿ unsere Funktionen so oft dierenzierbar sind, wie wir es für nötig halten. Bemerkung. Ist die Funktion nicht dierenzierbar, so wird die Sache gleich viel schwieriger, wir betrachten den einfachsten Fall: Unsere Funktionen sind so oft dierenzierbar, wie wir es nur brauchen. Mit den Extrema bzw. Extremalstellen machen wir es ähnlich: Wir verzichten auf eine Denition und stellen uns darunter vor, was es ist: 0 0 x Zur Bestimmung der Extremalstellen geht man wie folgt vor. Bestimmung von Extremalstellen bei einer Variablen Das Problem: Gegeben ist eine (genügend oft) dierenzierbare Funktion gesucht sind die Extremalstellen von f. Die Lösung: (i) Bestimme f und f. f : [a, b] R, x f(x) ; (ii) Bestimme die Nullstellen a, a,..., a n von f. (iii) Bestimme die Vorzeichen von f (a i ) für alle i {,..., n}. (iv) Entscheide, ob a i Stelle eines lokalen Maximums oder lokalen Minimums ist. (v) Bestimme die Werte f(a i ), i =,..., n.

3 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in einer Variable 9 (vi) Bestimme die Werte f(a) und f(b) der Funktion f an den Rändern a und b des Intervalls [a, b]. (vii) Entscheide, wo das globale Maximum und das globale Minimum liegt. Beispiel 3. Wir betrachten die Funktion f : [0, ] R, f(x) = ( x) x = 4x 3 4x + x. Wir bestimmen die Extrema von f. (i) Es gilt f (x) = x 8x + und f (x) = 4x 8. (ii) Die Nullstellen von f sind a = = = und a = = 3 6 = 6. (iii) Es gilt f (a ) > 0 und f (a ) < 0. (iv) An der Stelle a liegt ein lokales Minimum vor, an der Stelle a liegt ein lokales Maximum vor. (v) Das lokale Minimum hat den Wert f(a ) = 0, das lokale Maximum hat den Wert f(a ) = 7. (vi) Es gilt f(0) = 0 und f( ) = 0. (vii) Das globale Maximum ist 7, es liegt in a = 6 es liegt in a = 0 und a = vor. vor. Das globale Minimum ist 0,

4 0 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik x Das Vorgehen ist klar und strukturiert. Die üblichen Fehler, die passieren, sind immer dieselben: Es werden nicht alle Nullstellen der Funktion f bestimmt, Rechenfehler. Beispiel 3. Wir betrachten die Funktion (i) Es gilt: f : [, 0] R, f(x) = x x + 9. f (x) = x3 x 4 + x und f (x) = x x3 4 x 3 (4 + x ) x3 4 x(4 + x ). (ii) Die einzige Nullstelle von f lautet a = 3. (iii) Es gilt f (a) > 0. (iv) In a liegt ein lokales Minimum vor. (v) Das lokale Minimum hat den Wert f(a) = 7, 0... (vi) Es gilt f() = 8, und f(0) = 3, 5...

5 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in zwei Variablen (vii) Das globale Maximum ist 3, 5..., es liegt in x = 0 vor. Das globale Minimum ist 7, 0..., es liegt in a = 3 vor x 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in zwei Variablen Im folgenden betrachten wir eine Funktion f, die ein Rechteck D = [a, b] [c, d] von R in R abbildet. Unsere Funktion f soll wieder so oft dierenzierbar sein, wie es nötig ist; was immer das auch heiÿen mag. Mit den Extrema machen wir es ähnlich: Wir verzichten auf eine Denition und stellen uns darunter vor, was es ist:

6 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik - - y 0 x f x,y Weil wir jetzt Funktionen in den Variablen x und y haben, müssen wir auch nach x und y ableiten können. Das ist zum Glück nicht schwer. Wir schreiben f x für die Ableitung von f nach x und f y für die Ableitung von f nach y und f xx für die Ableitung von f x nach x und f xy für die Ableitung von f x nach y. f yx für die Ableitung von f y nach x und f yy für die Ableitung von f y nach y. Beispiele. Für f(x, y) = x + x y + y erhalten wir f x (x, y) = x + y und f y (x, y) = x + und f xx (x, y) = und f xy (x, y) = und f yx (x, y) = und f yy (x, y) = 0.

