Lösung II Veröentlicht:

Transkript

1 1 Momentane Bewegung I Die Position eines Teilchens auf der x-achse ist gegeben durch x = 6m 60(m/s)t + 4(m/s 2 )t 2, wobei x in Metern t in Sekunden ist (a) Wo ist das Teilchen zur Zeit t= 0 s? (2 Punkte) (b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Teilchens zu jedem Zeitpunkt und explizit bei t= 3 s (2 Punkte) (c) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Teilchens zu jedem Zeitpunkt und explizit bei t= 3 s? (2 Punkte) 2 Momentane Bewegung I Lösung Die Position eines Teilchens auf der x-achse ist gegeben durch x = 6m 60(m/s)t + 4(m/s 2 )t 2, wobei x in Metern und t in Sekunden angeben wird (a) Die Position des Teilchens bei t= 0 s ndet man, indem man t= 0 s in die obere Gleichung einsetzt. Also x(0)= 6 m. (b) Die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt ist gegeben durch v(t) = dx dt = 60(m/s) + 8(m/s)t Daraus kann leicht ausgerechnet werden, dass die Geschwindigkeit bei t= 3 s v(3) = 36m/s ist. (c) Die Beschleunigung des Teilchens zu einem gegebenen Zeitpunkt ist gegeben durch a(t) = dv dt = 8(m/s3 ) Somit ist die Beschleunigung des Teilchens bei t= 3 s a(3) = 8m/s 2. 3 Durchschnittsgeschwindigkeit und Eektivgeschwindigkeit Lösung Ein Auto fährt entlang einer geraden Straÿe, sagen wir entlang der x-achse, für s 1 =16km mit v 1 =16km/ h. Dann fährt es in die andere Richtung (negative x-achse) für weitere s 2 = 12km 1 / 8

2 mit v 2 =24km/ h. Die benötigte Zeit um diese Strecken s 1 und s 2 zu fahren erhält man aus folgender Gleichung t = Entfernung Effektivgeschwindigkeit Demzufolge braucht das Auto t 1 = 1 hum Strecke s 1 zurückzulegen und t 2 = 0.5 h um Strecke s 2 entlang der negativen x-richtung zurückzulegen. Aus der Denition der gesamten Entfernung und Verschiebung ndet man, dass das Auto eine gesamte Entfernung von s=28km und eine Verschiebung von s=4km zurückgelegt hat. (a) Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf dem ganzen Trip ist deniert durch v av = s t Da die Verschiebung zu s= 4km berechnet wurde, und die ganze verstrichene Zeit t= 1.5 h ist, ist die durchschnittliche Geschwindigkeit v av =2.67km/ h. (b) Die eektive Geschwindigkeit des Autos auf dem ganzen Trip ist deniert durch v eff = s t Die gesamte Entfernung wurde zu s= 28km berechnet, und die verstrichene Zeit ist wieder t= 1.5 h. Also ist die eektive Geschwindigkeit des Autos v eff =18.67km/ h. 4 Zeit und Beschleunigung Ein Auto verringert seine Geschwindigkeit von 200km/ h zu 80km/ h. Dies geschieht auf einer Strecke von 100 m und mit einer konstanten Beschleunigung. (a) Stellen Sie die Gleichungen a(t), v(t) und x(t) (Beschleunigung, Geschwindigkeit, Position) auf, wobei bei t = 0 sec gerade die konstante Entschleunigung ansetzt (bei t = 0 sec fährt das Auto gerade noch 200km/ h) (4 Punkte) Tipp: Da die Beschleunigung konstant ist gilt a(t) = a. Die weiteren Gleichungen erhält man durch Integration über die Zeit. (b) Berechnen Sie den Wert von a mit Hilfe von v(t) und x(t) (2 Punkte) (c) Wie lange dauert es, bis das Auto seine Endgeschwindigkeit von 80km/ h erreicht hat? (2 Punkte) 2 / 8

3 5 Zeit und Beschleunigung Lösung (a) Integration über Konstante: v(t) = at + v 0 v 0 ist die Konstante, die man bei jeder Integration erhält. Diese ist im Text als Anfangsbedingung gegeben: v 0 = 200 km h v(t) = at km h Dies integriert liefert uns die Gelihung für die Position wobei wir die Integrationskonstante 0m wählen, damit das Auto im Ursprung startet. x(t) = 1 2 at km h t (b) Wir schauen uns nun die Gleichungen x(t) und v(t) an, zum Zeitpunkt t in, nach 100 m an. Dann gilt: 100m =x(t in ) = 1 2 at2 in km h t in 80 m s =v(t in) = 200 km h at in t in = v 0 80 km h a Einsetzen von t in in x(tin) liefert: 100m = 1 v 0 80 km v 0 (v 0 80 km 2 a( h a 2 ) + h ) a 100m = 1 2 2a (80km v 2 h 0) 2 a = v0 2 80km h 0, 2km Durch einsetzen der entsprechenden Werte erhält man die Beschleunigung des Autos von km h 2, d.h. 13m/s2. 3 / 8

