Impuls- und Energieerhaltungssatz, Stoßgesetze

Transkript

1 Impuls- und Energieerhaltungssatz, Stoßgesetze Gruppe 4: Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack Betreuerin: Natalia Podlaszewski 6. Januar

2 Inhaltsverzeichnis 1 Impuls- und Energieerhaltungssatz, Stoßgesetze Messung von Geschwindigkeiten auf der Grundlage der Impulserhaltung Schiefe elastische Stöße auf einem Luftkissentisch Anhang Quellcode Versuch a Quellcode Versuch b

3 1 Impuls- und Energieerhaltungssatz, Stoßgesetze 1.1 Messung von Geschwindigkeiten auf der Grundlage der Impulserhaltung In diesem Versuch soll die Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel bestimmt werden. Dazu wird mit einem Luftgewehr auf ein Pendel geschossen, welches daraufhin anfängt zu schwingen. Folgende Skizze soll dabei den Aufbau verdeutlichen: Abbildung 1: Aufbau zur Bestimmung der Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel Aus der Periodendauer des Pendels kann nun die Geschwindigkeit der Kugel mit folgender Gleichung bestimmt werden: v M + m m 2π T s (1) Wwbei M die Masse des Pendelkörpers darstellt, m die Masse der Gewehrkugel, T die Periodendauer des Pendels und s die maximale Auslenkung des Pendels. Der Pendelkörper besteht aus einem mit Sand gefüllten Zylinder, der ein mit Klebeband verschlossenes Loch besitzt. Dieses befindet sich mittig im Zylinder und auf dieses Loch wird geschossen. Die Kugel trifft somit mittig auf den Pendelkörper und verharrt in ihm. Dadurch haben nach dem Eintritt Kugel und Pendelkörper die gleiche Geschwindigkeit und es handelt sich somit um einen vollkommenen zentralen inelastischen Stoß. Dabei ist es wichtig, den Zylinder jeweils mittig zu treffen, damit die gesamte Energie in eine gerade Pendelbewegung umgesetzt werden kann und der Zylinder nicht beginnt, seitwärts zu schwingen. Der Versuch wird 10 mal pro Pendelkörper durchgeführt, sodass 3

4 zehn Kugeln verschossen werden. Da sich das Gewicht des Zylinders im Laufe des gesamten Versuchs jeweils um eine Kugelmasse erhöhen würde, werden zu Anfang 9 Kugeln auf dem Pendelkörper befestigt. Nach dem ersten Schuss wird daraufhin eine Kugel vom Pendelkörper entfernt und in den Zylinder geschossen, sodass sich permanent 9 Kugeln im bzw. auf dem Zylinder befinden und eine auf ihn geschossen wird. Für die Masse M ergibt sich somit: M = M Pendelkoerper + 9m (2) Zur Bestimmung der Kugelmasse wurden 10 Kugeln gewogen, sodass sich eine mittlere Masse m = 0, 467g ergibt. Insgesamt wurde der Versuch mit zwei verschiedenen Pendelkörpern durchgeführt, sodass sich folgende Messergebnisse ergeben haben (die Periodendauer wurde jeweils über 10 Periodendauern gemittelt): M 1 / g T 1 / s s 1 / cm M 2 T 2 / s s 2 / cm 790,75 3,08 4,0 979,65 3,05 3,2 3,06 4,3 3,05 3,4 3,07 4,0 3,06 3,4 3,05 3,9 3,07 3,3 3,07 4,1 3,07 3,3 3,09 4,2 3,09 3,1 3,08 4,3 3,08 3,3 3,07 4,4 3,08 3,2 3,07 4,0 3,07 3,4 3,07 4,2 3,05 3,4 Tabelle 1: Messwerte zur Bestimmung der Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel Es ergeben sich daraus wiederum folgende Mittelwerte: T 1 = 3,07s (3) T 2 = 3,07s (4) s 1 = 4,1cm (5) s 2 = 3,3cm (6) woraus sich wiederum mit Gleichung (1) folgende Geschwindigkeiten ergeben: 790,75g + 0,467g 2π v 1 0, 467g 3,07s 4, m 142,2m/s (7) 979,65g + 0,467g 2π v 2 0, 467g 3,07s 3, m 141,8m/s (8) 4

