Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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1 Physikdepartment E13 WS 011/1 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung , Übungswoche Blatt 3 1. Bungeesprung Kurt springt mit einem dicken Bungeeseil um seine Knöchel von einem Kran an der uderregattastrecke bei Oberschleißheim. Die Absprungplattform des Krans hat eine Höhe von H = 50 m über dem Wasserspiegel der Olympia-egattastrecke. Kurt wiegt 73 kg und wir nehmen an, dass für die Dehnung des Seils das Hook sche Gesetz gilt: F = k x S, mit k = 75 N/m. Damit wir uns nicht auch noch mit der otation von Kurt beschäftigen müssen, ist er so nett und springt vom Handstand aus. Er fällt 15 m frei, bevor sich das Seil zu dehnen beginnt und wir nehmen an, dass sich beim Absprung die Befestigungspunkte vom Seil an Kran und Körper auf gleicher Höhe H befinden. a) Berührt Kurt unter den gegebenen Annahmen das Wasser der uderregattastrecke?

2 Koordinatensystem: Wähle y-ichtung gen Himmel, d.h. y = 0 ist der tiefste Punkt, den Kurt erreicht (definiert Koordinatensystem). Am tiefsten Punkt: v = 0, y = 0, E kin = 0 (keine kinetische Energie) Absprung: E pot = mgh = mg( y+l) Seillänge: l = 15 m Tiefpunkt: E pot = mg 0 = 0 E Seil = 1 k y mg( y+l) = 1 k y Energieerhaltungssatz Kurt wird nicht nass! 1 k y mg y mgl = 0 y 1/ = mg± m g k mgl 1 k y 1 = 9,0 m y = 9,0 m y = 9,9 m h = y+l = 9,0 m+15 m = 44 m < H = 50 m b) Skizzieren Sie in einem Diagramm die Beschleunigung a(t), die ein Besucher der Tribüne an Kurt beobachtet. Wählen Sie hierbei einen Zeitbereich, der die wesentlichen Aspekte der Bewegung beinhaltet. Verwenden Sie ein Koordinatensystem, dessen y-achse zum Himmel zeigt.

3 Seil noch nicht gedehnt: konstante Beschleunigung -g freier Fall Seil gedehnt: sin / cos-verlauf Schwingung a max > g Ein geeigneter Zeitbereich geht wenigstens bis zum unteren Umkehrpunkt. 3

4 c) Wie groß sind die maximale Kraft und die maximale Beschleunigung, die Kurt beim Bungeesprung erfährt? An welcher Stelle erfährt er diese? F ges = F a + F Seil = m g+k y = m a y maximale Beschleunigung nach unten: g maximales y max = y = a = 75 N m 9 m 73 kg : aktuelle Dehnung des Seils a = k y g }{{ m } 0 9,81 m s = 0,0 m s g F max = k y mg = 75 N m 9 m 73 kg 9,81 m s F max 1460 N Schwingung: maximale Kraft/Beschleunigung im Umkehrpunkt maximale kinet. Energie/v am Gleichgewichtspunkt 4

5 . Torwart Torwart Manuel Neuer möchte den Fußball von seiner Torlinie aus direkt ins gegnerische Tor schießen. Das Spielfeld ist 105 m lang und der Ball 450 g schwer. Beim Abschuß triff er den Ball 100 cm über dem Boden. Hinweis: Vernachlässigen Sie für diese Aufgabe die eibung. Verwenden Sie für die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s. a) Wie schnell muss der Ball beim Abschuß mindestens sein? Nehmen Sie an, Manuel Neuer trifft den Ball unter einem Winkel von 30,0 zur Horizontalen. Skizze; echne x- und y-koordinaten unabhängig: Nach τ auflösen liefert: x(τ) = v x Nach v auflösen liefert: x(t) = v x t; y(t) = y 0 + v y t 0,5 gt ; y(t = τ) = y 0 + v y τ 0,5 gτ = 0 m τ = v y + v y + gy 0 g v y + v y + gy 0 g v sin α+ = v cos α v sin α+gy 0 g v = g x(τ) ( ) cos α gy 0 + g x(τ) sin α cos α = v = 34, m/s bzw. 13 km/h 5

