Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik

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1 Fakultät für Physik Wintersemester 26/7 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 7 / Wegintegral Gegeben sei das Vektorfeld A( r) = ay ax. Berechnen Sie das Wegintegral A( r)d r in der x-y-ebene entlang folgender Wege W zwischen dem Punkt W r = und r 2 = (siehe auch Abbildung ): Abbildung : Unterschiedliche Wege zur Berechnung des Wegintegrals (a) W entlang der geradenverbindungslinie zwischen den beiden Punkten, parametrisiert t durch s (t) = t W A( r)d r = A( s ) d s dt dt = = at a( t) dt ( 2at + a)dt = [ at 2 + at ] = (b) W 2 entland des Viertelkreises durch beide Punkte, parametrisiert durch cos( π 2 t) s 2 (t) = sin( π 2 t) W 2 A( r)d r = A( s 2 ) d s 2 dt dt = = asin( π 2 t) acos( π 2 t) π 2 sin( π 2 t) π 2 cos( π 2 t) dt aπ 2 ( sin2 ( π 2 t) + cos2 ( π 2 t))dt =

2 Daß das letzte Integral Null ergibt kann man mit Hilfe der Regel zur partiellen Integration relativ leicht herleiten, über (sinx) (cosx) dx = (sinx)(cosx) (sinx)(cosx) dx Alternativ schlägt man eine Formel dafür im Bronstein nach. 2. Vollkommen elastischer Stoß Zwei Teilchen mit den Massen m = m und m 2 = 3m stoßen vollkommen elastisch zentral zusammen. Vor dem Stoß sollen beide Teilchen eine entgegengesetzt gleiche Geschwindigkeit haben, also v i = v 2i = v. (a) Stellen Sie den Energieerhaltungssatz auf und setzen Sie die Angaben ein. 2 m v 2 i + 2 m 2v 2 2i = 2 m v 2 f + 2 m 2v 2 2 f () 4v 2 = v 2 f + 3v2 2 f (2) (b) Stellen Sie den Impulserhaltungssatz auf und setzen Sie die Angaben ein. m v i + m 2 v 2i = m v f + m 2 v 2 f (3) 2v = v f + 3v 2 f (4) (c) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v f und v 2 f nach dem vollkommen elastischen Stoß? Leiten Sie diese mit Hilfe von (a) und (b) her! Aus 4 folgt Einsetzen in 2 und Ausmultiplizieren ergibt v f = 2v 3v 2 f (5) = v 2 f (2v + 2v 2 f ) (6) v 2 f = oder v 2 f = v (7) Da vor dem Stoß v 2i = v gilt, muss die Geschwindigkeit nach dem Stoß v 2 f = sein. Damit erhält man v f = 2v. (8) 3. Billiardkugel Eine Billardkugel mit einer Geschwindigkeit u trifft reibungsfrei auf eine zweite, ruhende Billardkugel, welche um den halben Kugeldurchmesser versetzt zur Bewegungsrichtung still steht (vgl. Abbildung 2). Wir nehmen an, daß ein perfekt elastischer Stoß stattfindet. (a) Stoßen sich die Kugeln im rechten Winkel ab? Wenn ja, warum?

3 Abbildung 2: Nicht zentraler Stoß zweier Kugeln mit gleicher Masse Impulserhaltung: m u = m v + m v 2 u = v + v 2 u 2 = v 2 + v v v 2 E kin,vorher = E kin,nachher + m v v 2 Die Verformungsenergie verschwindet genau dann wenn, v und v 2 senkrecht zueinander stehen oder mindestens einer der beiden Vektoren gleich ist. (b) Bestimmen Sie Richtung und Geschwindigkeit beider Kugeln nach dem Stoß Hinweis: Fertigen Sie eine Skizze an, mit allen relevanten Vektoren und Winkeln Abbildung 3: Lösungsskizze zur Aufgabe 3b) Aus der räumlichen Anordnung der Kugeln bei Berührung, siehe Skizze, ist klar, daß α 2 = 3 gelten muß. Mit a) folgt α = 6. Impulserhaltung in x-richtung: u = v,x + v 2,x Impulserhaltung in y-richtung: v,y = v 2,y Insgesamt folgt (siehe Skizze) v = u cosα = 2 u 3 v 2 = u cosα 2 = 2 u

4 4. Inelastischer Stoß: Kleinstwagen gegen Geländewagen Wir schauen uns zwei Fahrzeugtypen an, einen Kleinstwagen und einen Geländewagen. (a) Berechne die kinetische Energie, die die zwei Fahrzeuge mit den Massen m = 9kg und m 2 = 2,7t bei einer Geschwindigkeit von 5km/h besitzen. Kleinstwagen: E kin = 86,8kJ Geländewagen: E kin = 26,4kJ (b) Auf welche Höhe könnten sie mit dieser Energie im als konstant angenommenen Schwerefeld der Erde (g = 9,8 m/s 2 ) angehoben werden? Daraus folgt mgh = E pot = E kin h max = v2 2g Die Massen kürzen sich heraus, für beide Fahrzeuge ergibt sich h max = 9,83m. Umgekehrt bedeutet dies, dass beim Sturz aus etwa m Höhe eine Geschwindigkeit von 5 km/h erreicht werden kann. Die zwei Autos prallen nun frontal zentral aufeinander in einem inelastischen Stoß. Dabei verkeilen sie sich so, daß sie nach dem Stoß mit gemeinsamer Geschwindigkeit v weiterrollen. Vor dem Stoß gilt: v = v 2 = 5 km/h. m = 9 kg, m 2 =2,7 t. (c) Stellen Sie die Gleichungen für Energie- und Impulserhaltung auf! (I) Impulserhaltungssatz: (II) Energieerhaltungssatz: (m + m 2 )v = m v + m 2 v 2 = (m m 2 )v 2 (m + m 2 )v 2 = 2 m v m 2v Q (d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v nach dem Stoß! Umformung von Gleichung (I): m m 2 m + m 2 v = v v = 25km/h = 6.9m/s D.h. der Geländewagen und der Kleinstwagen bewegen sich mit halbierter Geschwindigkeit in die ursprüngliche Bewegungsrichtung des Geländewagens! (e) Wieviel kinetische Energie geht verloren, wird also in Verformungsenergie oder Wärme umgewandelt?

5 Kinetische Energie nach dem Stoß: E kin = 2 (m + m 2 )v 2 = 86,8 kj Kinetische Energie vor dem Stoß (aus Aufgabe 3a): E kin = 26,4kJ + 86,8kJ = 347,2kJ Umgewandelte Energiemenge: Q = 26,4kJ (f) Berechnen Sie die Impulsänderungen p und p 2 der beiden Autos. p = m v m v = m (v v ) = 875kg m s p 2 = m 2 v m 2 v 2 = m 2 (v v 2 ) = 875kg m s Die Impulsänderungen addieren sich zu Null, denn die Fahrzeuge tauschen nur einen Teil ihrer Impulse aus (abgeschlossenes System ohne äußere Kräfte).