5 Die ermittelten Geschwindigkeiten weisen keine große Differenz auf, allerdings weichen sie von der erwarteten Geschwindigkeit v = 150m/s um fast 10m/s ab. Eine mögliche Erklärung dafür ist die Zeitmessung, die durch einen Menschen durchgeführt wurde und so die Reaktionszeit des Zeitnehmers beinhaltet. Ein weiterer Punkt für eine Messungenauigkeit ist der Versuchsaufbau. Dadurch, dass sich nach dem ersten Schuss ein Loch im Klebestreifen befindet, fällt nach jedem weiteren Schuss etwas Sand aus dem Zylinder. Allerdings ist die Geschwindigkeit proportional zur Masse des Zylinders, d.h. würde man den verlorenen Sand berücksichtigen, würde man eine noch geringere Geschwindigkeit erhalten. 1.2 Schiefe elastische Stöße auf einem Luftkissentisch Nachdem im vorherigen Kapitel der vollkommen unelastische Stoß behandelt wurde, geht es in diesem Versuchsteil darum, elastische Stöße zu untersuchen. Ein vollkommen elastischer Stoß kennzeichnet sich dadurch aus, dass die kinetische Energie vor und nach dem Stoß identisch ist, also keine Energie in Wärme oder Verformung umgewandelt wird. Um dieses zu untersuchen, werden zwei Versuche mit jeweils zwei magnetischen Airhockey Pucks (m 1 = 169,62g m 2 = 169,51g) auf einem Luftkissentisch durchgeführt. Versuch a: Ein Puck wird auf dem Luftkissentisch in eine Ruhelage gebracht, während man einen anderen, nahezu gleichschweren, Puck auf diesen zustößt: Abbildung 2: Zwei gleiche Massen, eine ruht, die andere bewegt sich auf diese zu. Dabei muss darauf geachtet werden, dass der Puck nicht zu stark gestoßen wird, da sich die beiden Pucks nicht berühren sollten, sondern lediglich durch ihr Magnetfeld abgestoßen werden sollten. Versuch b: Ein Puck wird mit zwei Gewichten bestückt. Nun werden die zwei, unterschiedlich schweren, Pucks aufeinander zugestoßen: 5

6 Abbildung 3: Zwei unterschiedliche Massen werden aufeinander zu bewegt Auch hierbei sollten beide Pucks nur so stark bewegt werden, dass sie sich lediglich durch ihr Magnetfeld vonander abstoßen. Um die Stöße auswerten zu können, wird unter Stroboskoplicht jeweils ein Foto des Versuchs gemacht. Dabei wird das Bild solange belichtet, wie der Versuch andauert. Es ergeben sich so folgende Bilder: Abbildung 4: Zwei unterschiedliche Massen werden aufnander zu bewegt Abbildung 5: Zwei unterschiedliche Massen werden aufnander zu bewegt Das Stroboskop wurde dabei mit Hilfe eines Oszilloskops so eingestellt, dass es eine Periodendauer von T = 120ms hat. Das bedeutet die Aufnahmen der einzelnen Pucks in den Bildern liegen jeweils 120ms auseinander. Mit Hilfe eines 6

7 Bildbearbeitungsprogramms wie MS Paint und der Periodendauer T können nun aus den Fotos die Impulse der einzelnen Pucks bestimmt werden. Da der Versuch in der Theorie einen elastischen Stoß beschreibt, müssen die Summe der Impulse vor und nach dem Stoß identisch sein. Die Bestimmung der Impulse wird mit Hilfe von Matlab durchgeführt. Im folgenden wird die Bestimmung des Impulses vom roten Puck aus Bild?? exemplarisch gezeigt, der komplette Quellcode ist im Anhang zu finden. Zunächst muss ein Umrechnungsfaktor bestimmt werden, mit dem eine Pixellänge in eine Meterangabe umgerechnet werden kann. Dazu wird in MS Paint der Pixeldurchmesser eines Pucks bestimmt. Dieser beträgt exakt 100 Pixel und in Wirklichkeit gemessene 8,9cm, sodass sich als Umrechnungsfaktor M ergibt: M = Pixel Meter = 100 = 8,9 (9) 0,089 Als nächstes werden die Koordinaten zweier Puckaufnahmen vor dem Stoß auf den ruhenden Puck bestimmt: x 11 = 1366 (10) y 11 = 1302 (11) x 12 = 1169 (12) y 12 = 1200 (13) Daraus kann nun der jeweilige Ortsvektor r bestimmt werden (in Meter umgerechnet): r 11 = r 12 = ( x11 y 11 ( x12 y 12 ) 1,2157 : M = 1, 1588 ) 1,0404 : M = 1, 0680 (14) (15) und aus dem Ortsvektor wiederum der entsprechende Impuls p, wobei m die Masse des Pucks darstellt, T die Periodendauer des Stroboskoplichts und n die Anzahl Stroboskopblitze, die zwischen den beiden Puckaufnahmen liegen. In diesem Fall ist die zweite Puckaufnahme, von der die Koordinaten bestimmt wurden, 2 Blitze später: p 1 = r 12 nt r 11 m = So ergibt sich der Impuls des roten Pucks als Vektor. 0,1239 kg m s 1 (16) 0,