6 b) Welche Kraft F muss Manuel Neuer aufwenden, um den Ball aus dem Stand auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen? Nehmen Sie vereinfachend an, dass die Beschleunigungsstrecke 300 cm beträgt und dass der Ball gleichmäßig beschleunigt. x b (t b ) = x }{{} 0 + v 0 t }{{} b + 1 / a b t b = 300 cm 0 0 v(t b ) = a b t b = t b = v(t b) a b x b (t b ) = 1 v (t / a b ) b = 1 a b = v (t b ) x b (= a b (34, m/s) 300 cm v (t b ) a b = 300 cm = 195 m/s F = ma b = m v (t b ) (34, m/s) = 0,45 kg x b 300 cm ) = 87,7 kg m/s Die zur Beschleunigung erforderliche Kraft von 87,7 N entspricht etwa einem Gewicht von knapp 9 kg. 6

7 3. Kurvenfahrt Die Abbildung zeigt eine Autobahneinfahrt, die die Form eines Viertelkreisbogens hat. Zwei PKW gleicher Bauart fahren gleichzeitig in die Einfahrt ein und richten ihr Tempo so ein, daß sie gerade noch nicht nach außen wegrutschen. Der Haftreibungskoeffizient ist µ H = 0,30. Die Kurvenradien sind A = 75 m und B = 81 m. Die Fahrbahn sei eben. A B a) Wie groß sind die maximalen Geschwindigkeiten v A,max und v B,max, mit denen die beiden PKW durch die Kurve fahren können? Geben Sie das Ergebnis in km/h an und achten Sie auf die korrekten gltigen Ziffern! Die Zentripetalkraft wird von der eibungskraft aufgebracht: F ZP = F mv = µ HF N = µ H mg v = µ H g Setzt man die verschiedenen Kurvenradien ein, so gilt: v A,max = 14,86 m s = 53,48 km h 53 km h v B,max = 15,44 m s = 55,58 km h 56 km h b) Welcher Wagen erreicht die Autobahn früher, wenn beide jeweils mit der für sie maximalen Geschwindigkeit fahren? Für die benötigte Zeit gilt allgemein: t = x v = π v = π 4µH g Je größer also der Kurvenradius wird, desto länger wird auch die Fahrzeit. Schneller um die Kurve kommt deshalb Wagen A. c) Die Fahrbahn sei nun nach außen hin um den Winkel α erhöht. Wie groß muß bei vorgegebenem Kurvenradius und vorgegebener Geschwindigkeit v der Winkel α sein, damit keine Gefahr des seitlichen Wegrutschens besteht? Vernachlässigen Sie in dieser Teilaufgabe die eibung und geben Sie α als allgemeine Funktion von und v an. Ähnlich wie in a) lässt sich das Kräftegleichgewicht unter zusätzlicher Berücksichtigung der Hangabtriebskraft aufstellen: F ZF,e f f = F H + F mv cos α = mg sin α+µ HF N 7

8 Die Normalkraft setzt sich teilweise aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft zusammen: Insgesamt ergibt sich: F N = mg cos α+ mv }{{} sin α }{{} Gewicht Zentri f ugalkra f t mv cos α = mg sin α+µ H (mg cos α+ mv ( ) v µ v Hg cos α = (g+µ H v tan α = µ Hg v µ H + g ( v α = ) µ H g arctan µ H v + g ( ) v mit µ H = 0: α = arctan g ) sin α ) sin α 8

9 4. Pendelkette Mehrere Stahlkugeln sind an Schnüren nebeneinander und auf gleicher Höhe aufgehängt (Vorlesungsexperiment, siehe Zeichnung). Die Länge der Schnüre sei so groß, dass die Pendelbewegungen (kleine Auslenkungen) als lineare Bewegung in horizontaler ichtung betrachtet werden können. Stöße zwischen den Kugeln seien vollkommen elastisch. a) Die linke Kugel der Masse m 1 werde ausgelenkt und stoße mit der Geschwindigkeit v 1 zentral auf die vorher ruhende Kugel der Masse m. Drücken Sie die Geschwindigkeiten v 1 und v der beiden Kugeln nach dem Stoß in Abhängigkeit des Massenverhältnisses α = m /m 1 aus! 1-D-Bewegung, keine Vektoren bedeutet: entsprechende Größe nach dem Stoß. Impulserhaltung (IES): p 1 = p 1 + p ; p = 0 Energieerhaltung (EES): Mit Impulserhaltung: p 1 m 1 = p 1 m 1 + p m p 1 = p 1 + m 1 m p mit IES: p 1 = (p 1+p ) = p 1 + p 1 p +p IES und EES: p 1 + m 1 p = p 1 m + p 1 p +p p 1 = p 1+p = p 1 p = m 1 p p m p 1 = 1 ( ) m1 1 p m es gilt p 1 = m 1 v 1 und p = m v v 1 = 1 ( ) m1 m + 1 v = 1 ( m m 1 ( 1 m 1 1 ) p m +p = 1 ( ) m1 + 1 p m 1+ m m 1 ) v = 1 (1+α)v 9

