Übungsaufgaben zum Thema Impuls und Impulserhaltung Lösungen

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1 Übungsaufgaben zum Thema Impuls und Impulserhaltung Lösungen 1. Eine Lore mit der Masse 800 kg fährt mit 1,5 m/s durch ein Bergwerk. Während der Fahrt fallen von oben 600 kg Schotter in die Lore. Mit welcher Geschwindigkeit geht die Fahrt weiter? Es gilt der Impulserhaltungssatz. Die Stoßpartner sind einmal die Lore mit ihrer Geschwindigkeit und als zweites der Schotter, der sich in Fahrtrichtung mit der Geschwindigkeit Null bewegt. Nach dem Stoß bewegen sich beide zusammen mit der Geschwindigkeit, die wir suchen. Es handelt sich damit um einen unelastischen Stoß. Also: v 1 v 2 u mit 800kg m 2 600kg v 1 1,5 m s v 2 0 m s Umgestellt nach u: u m v m v 800kg 1,5 m s 600kg 0 m s 800kg 600kg u 1200 m 1400 s u 0,86 m s

2 2. Ein Versuchswagen stößt elastisch mit einer Geschwindigkeit von 0, 5 m/s auf einen zweiten, ruhenden Wagen. Beide Wagen haben die Masse m 200 g. a) Welche Geschwindigkeiten weisen die Wagen nach dem Stoß auf? Bei einem zweiten Versuch wird der zweite, ruhende Wagen mit eine Zusatzmasse von 100 g beschwert. b) Berechne die Geschwindigkeiten nach dem Stoß für diesen Fall. c) Wie muss das Verhältnis der Massen der Wagen sein, damit beide Wagen nach dem Stoß die gleiche, aber entgegengerichtete Geschwindigkeit haben? Die Geschwindigkeiten vorher sind die gleichen wie in a) und b). Es handelt sich um einen elastischen Stoß. Wir können die Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß aus dem Tafelwerk übernehmen. a) Wenn wir allerdings feststellen, dass die Massen der Wagen gleich sind, können wir schon schreiben, dass die Wagen ihre Geschwindigkeiten austauschen. Damit hat Wagen 1 die Geschwindigkeit 0 m/s und Wagen 2 die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Also: u 1 0 m/s ; u 2 0,5 m/s b) Hier benötigen wir die Formeln: u 1 2m 2 v 2 m 2 v 1 mit : 200g 0,2kg m 2 0,3kg v 1 0,5 m s u 2 2 v 1 m 2 v 2 v 2 0 m s Daraus folgt: 2 0,3kg 0 m s 0,2 kg 0,3kg 0,5 m s u 1 0,2kg 0,3kg 0,05 0,5 m s 0,1 m s 2 0,2kg 0,5 m s 0,3kg 0,2kg 0 m s u 2 0,2kg 0,3kg 0,2 m 0,5 s 0,4 m s u 1 0,1 m s ; u 2 0,4 m s

3 c) Es soll gelten: u 1 u 2 2m 2 v 2 m 2 v 1 2 v 1 m 2 v 2 m 2 v 1 2 v 1 m 2 2 m 2 3 m Die Massen und m 2 müssen sich wie 1 zu 3 verhalten.

4 3. Aus einem 4 kg schweren Gewehr wird eine Kugel der Masse 10 g mit v 400 m/s abgeschossen. a) Welche Rückstoßgeschwindigkeit hat das Gewehr? Die Kugel trifft auf einen 390 g schweren Holzblock und bleibt stecken. b) Wie schnell bewegt sich der Holzblock nach dem Treffer? c) Wie groß ist die Beschleunigung des Blocks, wenn die Kugel in t 0,1 s in das Holz einschlägt? Der Holzblock liegt auf einer asphaltierten Straße. Damit beträgt der Reibkoeffizient zwischen Holz und Straße f 0,65. d) Wie weit kann der Holzblock nach dem Einschlag noch rutschen? a) Was die Kugel als Impuls erhält, muss auch das Gewehr erhalten, nur mit umgekehrten Vorzeichen (Impulserhaltung). Also: m K v K m G v G v G m K v K 10 g m G 4000 g 400 m s v G 1 m s b) Hier liegt ein unelastischer Stoß vor, da Kugel und Holzblock sich gemeinsam bewegen.ir können also die Formel für die Geschwindigkeit nach dem Stoß heranziehen: u m K v K m H v H m K m H 10g 400 m s 390 g 0 m s u 10 g 390g 4000 g m s 400g u 10 m s c) Wir betrachten die Impulsänderung des Holzblocks: p v 0Ns, da der Block still steht p n 3,9Ns, wegen p m H v H 0,39kg 10 m s Also : p 3,9Ns Wir wissen, dass folgendes gilt: F p t und F m a