7 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in zwei Variablen 3 Für f(x, y) = x e y +y sin(x) erhalten wir f x (x, y) = x e y +y cos(x) und f y (x, y) = x e y + sin(x) und f xx (x, y) = e y y sin(x) und f xy (x, y) = x e y + cos(x) und f yx (x, y) = x e y +cos(x) und f yy (x, y) = x e y. Damit können wir nun die Extremalstellen von dierenzierbaren Funktionen in zwei Variablen bestimmen: Bestimmung von Extremalstellen bei zwei Variablen Das Problem: Gegeben ist eine (genügend oft) dierenzierbare Funktion gesucht sind die Extrema von f. Die Lösung: f : [a, b] [c, d] R, (x, y) f(x, y) ; (i) Bestimme f x, f y, f xx, f xy, f yx, f yy. (ii) Bestimme die Stellen (a, b ) (a, b ),..., (a n, b n ) mit f x (a i, b i ) = 0 = f y (a i, b i ). (iii) Bestimme die Vorzeichen von H(a i, b i ) := f xx (a i, b i ) f yy (a i, b i ) f xy (a i, b i ) f yx (a i, b i ) und S(a i, b i ) := f xx (a i, b i ) + f yy (a i, b i ) für alle i {,..., n}. (iv) Falls H(a i, b i ) > 0 und S(a i, b i ) > 0 gilt, so liegt in (a i, b i ) ein lokales Minimum vor. Falls H(a i, b i ) > 0 und S(a i, b i ) < 0 gilt, so liegt in (a i, b i ) ein lokales Maximum vor. Falls H(a i, b i ) < 0 gilt, so liegt in (a i, b i ) weder Minimum noch Maximum vor. Falls H(a i, b i ) = 0 gilt, so ist keine Aussage möglich. (v) Bestimme die Werte f(a i, b i ), i =,..., n.

8 4 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik (vi) Bestimme die Extrema auf den vier Rändern; betrachte dazu die vier Funktionen f(a, y) : [c, d] R, f(x, c) : [a, b] R, f(b, y) : [c, d] R, f(x, d) : [c, d] R. (vii) Bestimme die Werte in den Ecken (a, c), (b, c), (a, d) und (b, d). (viii) Entscheide, wo das globale Maximum und das globale Minimum liegt. Beispiel 3.3 Gegeben sei die Funktion f : [, ] [ 3, 3] R, f(x, y) := x3 3x + y. Wir bestimmen die Extremalstellen und Extrema: (i) Es gilt (ii) Es gilt f x (x, y) = 3(x ) + y, f y (x, y) = x3 3x ( + y ) y, f xx (x, y) = 6x + y, f xy(x, y) = 3(x ) ( + y ) y, f yx (x, y) = 3(x ) ( + y ) y, f yy(x, y) = (x3 3x)(6y 4 + 4y ) ( + y ) 4. f x (x, y) = 3(x ) + y = 0 = x3 3x ( + y ) y = f y(x, y) x = 0 = x y (x 3) (x = ±) (x = 0 y = 0 x = ± 3) (x, y) {(, 0), (, 0)}. Damit haben wir die einzigen beiden kritischen Stellen (a, b ) = (, 0) und (a, b ) = (, 0).