8 Insgesamt haben sich in diesem Versuch (Versuch a, zwei gleiche Massen, ein Puck ruht) folgende Werte ergeben: 0,1239 p 1 = kg m s 1 (17) 0, p 2 = kg m s 1 (18) 0 0,0503 p 1 = kg m s 1 (19) 0, ,0616 p 2 = kg m s 1 (20) 0, 0944 Die Gesamtimpulse vor und nach dem Stoß unterscheiden sich somit um 0, , 0069 Für den Versuch b (zwei unterschiedliche Massen, beide bewegen sich aufnander zu) ergeben sich folgende Werte: woraus sich wiederum eine Differenz von 0,0855 p 1 = kg m s 1 (21) 0, ,1022 p 2 = kg m s 1 (22) 0, ,0365 p 1 = kg m s 1 (23) 0, ,1281 p 2 = kg m s 1 (24) 0, ,0131 kg m s 0, ergibt. Wie man erkennen kann, ist bei beiden Versuchen Energie in Reibung oder Verformung umgewandelt worden, was zeigt, dass ein vollkommen elastischer Stoß kaum realisierbar ist. Eine weitere Auswertmöglichkeit von Versuch a bietet der Streuwinkel φ der resultierenden Impulse. Wie im Bild schon zu erkennen ist, ist dieser näherungsweise 90. Bei einem vollkommenen schiefen elastischem Stoß wäre dieser exakt 90. Da das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehenden Vektoren 0 ergibt, kann die Auswertung ebenfalls über das Skalarprodukt erfolgen. Dieses wird in Matlab mit der Funktion dot() errechnet und liefert für Versuch a folgenden Wert: p 1 p 2 = (25) woraus sich folgender Winkel ergibt: 8

9 φ = arccos p 1 p 2 p 1 p = 86,74 (26) 1 Der tatsächliche Streuwinkel weicht also 3,26 vom theoretischen Winkel ab. 9

10 2 Anhang 2.1 Quellcode Versuch a close all; clear all; %Gleiche Massen, ein Puck ruht, Referenzdatei: gleichemassen1.jpg % Periodendauer Stroboskop T = 120*10^(-3); % Anzahl Stroboskopblitze n = 2; % Umrechnung Pixel --> Meter M = 100/0.089; % Masse der Puks m = ; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 x11 = 1366; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später x12 = 1169; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 y11 = 1302; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später y12 = 1200; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 x21 = 948; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später x22 = 948; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 y21 = 1033; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später y22 = 1033; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 x11s = 946; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später x12s = 866; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 y11s = 1149; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später y12s = 1208; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 x21s = 885; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später 10

11 x22s = 787; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 y21s = 945; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später y22s = 795; r11 = [x11;y11]/m; r12 = [x12;y12]/m; p1 = ((r12-r11)/(n*t))*m; r21 = [x21;y21]/m; r22 = [x22;y22]/m; p2 = ((r22-r21)/(n*t))*m; r11s = [x11s;y11s]/m; r12s = [x12s;y12s]/m; p1s = ((r12s-r11s)/(n*t))*m; r21s = [x21s;y21s]/m; r22s = [x22s;y22s]/m; p2s = ((r22s-r21s)/(n*t))*m; pges = p1 + p2; psges = p1s + p2s; delta_p = pges-psges ska = dot(p1s,p2s) 11

12 2.2 Quellcode Versuch b close all; clear all; %Verschiedene Masse, beide Pucks bewegen sich aufnander zu; Referenzdatei: %verschiedenemassen3.jpg % Periodendauer Stroboskop T = 120*10^(-3); % Anzahl Stroboskopblitze n = 2; % Umrechnung Pixel --> Meter M = 100/0.089; % Masse des schwarzen Puks (Puck 1) m1 = ; % Masse des roten Puks + Gewichte (Puck 2) m2 = ; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 (schwarz) x11 = 1416; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später x12 = 1280; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 y11 = 1282; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später y12 = 1208; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 x21 = 1380; % X-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später x22 = 1235; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 y21 = 918; % Y-Komponente vor dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später y22 = 1017; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 (schwarz) x11s = 1134; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später x12s = 1076; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 y11s = 1219; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 1 nt Zeitpunkte später y12s = 1284; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 x21s = 976; % X-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später 12

13 x22s = 780; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 y21s = 1060; % Y-Komponente nach dem Stoß von Puck 2 nt Zeitpunkte später y22s = 1029; r11 = [x11;y11]/m; r12 = [x12;y12]/m; p1 = ((r12-r11)/(n*t))*m1 r21 = [x21;y21]/m; r22 = [x22;y22]/m; p2 = ((r22-r21)/(n*t))*m2 r11s = [x11s;y11s]/m; r12s = [x12s;y12s]/m; p1s = ((r12s-r11s)/(n*t))*m1 r21s = [x21s;y21s]/m; r22s = [x22s;y22s]/m; p2s = ((r22s-r21s)/(n*t))*m2 pges = p1 + p2; psges = p1s + p2s; delta_p = pges-psges ska = dot(p1s,p2s); 13