Physik III im Studiengang Elektrotechnik

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1 Physik III im Studiengang Elektrotechnik - harmonische Schwingungen - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 216/17

2 kinematische Beschreibung Auslenkungs Zeit Verlauf: ( t) ˆ cost Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine Achse y/m /m -1, -,5,,5 1, 1,,5, -,5-1, t/s /m -1, -,5,,5 1, ˆ Kreisradius Amplitude : Kreisfrequenz 2p/T: Schwingungsdauer T = : Gleichgewichtslage entsprechend: y( t) yˆ sin t y ˆ : Amplitude harmonische Schwingungen 2

3 kinematische Beschreibung andere Startzeitpunkte: ( t ) : ( t) ˆ cos( t ) /m /m /m -1, -,5,,5 1, -1, -1, -,5 -,5,,5 1, 1, 1, 1,,8 t/s,5,5,6,4,2 y/m y/m, /m, ,2 -,4 -,5 -,6 -,8-1, : : -1, Schwingung Schwingung voreilend nachlaufen d harmonische Schwingungen 3

4 Darstellung in der kompleen Ebene Kreisbewegung: s ( t) cos( t r sin( t ) ) Eulersche Formel: e j cos j sin z z e j harmonische Schwingung: Projektion eines in C gleichförmig rotierenden Zeigers auf die reelle Achse j( t z ) j( t ) ( t) z e ˆ e Amplitude Phase harmonische Schwingungen 4

5 Dynamik der harmonischen Schwingung auf den Oszillator (Masse m) wirkende Kraft: ma( t) m² ˆ cos( t ) F m² ( t) lineares Kraftgesetz F ~ -: Rückstellkraft, treibt Oszillator in die Gleichgewichtslage F ~ ² anders herum: welches (t) löst die Bewegungsgleichung m c homogene DGL lineare DGL DGL 2. Ordnung konstante Koeffizienten harmonische Schwingungen 5

6 Lösungen der Schwingungsgleichung Lösungsansätze: ( 1 t) cos t ( 2 t) sin t kt t) e 3 ( c / m c / m k j c / m allgemeine Lösung: Linearkombination der speziellen Lösungen ( t) 1 cos t 2 sin 1, 2 aus den Anfangsbedingungen ( t ) :, v( t ) : v t v ( t) cost sin t, v ˆ, Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab schwingfähige Systeme: u: Auslenkung (beliebige physik. Größe) u ² u Lösung: u t u( t) u cost sin harmonische Schwingungen 6

7 Energie der harmonischen Schwingung System schwingt und/oder v einmalige Anregung punktuelle Energiezufuhr E kin, E pot danach keine weitere Beeinflussung freie Schwingung keine Energieabfuhr (Reibung): Anfangsenergie E = const. 2 Energiespeicher: E kin und E pot ungedämpfte Schwingung harmonische Schwingungen 7

8 Verlauf der potentiellen Energie E( t) Ekin( t) E pot ( t) E const de( t) d t mit E kin m de pot ( ( t)) ( t) ² m 2 d harmonische Schwingung: d E pot d ( ) c E pot 1 c ² 2 H E pot Minimum von Epot: Parabel kleine Amplitude H min = harmonische Schwingung harmonische Schwingungen 8

9 harmonische Schwingungen (Mechanik) Federpendel horizontal: F Feder D m D D m ˆ harmonische Schwingungen 9

10 Flüssigkeitsschwingungen Auslenkung P Fl g 2 bewirkt Kraft Druckdifferenz Beschleunigung der Flüssigkeit Rohrquerschnittsfläche A Rohr Länge der neutralen Faser l 2 Fl g m Fl A Rohr g A g 2 Rohr 2 VFl harmonische Schwingungen 1

11 Gasschwingungen (Rüchardt-Versuch) Bewegung der Kugel adiabatische ZÄ Rohr P, V P, V P V P( t) V t Kraft, bewirkt durch Druckdifferenz P P P V V Beschleunigung der Kugel V A Rohr m Kugel ( ) P A Rohr A m 2 Rohr Kugel P V harmonische Schwingungen 11

12 mathematisches Pendel: b l h Pendel Massepunkt an masselosem Faden Kreisbewegung, Radius l Schwerkraft wirkt m E ( b )² m g h( b) 2 d m ( ( b )² m g ( cosb)) dt 2 b g b groß: sin b T T(ˆ) b b klein sinb b Tharm harmonische Schwingungen 12 g l 1 bˆ 13 (1 ( )² sin ²( ) ( )² sin bˆ ( )...) 2

13 physikalisches Pendel: b s b Pendel ausgedehntes Objekt rotiert um Schwerkraft wirkt Schwerpunkt bewirkt Drehmoment M s FG sin( b) Drehmoment Winkelbeschleunigung J A m g s sin b b klein sinb b : s F G m g s J A m g s J m s² S reduzierte Pendellänge: Länge eines mathematischen Pendels mit gleichem J A m s harmonische Schwingungen 13 l r. P.

14 Auslenkung in rad nicht harmonische Schwingung 2 1,5 1,5 -,5-1 -1,5-2, 1, 2, 3, 4, 5, Zeit in s _harm pi/8 pi/4 pi/2 harmonische Schwingungen 14

15 elektrische Schwingungen 2 Energiespeicher elektrisches Feld Kondensator magnetisches Feld Spule Anregung Laden des Kondensators durch Batterie q Maschenregel: u C u L Li C q Ladung im Kondensator Lq C Spannung am Kondensator u LC u Strom in der Masche L C q( t) q cost harmonische Schwingungen 15 C C q 1 L C

16 Vergleich elektrische Schwingungen - mechanische Schwingungen Feder Kondensator Masse Induktivität Deformationsenergie elektrischer Feldenergie kinetische Energie magnetischer Feldenergie