(no title) Ingo Blechschmidt. 13. Juni 2005

Transkript

1 (no title) Ingo Blechschmidt 13. Juni 2005 Inhaltsverzeichnis 0.1 Tests Extemporale aus der Mathematik Formelsammlung zur 1. Schulaufgabe Formelsammlung zur 2. Schulaufgabe Tests Extemporale aus der Mathematik Geschrieben am Ein Wagen hat zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit v 0 = 4,8 m. Er s wird zunächst 4,0s lang mit a 1 = 0,60 m beschleunigt, anschließend s 2 erfolgt eine ebenfalls 4,0s lange Abbremsung mit a 2 = 1,6 m. s 2 a) Berechne die Geschwindigkeit des Wagens nach 4s und nach 8s. v 1 = v(4s) = v 0 + a 1 t 1 4,8 m s + 0,6 m s 2 4s = 8,8 m s v 2 = v(8s) = v 1 + a 2 t 2 = 7,2 m s 1,6 m s 2 4s = 0, 80 m s b) Welchen Weg x 1 legt der Wagen in den ersten 4 Sekunden, welchen Weg x 14 allein in der 4. Sekunde zurück? x 1 = v 0 t a 1t 2 1 = 4,8 m s 4s + 0,3 m s 2 16s 2 = 24m x(3s) = v 0 3s a 1 (3s) 2 = 4,8 3m + 0,3 m s 2 9s 2 = 17,1m x 14 = x 1 x(3s) = 6,9m 1

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit v des Wagens für die 8s lange Fahrt. x 2 = v 1 t a 2t 2 2 = 7,2 m s 4s 0,8 m s s 2 = 16m v = x 1+x 2 t 1 +t 2 = 40m 8s = 5,0 m s d) Welche Geschwindigkeit hat der Wagen erreicht, wenn er 12m zurückgelegt hat? Wie lange hat er dafür gebraucht? v 2 v0 2 = 2a 1 x = v 2 = 2a 1 x + v0 2 = 1,2s m 12m + ( ) 4,8 m 2 s 2 s = v = 6, m s a 1 = v v = t = t a 1 = 6,m s 4,8 m s 0,60 m s 2 = 2,2s Ansätze stets mit Formeln, Formeln zunächst allgemein auflösen! Formelsammlung zur 1. Schulaufgabe Geradlinige Bewegungen ohne Anfangsgeschwindigkeit Gleichförmige Bewegunschleunigte Gleichmäßig begung Bewe- ohne Anfangsgeschwindigkeit a(t) = 0 a(t) = const. a(t) = const. v(t) = const. v(t) = at v(t) = at + v 0 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit x(t) = vt x(t) = 1 2 at2 x(t) = 1 2 at2 + v 0 t v 2 (x) = 2ax v 2 (x) v0 2 = 2ax Sonderfall Freier Fall: a = g v 0 = 0 Sonderfall Wurf: a = g v 0 = Abwurfgeschwindigkeit Bremsung: x Br = v2 0 2a a = v2 0 2x Br Grundgleichung der Mechanik F = am a > 0 F ist in Bewegungsrichtung a < 0 F wirkt gegen die Bewegungsrichtung

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 ATWOODsche Fallmaschine Seilkraft in einem beliebigen Punkt......im Gleichgewicht: F S = mg (m ist je die gleiche Masse links und rechts.)...nicht im Gleichgewicht: F S = F G + F Beschl. (F G ist die Gewichtskraft der Masse, die an dem Seilzweig, auf dem der ausgewählte Punkt liegt, hängt. F Beschl. ist die Kraft, die dann zur Beschleunigung führt, F Beschl. = Alle Massen Gesamtbeschleunigung) Schiefe Ebene Hangabtriebskraft: F H = mg sin α Normalkraft: F N = mg cos α Reibungskraft: F R = µf N = µmg cos α Mechanische Arbeit Durch Leisten von Arbeit (Variablenname W, Einheit [W ] = 1J = 1Nm =!Ws) wird die Energie (Variablenname E, Einheit [W ] = [E] ) eines Körpers verändert. Allgemein: Gleiche Kraft- und Bewegungsrichtung W = F s [W ] = 1J = 1Nm = 1Ws Allgemein: Winkel der Größe α zwischen den Vektoren W = F s cos α Lageenergie E pot = mgh Federenergie E F = 1 2 Ds2 Federhärte: D = F s Dehnung einer vorgespannten Feder: W = 1 2 D (s2 s 2 0) Kinetische Energie E kin = 1 2 mv2

4 INHALTSVERZEICHNIS Formelsammlung zur 2. Schulaufgabe Kreisbewegung Bogenlänge: s = ϕ r Konstante Winkelgeschwindigkeit: ω = ϕ t = 2π T = 2πf Frequenz: f = 1 T Bahngeschwindigkeit: v = ωr Zentripetalkraft: F = m v2 r = mω2 r Kreisbewegung: Kurvenüberhöhung F : Kraft der Straße auf das Auto (Gegenkraft der Normalkraft) Bei idealer Kuvenüberhöhung liefert F + G eine Kraft zum Mittelpunkt der Kreisbahn: F r = F + G Bei idealer Kurvenüberhöhung gilt: tan α = F r G = m v2 r mg = v2 (unabhängig von m) rg Optimale Geschwindigkeit für die Kurve: v = rg tan α Kreisbewegung: Radler in der Kurve tan α = F r F g = v2 rg Wegen F H = µ F s folgt für die Haftreibungszahl: µ F G F r µ F r F G = tan α Also sichere Kurvenfahrt, solange µ > tan α

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 Kepler-Gesetze und Gravitation Drittes Kepler-Gesetz: T 2 1 a 3 1 = T 2 2 a 3 2 = C Gravitationsgesetz (M: Masse des Zentralgestirns, m: Masse des umlaufenden Dings): F grav = G mm r 2 G = 4π2 C M Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Entfernung: v = G M r r 3 Umlaufdauer in Abhängigkeit der Entfernung: T = 2π GM Gravitationsfeldstärke: g = GM r 2 Hubarbeit im Gravitationsfeld: W H = GmM Hubarbeit ins Unendliche : W = GmM 1 r A Erste kosmische Geschwindigkeit: v 1 = ( 1 1 ) r A r E G MErde R Erde Zweite kosmische Geschwindigkeit: W = 1 2 mv2 2 Mechanische Schwingungen Weg: y(t) = A sin ωt Geschwindigkeit: v(t) = ẏ(t) = Aω cos ωt Beschleunigung: a(t) = v(t) = ÿ(t) = Aω 2 sin ωt Rückstellkraft: F (t) = ma(t) = mω 2 y(t) HOOKsches Gesetz: F = Dy Federhärte: D = mω 2 Schwingungsdauer: T = 2π m D Harmonische Schwingungen erkennt man an einem linearen Kraftgesetz, die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung.