3.2 Das physikalische Pendel (Körperpendel)

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1 18 3 Pendelschwingungen 32 Das physikalische Pendel (Körperpendel) Ein starrer Körper (Masse m, Schwerpunkt S, Massenträgheitsmoment J 0 ) ist um eine horizontale Achse durch 0 frei drehbar gelagert (Bild 32) Das dynamische Grundgesetz für die Drehbewegung lautet M = J 0 ϕ Aus Bild 32 entnimmt man für das Rückstellmoment M = F G e sin ϕ Damit erhält man F G e sin ϕ = J 0 ϕ Bild 32 Körperpendel Bei Beschränkung auf kleine Schwingungen kann man diese Differentialgleichung wieder linearisieren, indem man sin ϕ = ϕ setzt Mit F G = m g für die Gewichtkraft gilt m g e ϕ = J 0 ϕ oder ϕ + mg e ϕ = 0 (35) J0 (35) ist wieder von der gleichen Form wie (210), d h auch die kleinen Pendelschwingungen eines Körpers sind harmonische Schwingungen Dabei ist = ω2 J 0

2 32 Das physikalische Pendel (Körperpendel) 19 Die Schwingungsdauer lautet damit J T = 2π 0 (36) Unter der reduzierten Pendellänge eines Körperpendels versteht man die Länge des Fadenpendels, das die gleiche Schwingungsdauer hat wie das betrachtete Körperpendel T Fadenpendel = T Körperpendel Mit l 2π g erhält man lred J = 2π red 0 J 2 0 JS + m e JS 2 e e i me me me e = = = + = + (37) Dabei wird der Steiner-Huygenssche Satz benützt und J S = m i 2 eingeführt, wobei i der Trägheitsradius ist Das Massenträgheitsmoment eines Körpers kann durch einen Pendelversuch bestimmt werden, bei dem die Schwingungsdauer gemessen wird (36) nach J 0 aufgelöst ergibt T J 0 = 2 2 4π Die Umrechnung auf die Schwerachse erfolgt mit dem Satz von Steiner: J S = J 0 m e 2 Beispiel 31: Pendellänge für kleinste Schwingungsdauer In welchem Abstand vom Schwerpunkt muss man einen Körper drehbar aufhängen, damit die Schwingungsdauer der Pendelschwingungen möglichst klein wird? Die Schwingungsdauer wird zum Minimum, wenn die reduzierte Pendellänge des Körpers ein Minimum ist, d h aus (37) folgt dlred d e 2 1 i 0 e2 = = e = ± i Der Abstand des Aufhängepunkts vom Schwerpunkt muss gleich dem Trägheitsradius sein Die Schwingungsdauer ist dann

3 20 3 Pendelschwingungen T = 2π J mi + mi 2 i = 2π = 2π mgi mgi g Beispiel 32: Ausschwingen einer hängenden Last Die Laufkatze eines Krans bewegt sich mit einer Geschwindigkeit υ Katze = 4 m/min Mit derselben Geschwindigkeit υ Katze bewegt sich die senkrecht darunter an zwei Seilen hängende Last (Bild 33) Durch Anfahren an eine Endbegrenzung wird die Katze plötzlich zum Stillstand gebracht a) Wie groß ist die Schwingungsdauer der auftretenden Pendelschwingung der Last? Anmerkung: Das geringe Auf- bzw Abwickeln der beiden Hubseile an den Seiltrommeln beim Ausschwingen kann vernachlässigt werden b) Wie weit schwingt die Last aus? Bild 33 Pendelschwingung einer Last a) Die Last führt beim Pendeln eine reine Translationsbewegung aus (Parallelpendel); das System ist also praktisch ein mathematisches Pendel Die Pendellänge ist dabei l = 6 m Das Maß e ist ohne Einfluss! Daher gilt T = 2π l g = 4,91 s b) Das Drehwinkel-Zeit-Gesetz lautet ϕ (t) = C 1 cos ω t + C 2 sin ω t, ω = 2π T = 1,28 s 1 Die Anfangsbedingungen sind υ ϕ (0) = 0, Katze 4m 1min ϕ (0) = = = 0, l min 6 m 60 s s Es folgt

4 32 Das physikalische Pendel (Körperpendel) 21 ϕ (0) = C C 2 0 = 0 C 1 = 0, υ ϕ (0) = C 2 ω 1 = Katze l υ C 2 = Katze l ω = 0,00869 Damit gilt ϕ = 0,00869 sin (1,28 s 1 t) ϕ max = 0,00869 = 0,50, x max = l sin ϕ max = 0,052 m Beispiel 33: Rollpendel Der in Bild 34 gezeichnete Körper (Masse m, Schwerpunkt S, Massenträgheitsmoment J S bezogen auf die Achse durch S senkrecht zur Zeichenebene) kann auf der horizontalen x-achse abrollen Für die kleinen Rollschwingungen um die Gleichgewichtslage ermittle man die Kreisfrequenz Der Rollwiderstand ist zu vernachlässigen Bild 34 Rollpendel Bild 35 Kräfte und Momente am frei gemachten Körper In Bild 35 ist das Freikörperbild des Körpers in einer ausgelenkten Lage einschließlich der d Alembert schen Trägheitskräfte gezeichnet Die Rollbedingung lautet x A = r ϕ Für die Koordinaten des Schwerpunkts liest man ab x S = r ϕ e sin ϕ, y S = r e cos ϕ

5 22 3 Pendelschwingungen Geschwindigkeit und Beschleunigung des Schwerpunkts erhält man daraus zu x S = r ϕ e cos ϕ ϕ, y S=esin ϕ ϕ, x 2 S = rϕ + esinϕ ϕ e cos ϕ ϕ, y 2 S = ecosϕ ϕ + esin ϕ ϕ In Bild 35 sind außer den äußeren Kräften auch die Trägheitskräfte und die Momente aus der Trägheitswirkung eingetragen Nach d Alembert muss die Summe aller Momente, bezogen z B auf den Berührpunkt B, gleich null sein: M(B) = sin ϕ Js ϕ m ys esin ϕ mx s ( r ecos ϕ ) = 0 Werden die obigen Beziehungen für x s und y s eingesetzt, so erhält man m g e sin ϕ J s ϕ m (e cosϕ ϕ2 + e sinϕ ϕ ) e sin ϕ m (rϕ + e sinϕ ϕ2 e cosϕ ϕ )(r e cos ϕ) = 0 Beschränkt man sich auf kleine Schwingungen, so kann man sin ϕ = ϕ, cos ϕ = 1 setzen und die Glieder mit ϕ2 ϕ undϕ 2 ϕ weglassen, da sie von höherer Ordnung klein gegenüber den linearen Anteilen sind Man erhält dann m g e ϕ J s ϕ mϕ (r e) 2 = 0 oder ϕ + ϕ = 0 J 2 s + mr ( e) Dies ist wieder die harmonische Schwingungen beschreibende Differentialgleichung Die Kreisfrequenz der Rollpendelschwingungen beträgt ω = J + m( r e) s 2 Beispiel 34: Zykloidenpendel Ein Massenpunkt bewegt sich reibungsfrei auf einem in vertikaler Ebene liegenden Zykloidenbogen OQ, der durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius r auf der x-achse entsteht (Bild 36) Man untersuche die Bewegung des Massenpunktes In Bild 36 ist die Masse m in einer ausgelenkten Lage gezeichnet Auf m wirken die Gewichtskraft F G und von der Führung her die Normalkraft F N Die Rückstellkraft beträgt F G sin ψ = m g sin ψ Aus der Geometrie ist bekannt, dass der Zykloidenbogen OA die Evolute des zu ihm kongruenten Zykloidenbogens AG ist: Die Normalen von AG sind gleich-

6 32 Das physikalische Pendel (Körperpendel) 23 zeitig Tangenten von OA Außerdem gilt, dass die Länge s des Zykloidenbogens PA (Auslenkung von m aus des statischen Gleichgewichtslage) übereinstimmt mit der Länge PD auf der Tangenten: s = PA = PD = 2 PC Daraus folgt für P O insbesondere OA = OG = 4r 0 y S P m Ψ B = Momentanpol r Q x F N Ψ FG C A s = 0 Zykloide (Evolute) r D G Evolvente E Bild 36 Zykloidenpendel In der beliebigen Lage P gilt PC s sin ψ = = 2 r 4 r und damit ergibt sich für die Rückstellkraft m g s 4 r Nach Newton gilt m g 4 sr = m a g t = m s s + s = 0 4 r Die Bewegung des Massenpunkts ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer T = 2π 4 r = 4π r g g

7 24 3 Pendelschwingungen Die lineare Differentialgleichung gilt hier exakt, nicht nur als Näherung für kleine Auslenkungen wie bei der Bewegung auf einem Kreisbogen Anders als etwa beim mathematischen Pendel bleibt die Schwingungsdauer also auch für große Auslenkungen immer gleich 33 Aufgaben Aufgabe 31: Eine homogene Kugel (Masse m, Radius r) ist in einer zylindrischen Führung (Radius R) gelagert (Bild 37) Für die kleinen Rollschwingungen der Kugel um die statische Gleichgewichtslage ermittle man die Kreisfrequenz (ohne Rollwiderstand, reines Rollen) Bild 37 Rollpendel Bild 38 Schiefes Körperpendel Aufgabe 32: Bei dem in Bild 38 dargestellten Körperpendel ist die Drehachse gegenüber der Horizontalen um den Winkel γ geneigt J A ist das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Drehachse Wie groß ist die Schwingungsdauer für die kleinen Pendelschwingungen? Aufgabe 33: Ein homogener, vollzylindrischer Körper ist um die Achse A A frei drehbar gelagert (Bild 39) Die Drehachse liegt horizontal und berührt den Grundkreis des Zylinders Man berechne die Eigenschwingungsdauer für die kleinen Schwingungen um die statische Gleichgewichtslage kg d = 120 mm, h = 200 mm, ρ = 7,85 dm 3

8 33 Aufgaben 25 Bild 39 Pendelschwingungen eines Zylinders Bild 310 Metronom Aufgabe 34: Man ermittle die Schwingungsdauer eines Metronoms Dieses besteht aus dem um 0 drehbaren Pendelkörper 1 (Masse m 1, Schwerpunkt S 1, Massenträgheitsmoment J 01 bezogen auf die Achse durch 0) Auf dem Pendelkörper sitzt das verschiebbare Zusatzgewicht der Masse m 2, das als Massenpunkt betrachtet werden kann (Bild 310)