9 3. Bestimmung der Extremalstellen bei Funktionen in zwei Variablen 5 (iii) Es gilt für (a, b ) = (, 0): H(, 0) := f xx (, 0) f yy (, 0) f xy (, 0) f yx (, 0) = > 0 und S(, 0) := f xx (, 0) + f yy (, 0) = 0 > 0. Es gilt für (a, b ) = (, 0): H(, 0) := f xx (, 0) f yy (, 0) f xy (, 0) f yx (, 0) = ( 6) ( 4) 0 0 > 0 und S(, 0) := f xx (, 0) + f yy (, 0) = 0 < 0. (iv) In (a, b ) = (, 0) liegt ein lokales Minimum vor, in (a, b ) = (, 0) ein lokales Maximum. (v) Es gilt f(a, b ) = f(, 0) = und f(a, b ) = f(, 0) =. (vi) Wir bestimmen die Extrema auf den Rändern: f : [ 3, 3] R, f(, y) = +y : Diese Funktion hat ein lokales Maximum in y = 0 mit dem Wert f(, 0) =. f : [ 3, 3] R, f(, y) = +y : Diese Funktion hat ein lokales Minimum in y = 0 mit dem Wert f(, 0) =. f : [, ] R, f(x, 3) = 0 (x3 3 x): Diese Funktion hat ein lokales Minimum in x = mit dem Wert f(, 3) = 0 und ein lokales Maximum in x = mit Wert f(, 3) = 0. f : [, ] R, f(x, 3) = 0 (x3 3 x): Diese Funktion hat ein lokales Minimum in x = mit dem Wert f(, 3) = 0 und ein lokales Maximum in x = mit Wert f(, 3) = 0. (vii) Es gilt f(, 3) =, f(, 3) =, f(, 3) =, f(, 3) = (viii) Das globale Maximum ist, es wird an den Stellen (, 0) und (, 0) angenommen. Das globale Minimum ist, es wird an den Stellen (, 0) und (, 0) angenommen.

10 6 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik Variationen. Der Denitionsbereich von f ist kein (abgeschlossenes) Rechteck. Es gibt Nebenbedingungen. 3.3 Integration rationaler Funktionen Die Integration ist eine Art Umkehrung der Dierentiation: F (x) = f(x) d x F (x) = f(x). Während das Dierenzieren jedoch Handwerk ist, ist das Integrieren eher eine Art Kunst. Beim Integrieren gilt die Regel: f, g, λ, µ R: λ f(x) + µ g(x) d x = λ f(x) d x + µ g(x) d x. ABER: f(x) g(x) d x f(x) d x g(x) d x und f(x) f(x) d x g(x) d x. g(x) d x Aus der Schulzeit kennt man einige wenige (unbestimmte) Integrale, z. B. x + x + d x = 3 x3 + x + x oder x e x d x = x e x e x. Das Integrieren von Polynomen ist eine Kleinigkeit, das Integrieren von rationalen Funktionen ist ein Fall für die Höhere Mathematik, wenngleich es auch einfach ist:

11 3.3 Integration rationaler Funktionen 7 Wir müssen nämlich tatsächlich nur wissen, was die Integrale weniger einfacher rationaler Funktionen ist. Alle anderen rationalen Funktionen können wir dank Polynomdivision und Partialbruchzerlegung auf diese wenigen einfachen Integrale zurückführen. Vorab geben wir die Integrale dieser wenigen einfachen rationalen Funktionen an. Daÿ dies jeweils Integrale der angegebenen rationalen Funktionen sind, kann man einfach durch Ableiten nachprüfen: Integrale der grundlegenden rationalen Funktionen Es gilt für alle m N und Polynome x + px + q mit p 4 q < 0: d x ln x x k für m = (x x k ) m = für (m ) (x x k ) m m. Bx + C x + px + q d x = B ( ) ln x + px + q d x x + px + q = arctan 4q p ( + C Bp ) x + p 4q p d x x + px + q Für m gilt weiterhin Bx + C (x + px + q) m d x = B = (m ) (x + px + q) m + d x (x + px + q) m = = ( C Bp ) d x (x + px + q) m x + p (m ) (4q p ) (x + px + q) m + (m 3) (m ) (4q p ) d x (x + px + q) m Achtung: Diese Formeln gelten wirklich nur für den Fall p < 4q. Andernfalls erhält man reelle Nullstellen und landet beim ersten Fall. Nun können wir jede rationale Funktion A(x) Q(x) integrieren. Man gehe dabei so vor, wie im folgenden Kasten beschrieben:

12 8 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik Integration rationaler Funktionen Das Problem: Zu bestimmen ist das Integral einer rationalen Funktion, d. h. ein Integral der Form: A(x) Q(x) d x mit Polynomen A(x) und Q(x). Die Lösung: Man bestimmt das Integral wie folgt: (i) Falls deg A deg Q, so führe eine Polynomdivision durch mit deg B < deg Q. A(x) B(x) = P (x) + Q(x) Q(x) (ii) Man zerlege das Polynom Q in weiter unzerlegbare Faktoren: Q(x) = (x a ) r (x a n ) r n (x + p x + q ) s (x + p m x + q m ) s m. Hierbei gilt p i 4 q i < 0 für alle i =,..., m. (iii) Man führe eine Partialbruchzerlegung von B(x) Q(x) durch: B(x) Q(x) = P (x a ) + + P l (x + p m x + q m ) s. m Hierbei gilt deg P i für alle i =,..., l. (iv) Man integriere die einzelnen Summanden mit den bekannten Formeln: A(x) Q(x) d x = P P l P (x) d x+ d x+ + (x a ) (x + p m x + q m ) s d x. m Beispiel 3.4 Wir bestimmen das Integral von Q(x) = x4 + x 3 + 4x + (x )(x + ). (i) Wegen deg A < deg Q müssen wir keine Polynomdivision durchführen. (ii) Die Zerlegung des Nenners in nicht weiter zerlegbare Faktoren ist bereits erfolgt.

13 3.3 Integration rationaler Funktionen 9 (iii) Die Partialbruchzerlegung entnehmen wir dem Beispiel.4: (iv) Wegen x 4 + x 3 + 4x + (x )(x + ) = (x ) + (x + ) + x (x + ). erhalten wir x 4 + x 3 + 4x + (x )(x + ) d x = Wir bringen ein weiteres Beispiel: Beispiel 3.5 Wir bestimmen das Integral x (x + ) d x = (x + ) (x ) d x + = ln x + arctan(x) (x + ) d x + (x + ). A(x) Q(x) = 4x5 + 6x 3 + x + x = 4x 3 4x + 6x + 3x x + x + x +. x (x + ) d x (i) Wegen deg A deg Q müssen wir eine Polynomdivision durchführen, wir haben das bereits in dem Beispiel auf Seite 3 erledigt: 4x 5 + 6x 3 + x + x + x + = 4x 3 4x + 6x + 3x + 4 x + x +. (ii) Die Zerlegung des Nenners in nicht weiter zerlegbare Faktoren ist bereits erfolgt. (iii) Eine Partialbruchzerlegung ist nicht mehr nötig: 3x + 4 x + x +. (iv) Wegen 3x + 4 x + x + d x = 3 ( ln(x + x + ) ) erhalten wir: 4x 5 + 6x 3 + x + x d x + x + = 4x 3 4x + 6x d x + = 3 ln(x + x + ) + 3x + 4 x + x + d x 3 arctan = x x3 + 3x x + 3 ln(x + x + ) + 3 arctan d x x + x + ( ) x +. 3 ( x + 3 ).

14 30 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik 3.4 Anfangswertprobleme mit separierbaren Dierentialgleichungen Eine Dierentialgleichung (. Ordnung und nur solche betrachten wir) ist eine Gleichung in x, y und y. Dabei ist y = y(x) die Funktion, die gesucht ist, z. B. y (x) = y(x), x y(x) = y (x), y (x) = x (y(x)). Übersichtlicher ist die Schreibweise y anstelle y(x): y = y, x y = y, y = x y. Eine Lösung für die erste Dierentialgleichung ist die Funktion y mit y(x) = e x. Eine Lösung für die zweite Dierentialgleichung ist die Funktion y mit y(x) = e x. Eine Lösung für die dritte Dierentialgleichung ist die Funktion y mit y(x) = x +. Wir werden gleich sehen, wie man die Lösungen bei solchen Dierentialgleichungen bestimmt. Woher kommen Dierentialgleichungen? Eine Dierentialgleichung drückt eine Abhängigkeit zwischen der Variablen x, der Funktion y und der Ableitung y dieser Funktion aus. Viele Naturgesetze können mittels Dierentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. Dabei beschreibt eine Dierentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Gröÿen zueinander. Als Beispiel betrachten wir den radioaktiven Zerfall: Das Ausgangsproblem ist: Es ist eine Menge Q radioaktiven Materials zum Zeitpunkt t = 0 gegeben, gesucht ist eine Funktion Q(t), die die zum Zeitpunkt t noch vorhandene Menge Q angibt. Aus physikalischen Beobachtungen und theoretischen Annahmen weiÿ man, daÿ die Rate, mit der das radioaktive Material zerfällt, direkt proportional zur Menge des noch vorhandenen Materials ist. Daraus ergibt sich folgende Dierentialgleichung. Ordnung: d Q d t (t) = Q (t) = Q(t) = r Q(t) Die Proportionalitätskonstante r, r > 0, ist die für jedes radioaktive Material unterschiedliche Zerfallsrate. Gesucht ist die Funktion Q = Q(t) Separierbare Dierentialgleichungen Man nennt eine Dierentialgleichung separierbar, wenn sie sich in der Form y = f(x) g(y)

15 3.4 Anfangswertprobleme mit separierbaren Dierentialgleichungen 3 schreiben läÿt. Bei separierbaren Dierentialgleichungen kann man also y auf eine Seite schreiben, auf der anderen Seite steht ein Produkt von zwei Funktionen f und g, wobei f eine Funktion in x und g eine solche in y ist: y = }{{} =f(x) y }{{} =g(y), x }{{} =f(x) y }{{} =g(y) = y, y = x }{{} =f(x) y. }{{} =g(y) Separierbare Dierentialgleichungen löst man nach dem folgenden Schema: Integration separierbarer Dierentialgleichungen Gegeben ist eine separierbare Dierentialgleichung (i) Schreibe y = d y d x und erhalte so y = f(x) g(y). d y = f(x) g(y). d x (ii) Schae alles, was mit x zu tun hat, auf eine Seite der Gleichung und alles, was mit y zu tun hat, auf die andere: g(y) d y = f(x) d x. (iii) Integriere beidseits: g(y) d y = f(x) d x. (iv) Die Integrationskonstanten c l und c r, die man auf der linken und der rechten Seite erhält, schat man nach rechts und setzt c = c r c l : G(y) = F (x) + c. (v) Löse die Gleichung G(y) = F (x) + c nach y = y(x) auf, für jedes c R hat man dann eine Lösung. Beispiele. Wir betrachten: y = y. (i) d y d x = y. (ii) y d y = d x.

16 3 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik (iii) Integriere beidseits: y d y = (iv) d x. ln y = x + c. (v) Anwenden der Exponentialfunktion beidseits liefert: Für jedes c R ist eine Lösung von y = y. y(x) = e x+c Wegen e x+c = e c e x schreibt man y(x) = c e x mit einem neuen c R. Wir betrachten: x y = y. (i) d y d x = x y. (ii) y d y = x d x. (iii) Integriere beidseits: y d y = (iv) x d x. ln y = x + c. (v) Anwenden der Exponentialfunktion beidseits liefert: Für jedes c R ist eine Lösung von y = x y. Wir betrachten y = x y. y(x) = c e x (i) d y d x = x y. (ii) y d y = x d x. (iii) Integriere beidseits: y d y = x d x. (iv) y = x + c. (v) Invertieren beidseits liefert: Für jedes c R ist eine Lösung von y = x y. y(x) = x + c Das c wird durch eine Anfangsbedingung festgelegt.

17 3.4 Anfangswertprobleme mit separierbaren Dierentialgleichungen Anfangswertbedingungen Dierentialgleichungen beschreiben im Allgemeinen eine Bewegung bzw. einen Verlauf, beachte etwa obiges Beispiel zum radioaktiven Zerfall: d Q d t = r Q(t) Q(t) = c e rt. Das c bestimmt man dann durch Einsetzen von t = 0: Q(0) = c e r0 = c. Das c ist also festgelegt durch die Anfangsbedingung Q(0) = Q 0, das ist die Anfangsmenge des radioaktiven Zerfalls zum Zeitpunkt t = 0. Allgemeiner spricht man von einem Anfangswertproblem, falls man es mit einer Dierentialgleichung und einer Anfangsbedingung zu tun hat, z..b: y = x y, y(0) =. Die Lösung eines allgemeinen Anfangswertproblemes mit einer separierbaren Dierentialgleichung, also von y = f(x) g(y), y(x 0 ) = y 0 erhalten wir wie folgt: Lösung eines AWP mit separierbarer DGL Gegeben ist das AWP y = f(x) g(y), y(x 0 ) = y 0. (i) Bestimme die allgemeine Lösung y = y(x) der DGL y = f(x) g(y) (mit der Integrationskonstanten c) wie oben geschildert. (ii) Bestimme c durch Einsetzen von x 0 in die Lösung aus (i) und Gleichsetzen mit y 0. Beispiel 3.6 Wir betrachten das AWP y = x y, y() =. (i) Die allgemeine Lösung der separierbaren DGL ist laut obigem Beispiel y(x) = x + c.