4 (c) Wir brauchen nur noch v 0 = 200 km h und a = km/h2 in t in = v 0 80 km h a einzusetzen. Man erhält t in = 2.57s 6 Konstante Beschleunigung II Ein Ball wird senkrecht vom Boden in die Luft geworfen und hat dabei eine Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/ s (a) Wie lange dauert es, bis der Ball wieder den Boden berührt? (3 Punkte) (b) Wie hoch iegt er maximal? (3 Punkte) (c) Wie hoch ist der Ball 2 s bevor er wieder den Boden berührt? (3 Punkte) 7 Konstante Beschleunigung II Lösung Ein Ball wird senkrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 =50 m/ s vom Boden aus in die Luft geworfen. Die Beschleunigung, die auf den Ball wirkt ist die Erdbeschleunigung. Betrachtet man die Richtung der Bewegung als positive Richtung ndet man a = g = 10m/s 2 (a) Da die Beschleunigung konstant ist, ist die Zeit die der Ball braucht den Boden wieder zu erreichen zwei mal die Zeit, die er braucht um die maximale Höhe zu erreichen. Bei der maximalen Höhe ist de Geschwindigkeit null ( v f = 0) benutzt man die Denition der Beschleunigung, ndet man t = v 0 g Also erreicht der Ball seine maximale Höhe h nach 5 s. Der komplette Flug dauert doppelt solange, daher braucht der 10 s um den Boden wieder zu berühren. (b) Oben wurde berechnet, dass der Ball 5 s braucht, um die maximale Höhe h zu erreichen. Unter Verwendung folgender Relation h = v gt2 oder h = v2 0 2g ndet man, dass die maximale Höhe, die der Ball erreicht 125 m ist. 4 / 8

5 (c) Nehmen wir an, der Ball bendet sich bei seiner maximalen Höhe h, wo seine Geschwindigkeit null ist. Gemäÿ unseren Berechnungen von oben braucht der Ball 5 s um den Boden wieder zu erreichen. Oensichtlich bedeutet dann 2 s bevor er den Boden erreicht 3 s nachdem er die maximale Höhe erreicht hat. Benutzt man die Formel für die Höhe h = 1 2 gt2 sieht man, dass die Entfernung, die der Ball 3 s nachdem er die maximale Höhe erreicht hat h =45 m ist (in der oberen Gleichung ist g positiv, da die Richtung der Bewegung in positive Richtung aufgefasst wird). Daher ist die Höhe des Balls 2 s bevor er den Boden berührt 80 m. Abbildung 1: Skizze der Bewegung des Balls Alternative Lösung: (a) Gehen wir wie in Aufgabe Zeit und Beschleunigung vor. Hier erfährt der Ball als Beschleunigung die Erdbeschleunigung g 10 m s 2 die genau entgegengesetzt zur Richtung des Wurfes ist, also wieder entschleunigend wirkt. Die Gleichung für die Beschleunigung lautet wieder: a(t) = g Integration über die Zeit diese Konstante Liefert die Gelichung für die Geschwindigkeit: v(t) = gt + v 0 5 / 8

6 Wobei v 0 hier gegebn ist als 50 m/ s. v(t) integriert ergibt die Gleichung für die Höhe, wobei wir ausgehen, dass der Boden(Zeitpunkt t=0s) die Höhe h 0 = 0m hat. h(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + h 0 = 1 2 gt2 + v 0 t Wenn wir nun die Nullstellen von h(t) berechnen erhalten wir alle Zeitpunkte an denen der Ball am Boden ist. Es sind genau zwei, einmal bei t=0 und einmal bei t = 2v 0 g 10s (b) Berechne Extremwert von h(t) bzw. schaue dir an, wann Geschwindigkeit Null ist. Setze den Extremwert t in h(t) ein um die maximale Höhe zu bekommen. t = v 0 g = 5s h(5s) = 125m (c) 10s 2s = 8s h(8s) = 80m 6 / 8