12 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 121 Einführende Beispiele und Grundbegriffe Beispiel 1 ( senkrechter Wurf ) v 0 Ein Flugkörper werde zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe s = 0 t = 0 s = 0 mit der Startgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach oben geworfen Zu dieser Bewegung ist das Weg - Zeit - Gesetz s ( t ) gesucht, also die Funktion, die jedem Zeitpunkt t die Höhe s zuordnet, in der sich der Flugkörper befindet Aus der Physik ist bekannt: Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung Die Geschwindigkeit des Flugkörpers zum Zeitpunkt t wird daher durch die Funktion v ( t ) = v 0 - g t ausgedrückt Wegen v ( t ) = s ( t ) gilt daher für das gesuchte Weg - Zeit - Gesetz s ( t ) : Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 1

2 Aus der Physik ist bekannt: Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung Die Geschwindigkeit des Flugkörpers zum Zeitpunkt t wird daher durch die Funktion v ( t ) = v 0 - g t ausgedrückt Wegen v ( t ) = s ( t ) gilt daher für das gesuchte Weg - Zeit - Gesetz s ( t ) : s ( t ) = v 0 - g t Differentialgleichung für die Weg - Zeit - Funktion s ( t ) Durch Integration erhält man hieraus s ( t ) = v 1 0 t - g t 2 + c 2 Es gilt s ( 0 ) = 0 ( dh der Flug beginnt zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe s = 0 ), also v g c = 0 2 c = 0 Das gesuchte Weg - Zeit - Gesetz lautet daher s ( t ) = v 1 0 t - g t 2 2 Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 2

3 Beispiel 2 ( radioaktiver Zerfall ) Der Zerfall einer bestimmten Menge radioaktiven Materials soll durch eine Funktion n ( t ) beschrieben werden, die zu jedem Zeitpunkt t jeweils die Anzahl der noch vorhandenen ( also noch nicht zerfallenen ) Atome des radioaktiven Materials angibt ( dabei wird n ( t ) als diff bare Funktion betrachtet ) Beim radioaktiven Zerfall ist die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome proportional zur Anzahl der noch unzerfallen vorhandenen Atome Mit einem entsprechenden Proportionalitätsfaktor k gilt daher n ( t ) = - k n ( t ) Differentialgleichung für die gesuchte Funktion n ( t ) Diese Differentialgleichung kann nicht durch Integrieren gelöst werden, da sie außer der Ableitung n ( t ) auch die Funktion n ( t ) selbst enthält Mit einer uns noch unbekannten Methode findet man n ( t ) = c e - k t mit c ε R Bezeichnet man die zum Zeitpunkt t = 0 noch unzerfallen vorhandenen Atome mit n 0, so gilt: n ( 0 ) = n 0 c e - k 0 = n 0 c = n 0 n ( t ) = n 0 e - k t Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 3

4 Beispiel 3 ( freie ungedämpfte Schwingung ) Zu einem frei und ungedämpft schwingenden Federpendel soll das Weg - Zeit - Gesetz s ( t ) bestimmt werden Aus der Physik ist bekannt: s = 0 F = - D s ( t ) ( Hooke ) F = m s ( t ) ( Newton ) Daher gilt: m s ( t ) = - D s ( t ) k = D m s ( t ) = - k 2 s ( t ) Differentialgleichung für die freie ungedämpfte Schwingung Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 4

5 s ( t ) = - k 2 Differentialgleichung für die s ( t ) freie ungedämpfte Schwingung Auch diese Differentialgleichung kann nicht durch Integrieren gelöst werden Mit der uns noch immer unbekannten Methode findet man als Lösungsfunktionen s ( t ) = c 1 sin ( kt ) + c 2 cos ( kt ) mit c 1, c 2 ε R Wählt man zb die Startbedingungen s ( 0 ) = 0 ( also Start in der Gleichgewichtsposition ), und s ( 0 ) = k ( also Geschwindigkeit k beim Start ), so gilt: s ( 0 ) = 0 c 1 sin ( k 0 ) + c 2 cos ( k 0 ) = 0 c 2 = 0 s ( 0 ) = k c 1 k cos ( k 0 ) - c 2 k sin ( k 0 ) = k c 1 = 1 Das gesuchte Weg - Zeit - Gesetz lautet also s ( t ) = sin ( kt ) Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 5

6 Grundbegriffe der Differentialgleichungen Eine gewöhnliche Differentialgleichung ( DGL ) für eine gesuchte Funktion y ( x ) enthält mindestens eine Ableitung beliebiger Ordnung dieser Funktion Darüber hinaus dürfen weitere Ableitungen der gesuchten Funktion, die Funktion selbst und die Variable x in der Gleichung auftreten Beispiel 3: m s ( t ) = - D s ( t ) Löst man eine DGL nach der höchsten in ihr auftretenden Ableitung auf, so erhält man die sogenannte explizite Form der DGL Beispiel 3: s ( t ) = - k 2 s ( t ) Die höchste auftretende Ableitungsordnung heißt Ordnung der DGL Die Lösungen dieser DGL en enthalten frei wählbare reelle Konstanten ( c bzw c 1, c 2 ) Die Anzahl dieser Integrationskonstanten entspricht der Ordnung der DGL Die Lösung, die alle Integrationskonstanten enthält, heißt allgemeine Lösung der DGL Außer den Lösungen der allgemeinen Lösung kann eine DGL noch weitere Lösungen haben, nämlich singuläre bzw zusammengesetzte Lösungen Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 6

7 Grundbegriffe der Differentialgleichungen Oft werden zusätzlich zu einer DGL Funktions- und / oder Ableitungswerte an einer festen Stelle angegeben Diese heißen Anfangsbedingung(en); die DGL gemeinsam mit der / den Anfangsbedingungen heißt Anfangswertproblem ( AWP ) Die Anzahl der Anfangsbedingungen entspricht der Ordnung der DGL Die Lösung eines AWP s ist meist eine eindeutig bestimmte Funktion, es gibt aber auch unlösbare bzw mehrdeutig lösbare AWP e Im folgenden werden wir einige Rechenmethoden kennen lernen, mit denen man die Lösungen einer DGL bestimmen kann Diese Methoden sind aber jeweils nur anwendbar, wenn spezifische formale Voraussetzungen erfüllt sind ( daher werden viele derartige Methoden benötigt ) Obwohl die meisten DGL en nicht ( wie etwa Beispiel 1 ) durch normales Integrieren gelöst werden können, sagt man statt Lösen einer DGL auch Integrieren einer DGL Institut für Automatisierungstechnik Prof Dr Ch Bold Analysis 121 Folie 7

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