Pendel, starre Körper und Drehmoment

Transkript

1 Pendel, starre Körper und Drehmoment Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

2 Lernziele Ein rotierendes System ist immer auch ein beschleunigtes System Die Schwingungsdauer eines Federpendels ist unabhängig von der Erdbeschleunigung Die Masse eines Fadenpendels hat keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer Das Drehmoment ist Kraft mal effektiver Hebelarm EindrehenderKörperistimGleichgewichtwenngilt i M i =0 Geht die Drehachse durch den Schwerpunkt, so das effektive Drehmoment gleich Null. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

3 Wiederholung I y Beschreibung der Kreisbewegungen mit Winkelfunktionen ( ) ( ) x(ϕ) r cos(ϕ) r(ϕ) = = y(ϕ) r sin(ϕ) y( ) r x( ) x Bogenlänge:s=r ϕ Bahngeschwindigkeit:v= ds dt =rdϕ dt =r ω ωistdiewinkelgeschwindigkeitin [ω] = rad /s und ein Vektor Allgemein gilt Auslenkung v = ω r Das Vorzeichen von ω gibt die Drehrichtung an (Drei-Finger-Regel, rechte-hand Regel) r v Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

4 51 Physik für Ingenieure(Maschinenbau) Wiederholung II Umlaufzeit:T= 2π ω Umlauffrequenz:f= 1 T = ω 2π [T] = s [f] = 1 /s = Hz 2 s(t 2 ) s r s(t 1 ) Kreisfrequenz: ω = 2π T =2πf [ω] = 1 /s t = t2 - t1 Kreisbewegung jetzt zeitabhängig formulieren, für eine konstante Winkelgeschwindigkeit(Kreisfrequenz) gilt dann x(ϕ) x(t) mit ϕ(t) = ωt + ϕ 0 x(ϕ) =r cos ϕ x(t) =r cos(ωt + ϕ 0 ) Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

5 Wiederholung III x(t) T x(t) =r cos(ωt + ϕ 0 ) ẋ(t) = rωsin(ωt + ϕ 0 ) = dx(t) =v x(t) dt ẍ(t) = rω 2 cos(ωt + ϕ 0 ) = dẋ(t) =a x(t) dt t 0 = r t [s] oder man schreibt ẍ(t) = ω 2 x(t) ẍ(t) + ω 2 x(t) =0 gewöhnliche lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung Differenzialgleichungen i.a. ermöglichen Vorhersagen über den Verlauf physikalischer Systeme, wie z.b. bei einem Pendel Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

6 Beschleunigung in rotierenden Systemen Man unterscheidet zwei Arten von Beschleunigungen Winkelbeschleunigung, die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit dω dt = ω = 1 dv T = a T r dt r Radialbeschleunigung auch bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit wirkt eine Beschleunigung auf den rotierenden Körper. Radialbeschleunigung: a R = ω 2 r = v2 T r DerVektor a R istdabeiimmerzummittelpunktder Kreisbewegung gerichtet. Für tgeht ϕ 0und vstehtsenkrecht zuv 1 undzeigtsomitzummittelpunkt r(t ) 1 r v 1 v 2 v r(t ) 2 v 1 v 2 Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

7 Radialkraft Mit der Radialbeschleunigung ist auch eine Kraft verbunden, die ebenfalls ins Zentrum gerichtet ist Radialkraft: F R =ma Z =m v2 T r (Zentripetalkraft) Für den Rotierenden existiert eine gleichgroß entgegengesetzte (Schein-)Kraft Zentrifugalkraft Quelle: Computerbild.de Autor: Distelfalter Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

8 Beispiel: Abstand Stern Planet bestimmen Helligkeit Zeit F G F R Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

9 Federpendel m m Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

10 Federpendel Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

11 Fadenpendel Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

12 Fadenpendel Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

13 Zusammenfassung jedes rotierende System ist ein beschleunigtes System Radialbeschleunigung Translation Rotation Verknüpfung Weg: r Winkel: ϕ s =rϕ Geschwindigkeit: v W.-Geschw.: ω = ϕ v = rω Beschleunigung: a W.-Beschl.: ω = ϕ a = r ω Kraft: F =m a Drehmoment: M = Θ ω M = r F Federpendel Fadenpendel F R Dx mgsin ϕ ω D m ω =2πf= 2π T g l Kenngrößen,wie ω,fundt,sindunabhängigvonderstärkederauslenkung Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

14 Quiz Ein Pendel ist über eine Rolle mit einem Federkraftmesser verbunden. Was zeigt der Kraftmesser im Vergleich zum ruhenden Pendel an, wenn das Pendel in Schwingung versetzt wird? Die Anzeige am Kraftmesser ändert sich nicht. Die Anzeige am Kraftmesser ändert sich im Rhythmus der Schwingung, sie ist in der Position 2 am größten. Die Anzeige am Kraftmesser ändert sich im Rhythmus der Schwingung,sieistindenPositionen1und3amgrößten. Welche Aussage ist zu dem Zeitpunkt richtig, bei dem die maximale Auslenkung aus der Ruhelage einer Schwingung erreicht wird? Die Beschleunigung ist null. Die Geschwindigkeit hat ein Maximum. Die potentielle Energie hat ein Maximum. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

15 starre Körper Unter einen starren Körper versteht man einen nicht-verformbaren ausgedehnten Körper Entweder ist die Masse kontinuierlich über den Körper verteilt oder in diskreten Massenpunkte(z.B. Molekül) Anders als in der Punktmechanik neben der Translation ist auch eine Rotation des Körpers möglich Kräfte können an verschiedene Punkte des Körpers angreifen Unterscheidung zwischen homogene und inhomogene Körper Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

16 Dichte Siehe Ergänzungsübung F Dichte: ρ = m V [ρ] = kg m 3 homogene Körper die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt die Dichte ist im ganzen Körpervolumen konstant inhomogene Körper ungleichmäßige Massenverteilung die Dichte ist nicht über das gesamte Volumen konstant Bsp. gezinkter Würfel, der menschliche Körper, Schweizer Käse,... Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

17 inhomogene Körper Zerlegung des Körpers in Volumenelemente mit homogener Dichte V i ρ i = m i V i Beispiel: Die Erde lässt sich vereinfacht aus Schichten, mit konstanter Dichte, aufgebaut vorstellen 11 g/cm 3 Erdkern 4,5 g/cm 3 Erdkruste Erdmantel 2,8 g/cm 3 Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

18 Bewegung starrer Körper Zerlegung des Körpers in infinitesimale Volumina mit konstanter Dichte Für infinitesimale Volumina geht die Summe in ein Integral über dm = ρ(r)dv M = ρ(x,y,z)dxdydz r Für diese Massenstücke gelten nun die Überlegungen der Punktmechanik Summierung der jeweiligen Effekte, die auf die Massestücke wirken, um den Gesamteffekt des starren Körpers zu erhalten r dv Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

19 Drehmoment Das Drehmoment ist das Pendant zur der Kraft in der Translation, es beschleunigt oder bremst Drehbewegungen. Drehmoment: M = r F [M] = N m ( =Energie) DasDrehmomentisteinVektor,welchersenkrechtauf rund Fsteht. Das Vorzeichen von M gibt dabei die Richtung der wirkenden Kraft an (im oder gegen den Uhrzeigersinn, Drei-Finger-Regel) In Worten ist das Drehmoment gleich der Kraft mal effektiver Hebelarm. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

20 Beispiele zum Drehmoment r F Quelle: aus Telekolleg-Physik, BR Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

21 Addition von Drehmomenten Zwei gleiche Drehmomente und bezüglich des Drehsinns gleichgerichtete Drehmomente ergeben ein doppeltes Drehmoment r F F Zwei gleichgroße aber im Drehsinn entgegengesetzt gerichtete Drehmomente heben sich auf -F F r Ein Körper ist, in Bezug auf die Drehung, dann im Gleichgewicht, wenn alle angreifende Drehmomente sich zu Null kompensieren. M i = 0 Experiment: Balkenwaage i Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

22 Hebel Die Balkenwaage oder die Spielplatzwippe sind gute Beispiele für zweiarmige Hebel Prinzip der Hebelwirkung: Mit kleinen Kräften und langem Hebelarm große Lasten heben Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

23 Hebel II einarmiger Hebel Beide Kräfte greifen auf der gleiche Seite des Drehpunktes an Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

24 Schwerpunkt Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt eines Körpers, aber er muss sich nicht notwendigerweise im Körpervolumen befinden. Quelle: Ist ein Körper im Schwerpunkt aufgehängt so kompensieren sich alle Drehmomente zu Null, bezüglich der Schwerkraft. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

25 Schwerpunkt II Bei einfachen Formen, lässt sich der Schwerpunkt aus der Geometrie leicht ableiten Bsp. Würfel, Kugel, Scheibe Experiment: Besenstiel Unregelmäßige und/oder inhomogene Körper kann man an verschiedenen Punkten aufhängen InderRuhestellunggilt M i =0. So läuft ein Lot vom Aufhängepunkt direkt durch den Schwerpunkt. Aus dem Schnittpunkt mehrerer Lote erhält man exakt die Position des Schwerpunktes. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

26 Gleichgewicht stabil labil indifferent stabil der Schwerpunkt befindet sich unter dem Drehpunkt labil der Schwerpunkt befindet sich über dem Drehpunkt indifferent Schwerpunkt und Drehpunkt fallen zusammen Ein physikalisches System ist dazu bestrebt den Zustand niedrigster Energie einzunehmen. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

27 Gleichgewicht stabil labil indifferent stabil der Schwerpunkt befindet sich unter dem Drehpunkt labil der Schwerpunkt befindet sich über dem Drehpunkt indifferent Schwerpunkt und Drehpunkt fallen zusammen Ein physikalisches System ist dazu bestrebt den Zustand niedrigster Energie einzunehmen. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27

28 Gleichgewicht bei stehenden Objekten Verlässt das Lot unter dem Schwerpunkt eines Körpers die Standfläche, so kippt er um. Pendel, starre Körper, Dremoment (Ruhr-Universität Bochum) 20. November / 27