18 34 3 Einige konkrete Probleme der Höheren Mathematik (ii) Wir berechnen c aus folgender Gleichung: Auösen nach c liefert c =, also ist = y() = + c. y(x) = x + die (eindeutig bestimmte) Lösung des AWP. 3.5 Bestimmung von Grenzwerten bei rekursiv denierten Folgen ###Dieses Problem wird nicht im Vorkurs besprochen, ich wollte es bloÿ nicht rausschmeiÿen, weil ich mir schon die Mühe machte, das alles zu tippen### Eine Folge ist gegeben durch ihre (unendlich vielen) Folgenglieder a, a, a 3, a 4,... Eine übliche Schreibweise ist (a n ) n N oder kürzer (a n ) n oder noch kürzer (a n ). Man unterscheidet zwei Arten von Folgen explizite und rekursive: Bei den expliziten Folgen ist jedes Folgenglied explizit gegeben, z. B.: (n) n = (,, 3,...), ( n ) n = (,, 3,...), ( n n 3 ) n = (0,, 9,...). Bei den rekursiven Folgen bestimmten sich die späten Folgenglieder aus vorherigen, hierbei braucht man Startwerte, z. B.: a =, a n+ = a n +, es gilt (a n ) n = (, 3, 7,...), a =, a =, a n+ = a n + a n, es gilt (a n ) n = (,,, 3,...), a =, a n+ = a n +, es gilt (a n ) n = (, 3, 7,...), Der Folgenbegri ist fundamental in der Mathematik. Auf ihm basieren Begrie wie Stetigkeit, Dierenzierbarkeit, Integrierbarkeit,... Aber Folgen kommen auch im wahren Leben vor. Beispiel aus der Kombinatorik für eine rekursiv denierte Folge... Folgen können konvergieren oder divergieren: Man sagt, eine Folge (a n ) n konvergiert gegen den Grenzwert a, falls: ε > 0 N N : a n a ε n N.

19 3.5 Bestimmung von Grenzwerten bei rekursiv denierten Folgen 35 D. h.: Egal wie klein ε auch sein mag, fast alle Folgenglieder haben einen Abstand von a, der kleiner al ε ist, noch laxer: Die Folgenglieder nähern sich immer mehr dem Grenzwert a an. Eine Folge, die nicht konvergiert, nennt man divergent. Zum Beispiel: (n) n divergiert, ( n ) n konvergiert gegen 0, ( n ) n konvergiert gegen, ( n + n + ) konvergiert gegen, (( )n ) n divergiert. Das Bestimmen von Grenzwerten ist nicht immer ganz einfach. Vor allem bei rekursiven Folgen scheint es sehr schwierig zu sein. Aber tatsächlich ist dem gar nicht so: Wir benutzen einen Satz, den wir nicht beweisen: Satz 3. (Monotoniesatz) Ist (a n ) n eine monotone und beschränkte Folge, so konvergiert a. Bestimmung des Grenzwertes einer rekursiven Folge Das Problem: Gegeben ist eine (konvergente) rekursiv denierte Folge (a n ) n : a =; gesucht ist der Grenzwert von (a n ) n. Die Lösung: Man bestimmt den Grenzwert wie folgt: Zeige, daÿ (a n ) monoton ist. Zeige, daÿ (a n ) beschränkt ist. Stelle die Fixpunktgleichung auf. Bestimme alle Lösungen x,..., x k der Fixpunktgleichung. Entscheide, welche der Zahlen x,..., x k nicht Grenzwert sein können.