Grundlagen der Mechanik

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1 Ausgabe Grundlagen der Mechanik (Formeln und Gesetze) Die Mechanik ist das Teilgebiet der Physik, in welchem physikalische Eigenschaften der Körper, Bewegungszustände der Körper und Kräfte beschrieben werden. Seite Arbeit,mechanische 6 Bewegung 4 Druck in Flüssigk./Gase 9 Energie, mechanische 7 Flaschenzug 3 freier Fall 4 Gravitation 8 Hebel 3 Kräfte 2 Leistung, mechanische 7 Rolle 3 Rotation 5 Wurf 5

2 1. Kräfte in der Mechanik Kraft Formelzeichen Formel Gewichtskraft F G F G = m. g Druckkraft F P F P = p. A Auftriebskraft F A F A = ρ. V. g Reibungskraft F R F R = µ. F N Gravitationskraft Radialkraft F S F S = m 1 m 2 r 2 F = m v2 r F = m. ω². r F = m 4 2 r T 2 Federspannkraft F F F F = D. s F Kraft (N) m Masse des Körpers (kg) g Fallbeschleunigung g = 9,81 m. s -2 p Druck (Pa) A Fläche (m²) ρ Dichte (kg. m -3 ) V Volumen (m³) µ Reibungszahl γ Gravitationskonstante r Radius (m) v Geschwindigkeit (m. s -1 ) ω Winkelgeschwindigkeit (m. s -1 ) T Umlaufzeit (s) D Federkonstante s Weg (m) 2

3 2. Kraftumformende Einrichtungen (Rolle, Hebel, Flaschenzug) 2.1. Hebel F. 1 l 1 = F. 2 l 2 F 1 (Gewichts-) Kraft (N) F 2 (Gewichts-) Kraft (N) l 1 Länge des Hebelarms (m) Länge des Hebelarms (m) l geneigte Ebene F H Haltekraft (N) F H = F A - F r = F A - µ. F N F A Hangabtriebskraft (N) F H = m. g. (sin α - µ. cos α) F r Reibungskraft (N) F Z Zugkraft (N) m Masse des Körpers (kg) F A = m g h = m g sin l g Fallbeschleunigung g = 9,81 m. s -2 h Höhe der geneigten Ebene (m) F Z = m. g. (sin α + µ. cos α) l Länge der geneigten Ebene (m) α Steigungswinkel (rad) µ Reibungszahl 2.3. Rolle, Flaschenzug 1 feste Rolle F Z = F L F Z Zugkraft, aufgewandte Kraft (N) (Umlenkrolle) F L Lastkraft, Gewichtskraft (N) n Anzahl der Rollen 1 lose Rolle F Z = F L l Z Weglänge Zugseil (m) (Seil einseitig fest) 2 l L Weglänge Lastseil (m) einfacher Flaschenzug 1 lose, 1 feste Rolle F Z = F L 2 Flaschenzug F Z = F L n l L = l Z n 3

4 3. Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation), Rotation und Wurf 3.1. Gesetze der geradlinigen Bewegung (Translation) Geschwindigkeit einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung v = s t s Weg (m) t Zeit (s) v Geschwindigkeit (m. s -1 ) Bahngeschwindigkeit einer gleichförmigen Kreisbewegung v = 2 r T r Radius der Bahn (m) T Umlaufzeit (s) v Bahngeschwindigkeit (m. s -1 ) Beschleunigung einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung a = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t a Beschleunigung (m. s -2 ) v 1, v 2 Geschwindigkeit (m. s -1 ) t 1, t 2 Zeit (s) Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung s ~ t 2 s = 1 2 a t 2 s Weg (m) t Zeit (s) a Beschleunigung (m. s -2 ) Gesetze des freien Falls Weg-Zeit-Gesetz Geschwindigk.-Zeit-Gesetz Geschwindigk.-Weg-Gesetz s = g 2 t 2 v = g. t v = 2 g s s Weg (m) t Zeit (s) g Fallbeschleunigung g = 9,81 m. s -2 v Geschwindigkeit (m. s -1 ) 4

5 3.2. Gesetze der Rotation gleichförmige Rotation (α = 0) φ = ω. t + φ 0 = t = 2 T = 2 n φ Winkel α Winkelbeschleunigung ω Winkelgeschwindigkeit φ 0 Anfangswinkel bei t = 0 T Umlaufzeit n Drehzahl ω 0 Anfangswinkelgeschwindigkeit bei t = 0 gleichmäßig beschleunigte Rotation = 2 t2 0 t 0 = t Gesetze zum Wurf senkrechter Wurf nach unten h = t 2 v a v = v2 v a 2 2 g t = 2 h v a v senkrechter Wurf nach oben Steighöhe Höhe nach der Zeit t Anfangsgeschwindgk. Steigzeit H = v 2 a 2 g h = v a t g t2 2 v a =v g t= 2 h v t t = v a g = 2 H v a waagerechter Wurf Wurfweite nach der Zeit t s = v a t = v a 2 h g Höhe nach der Zeit t h = g 2 t2 schräger Wurf (max) Steighöhe H = v 2 a sin 2 2 g (max) Weite w = v 2 a sin 2 g 5