5 Für die Beschleunigung a können wir also schreiben: a p t m a p m t a 100 m s 2 3,9Ns 0,39 kg 0,1 s Alternativ kann man die Beschleunigung auch berechnen, indem man erkennt, dass der Holzblock seine Geschwindigkeit von 10 m/s in der Zeitspanne 0,1 s erlangt. Also: a v 10 m t s 0,1s a 100 m s 2 d) Zum Abbremsen ist eine Beschleunigung notwendig. Also können wir auf die Formeln zur beschleunigten Bewegung zurückgreifen: s 1 2 a t2 und v a t Aus den Formeln wollen wir die Zeit eliminieren: s 1 2 a v 2 a v2 2a Für a müssen wir uns überlegen, dass natürlich auch hier gilt: F m a. Also: s v2 2a v2 2 F m Die Kraft F kann nur die Kraft sein, die den Block abbremst, also die Reibkraft: F R F G f. Da nichts anderes angegeben ist, gehen wir von einer ebenen Straße aus. Es ist also F N F G. s s v 2 2 F m v2 2 g f v 2 2 m g f m 100 m2 s 2 2 9,81 m s 2 0,65 s 7,84m

6 4. Ein Junge tritt gegen einen 450 g schweren Stein. Während der Zeitspanne von 0,01 s wird der Stein von 0 auf 10 m/s beschleunigt. a) Welche Kraft erfährt der tretende Fuß? Jetzt tritt der Junge gegen einen 450 g schweren Fussball und beschleunigt diesen ebenfalls von 0 auf 10 m/s. Durch die Elastizität des Balls dauert der Schuss jedoch 0,1 s. b) Welche Kraft erfährt der Fuß diesmal? a) Es gilt: F p t p p 0,45kg 10 m n v 0,01s s 0Ns 0,01s F 450N b) Hier verändert sich nut die Zeitspanne: 0,45kg 10 m s 0Ns F 0,1s F 45N Er erfährt also nur ein Zehntel der Kraft im Vergleich zum Steintritt (tut also nicht so weh).

7 5. Auf einem ruhenden Wagen (m 130 kg) steht ein Mann (m 65 kg). Neben ihm liegen zwei Stein mit der Masse von jeweils 5 kg. Der Mann stößt in einer Viertelsekunde einen Stein mit einer Kraft von 80 N horizontal nach hinten vom Wagen. a) Welche Beschleunigung erfährt der Stein? b) Welche Geschwindigkeit haben Stein und Wagen nach dem Stoß? Der Mann stößt in gleicher Weise auch den zweiten Stein vom Wagen. c) Wie groß sind die Geschwindigkeiten vom zweiten Stein und vom Wagen jetzt? a) Der Stein hat eine Masse von 5 kg und wird mit 80 N nach hinten gestoßen. Also: F m a a F m a 80N 5kg a 16 m s 2 Die Beschleunigung ist nach hinten gerichtet. b) Es gilt die Bewegungsgleichung: v a t v 0 v 16 m s s 0 m s v 4 m s Die Geschwindigkeit ist ebenfalls nach hinten gerichtet und in diese Richtung als positiv gewertet. Für die Geschwindigkeit des Wagens nutzen wir den Impulserhaltungssatz: m W v W m St v St 0 Erklärung: Der Impuls nachher ist links notiert (Impuls Wagen plus Impuls Stein), der Impuls vorher ist rechts und gleich Null (nichts bewegt sich). Weiter: m W v W m St v St 0 m W v W m St v St v W m St v St m W 5kg 4 m s 200kg v W 0,1 m s Zur Masse des Wagens: Sie setzt sich aus den 130 kg für den Wagen selbst, den 65 kg für die Person darauf und den 5 kg des verbliebenen zweiten Steins zusammen. Die Geschwindigkeit des Wagens ist also der Geschwindigkeit des gestoßenen Steins entgegengerichtet.