10 v = v 1 1+α müssen noch v 1 in Abhängigkeit von v 1 berechnen: Impulserhaltung: m 1 v 1 = m 1 v 1 + m v v 1 = v 1 m v = v 1 α v 1 m }{{} 1 1+α = =α ( = v 1 1 α ) 1+α ( 1+α = v 1 1+α α ) 1+α v 1 = v 1 1 α 1+α b) Die Massen aller beteiligten Kugeln seien nun gleich m. Kugeln und 3 befinden sich in uhe, Kugel 1 werde ausgelenkt. Sie stoße mit der Geschwindigkeit v 1 auf Kugel, unmittelbar danach stoße letztere auf Kugel 3. Geben Sie die Geschwindigkeiten aller Kugeln nach dem Stoß an. alle Massen gleich: m i = m α = 1 K 1 stößt K : v 1 = v; v = 0; v 3 = 0 v 1 = 0; v = 1+1 v 1 = v; v 3 = 0 K stößt K 3 : v 1 = 0; v = v; v 3 = 0 v 1 = 0; v = 0; v 3 = v usw. c) Kugel 1 habe nun die doppelte Masse als die Kugeln und 3 einzeln. Geben Sie die Geschwindigkeiten aller Kugeln nach dem analogen Versuch zu Aufgabenteil b) an. Beachten Sie, dass Kugel 1 nach dem ersten Stoß nicht ruht. m 1 = m = m 3 ; v 1 = v; v = v 3 = 0 Stoß 1: (K 1 K ; α = 1 ) v 1 = v = v = v 1+ 1 v 3 = 0 1 v = v = 4 3 v Stoß : v 1 = 1 3 v; v = 4 3 v; v 3 = 0 (K K 3, α = 1) (Situation aus Aufgabe b) v 1 = 1 v (unbeteiligt an Stoß ) 3 v = 0 ; v 3 = 4 3 v 10

11 Stoß 3 : v 1 = 1 3v; v = 0; v 3 = 4 3 v (K 1 K, α = 1 ) v 1 = v = 1 9 v v = v = 4 9 v v 3 = 4 v (unbeteiligt an Stoß 3) 3 Keine weiteren Stöße, da v 3 > v > v 1 d) Nun seien 4 Kugeln gleicher Masse beteiligt. Die Kugeln 1 und werden ausgelenkt und bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit v = v 1 = v auf die ruhenden Kugeln 3 und 4 zu. Überlegen Sie sich die zeitliche Abfolge der Einzelstöße. Welche Geschwindigkeit haben die Kugeln jeweils am Schluss? Worin liegt der Unterschied zur Situation in Teilaufgabe c)? Alle Massen gleich α = 1; v 1 = v = v; v = v 3 = 0 Stoß 1: (K K 3 ): v 1 = v; v = 0; v 3 = v; v 4 = 0 Stoß : (K 1 K ) : v 1 = 0; v = v; v 3 = v; v 4 = 0 Stoß 3: (K 3 K 4 ): v 1 = 0; v = v; v 3 = 0; v 4 = v Stoß 4: (K K 3 ): v iv 1 = 0; viv = 0; v iv 3 = v; v iv 4 = v Keine weiteren Stöße, da v1 iv viv viv 3 viv 4 Obwohl die bewegten Kugeln zusammen die gleiche Masse haben, wie Kugel 1 aus Teilaufgabe c), können sie nicht als ein Objekt mit doppelter Masse betrachtet werden. 11