6 4. Mechanische Arbeit, mechanische Energie und mechanische Leistung 4.1. Mechanische Arbeit mechanische Arbeit W mechanische Arbeit (Nm, Ws, J) W = F. s F (aufgewendete) Kraft (N) s (zurückgelegter) Weg (m) Hubarbeit W = F. G h W = m. g. h Reibungsarbeit W = F. R s = µ. F. N s W Hubarbeit (Nm, Ws, J) F G Gewichtskraft (N) m Masse (kg) h Höhe (m) W Reibungsarbeit (Nm, Ws, J) F R Reibungskraft (N) s (zurückgelegter) Weg (m) µ Gleitreibungszahl F N Normalkraft (N) Beschleunigungsarbeit W = F B. s = m. a. s W Beschleunigungsarbeit (Nm, Ws, J) F B Beschleunigungskraft (N) s (zurückgelegter) Weg (m) a Beschleunigung (m. s - ²) m Masse (kg) Federspannarbeit W = 1 2 F End s = 1 2 D s2 W Federspannarbeit (Nm, Ws, J) F End Endkraft, maximale Kraft (N) s Federspannweg (m) D Federkonstante 6

7 4.2. Mechanische Energie potenzielle Energie (Lageenergie) E pot Potenzielle Energie (Nm, Ws). eines Körpers E pot = F G h F G Gewichtskraft (N) h Höhe (m) einer gespannten Feder E pot = 1 D Federkonstante 2 D s2 s Federspannweg (m) kinetische Energie (Bewegungsenergie) E kin Kinetische Energie (Nm, Ws) der geradlinigen Bewegung m Masse (kg) E v Geschwindigkeit (m. s -1 kin = 1 ) 2 m v2 ω Winkelgeschwindigkeit (1. s -1 ) der Rotation J Trägheitsmoment* (kg. m²) E kin = 1 2 J 2 Trägheitsmoment rotierender Massepunkt J = m. r² J Trägheitsmoment (kg. m²) rotierende Kugel J = 2/5. m. r² m Masse (kg) rotierender Vollzylinder J = 1/2. m. r² r Radius = max. Abstand von der Rotationsachse (m) Energieerhaltungssatz der Mechanik E mech = E pot + E kin = konstant 4.3. Mechanische Leistung und Wirkungsgrad mechanische Leistung Wirkungsgrad W 2 < W 1 P = W t = W 2 W 1 P Leistung (W) W Arbeit (Nm) t Zeit (s) η Wirkungsgrad W 1 aufgenommene Arbeit W 2 abgegebene Arbeit Es gilt: 0 < < 1 7

8 5. Gravitation Gravitationsgesetz F Gravitationskraft (N) γ Gravitationskonstante F = m 1 m 2 r 2 Gravitationskonstante γ = 6, N. m². kg -2 m 1, m 2 Massen zweier Körper (kg) r Abstand (m) (6, ± 0,000 67) m 3. kg -1. s -2 = N. m 2. kg -2 (CODATA-Zahlenwert für die Jahre ) 8

9 6. Mechanik der Flüssigkeiten und Gase Kolbendruck auf Flüssigkeiten (abgeschlossenes System) p = F A p Kolbendruck (Pa) F Kolbendruckkraft (N) A gedrückte Fläche (m²) Kräfte und Flächen an Kolben sind proportional. (Prinzip Hydraulik, Pneumatik) F 1 F 2 = A 1 A 2 F 1 A 1 = F 2 A 2 A 1, A 2 F 1, F 2 Druckflächen Druckkräfte F 1 F 2 = s 2 s 1 F. 1 s 1 = F. 2 s 2 F 1, F 2 Druckkräfte s 1, s 2 Kolbenweg Schweredruck in Flüssigkeiten p = ρ. h. g p Schweredruck (Pa) ρ Dichte der Flüssigkeit (g. cm -3 ) h Höhe der Flüssigkeitssäule (m) γ = ρ. g γ Wichte (N. cm -3 ) ρ Dichte der Flüssigkeit (g. cm -3 ) = F G V = m g V F G Gewichtskraft (N) m Masse (kg) Auftriebskraft, Archimedisches Prinzip in Flüssigkeiten und Gasen F A = F Gfl F A Auftriebskraft (N) F A = V. K γ fl F Gfl Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (N) F A = V. K ρ. fl g V K Volumen des Festkörpers (cm³) γ fl Wichte der Flüssigkeit (N. cm -3 ) ρ fl Dichte der Flüssigkeit (g. cm -3 ) barometrische Höhenformel h = p 0 0 g ln p 0 ln p h h Höhe (m) p 0 Luftdruck am Boden (Pa) ρ 0 Dichte der Luft am Boden (kg. m -3 ) p h Luftdruck in der Höhe h (Pa) Näherungswert: Abnahme 1 hpa je 8 m Höhenzunahme (in der Troposhäre) 9

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