8 c) Der zweite Stein wird mit der gleichen Kraft nach hinten gestoßen und erhält damit auch die gleiche Beschleunigung. Für die Geschwindigkeit gilt auch hier: v a t v 0 v 16 m s s 0,1 m s v 3,9 m s Die Geschwindigkeit des Wagens erhalten wir wieder aus der Impulserhaltung. Der Impuls nachher auf der linken Seite mit dem zusätzlichen Index n und der Impuls vorher auf der rechten Seite mit dem zusätzlichen Index v: m W, n v W, n m St,n v St,n m W, v v W,v m St, v v St,v Wir wollen erstmal notieren, welche Werte wir hier vorliegen haben: m W, n 195kg m W, v 200kg m St,n m St, v 5kg v W,n ist die Aufgabe v W, v 0,1 m s v St, n 3,9 m s Damit können wir die Formel umstellen und die Werte einsetzen: m W,n v W,n m St, n v St, n m W,v v W, v m St,v v St,v v St,v 0,1 m s v W, n v W, n m W, v v W,v m St, v v St,v m St, n v St,n m W,n 200kg 0,1 m s 5kg 0,1 m s 5 kg 3,9 m s v W, n 0,21 m s 195kg

9 6. Herr Schlaumeier möchte ballistische Messungen machen. Dafür hängt er ein quaderförmiges Brett der Masse 2 kg an einem ein Meter langen Faden auf. Er schießt mit einem Gewehr eine 10 g schwere Kugel mit 400 m/s auf das Brett. Leider durchschlägt die Kugel das Brett, das dabei u2 ausgelenkt wird. a) Bestimme die Geschwindigkeit des Bretts unmittelbar nach dem Durchschlag. b) Wie schnell ist die Kugel nach dem Durchschlag? c) Wieviel mechanische Energie wird bei diesem Vorgang in innere Energie umgewandelt? d) Um welchen Winkel wäre das Brett ausgelenkt worden, wenn die Kugel im Brett steckengeblieben wäre? a) Die Geschwindigkeit des Bretts können wir nicht exakt mit den Formeln für die Geschwindigkeiten nach einem Stoß errechnen, da wir keinen reinen elastischen oder unelastischen Stoß vorliegen haben. Wir können auch nicht die Impulserhaltung heranziehen, da wir neben der Geschwindigkeit des Bretts auch die der Kugel nach dem Stoß nicht kennen. Wir können allerdings aus der Auslenkung des Bretts die Steighöhe bestimmen und dann mit der Energieerhaltung auf die Geschwindigkeit schließen. Eine Skizze: Aus der Skizze folgt: cos l h l l cos l h l cos l h h l l cos h l 1 cos l-h α l Jetzt können wir den Energieerhaltungssatz aufschreiben: E kin, Brett E pot, Brett 1 2 m v2 m g h v 2 g h v 2 g l 1 cos v 2 9,81 m s 2 1m 1 cos 12 v 0,65 m s Das Brett hat eine Geschwindigkeit von 0,65 m/s.

10 b) Die Geschwindigkeit der Kugel können wir jetzt aber mit der Impulserhaltung berechnen, da wir nun die Geschwindigkeit des Bretts kennen: m B,n v B,n m K, n v K,n m B, v v B, v m K,v v K,v v K,n m B,v v B,v m K, v v K, v m B,n v B,n m K,n 2kg 0 m s 0,01kg 400 m s 2kg 0,65 m s v K,n 0,01 kg v K, n 270 m s c) Für die Berechnung der verlorenen Energie müssen wir die Gesamtenergie nach dem Stoß von der Gesamtenergie vor dem Stoß abziehen: E 1 2 2kg 0 m 2 s E 435J E E G,v E G, n E 1 2 m v 2 B B 1 2 m v 2 K K 1 2 m v 2 B, n B,n 1 2 m v 2 K, n K,n 1 2 0,01kg 400 m 2 s 1 2 2kg 0,65 m 2 s 1 2 0,01kg 270 m 2 s d) Wenn die Kugel im Brett stecken bleibt, handelt es sich um einen unelastischen Stoß und wir könenn die Geschwindigkeit des Bretts mit Kugel nach dem Stoß berechnen: u m B,v v B, v m K,v v K, v m B K 2kg 0 m s 0,01kg 400 m s u 2,01 kg u 1,99 m s Mit dem Energieerhaltungssatz lässt sich nun die Steighöhe des Bretts mit Kugel bestimmen: E kin, B K E pot,b K 1 2 m B m K u 2 m B m K g h h u2 2 g m h 1,99 s 2 9,81 m s 2 2 und damit den Winkel: cos l h 1 l cos l h l 1m 0,2m cos 1 1m 36,9 h 0,20m Die Auslenkung wäre etwa 37.

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m 1 und E kin, 2 = 1 2 m v 2 Die Gesamtenergie des Systems Zwei Wagen vor dem Stoß ist dann: Wenn zwei Körper vollkommen elastisch, d.h. ohne Energieverluste, zusammenstoßen, reicht der Energieerhaltungssatz nicht aus, um die Situation nach dem Stoß zu beschreiben. Wenn wir als Beispiel zwei Wagen

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