Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, Uhr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr"

Transkript

1 KIT SS 0 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 0. August 0, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++4=0 Punkte (a Zwangsbedingungen beschreiben Einschränkungen der Bewegungsfreiheit des Systems. Mögliche Arten sind: holonom: Z. kann geschrieben werden als A µ ( r,..., r N, t = 0 nicht-holonom: Z. kann nicht durch o.a. Form ausgedrückt werden, z.b. geschwindigkeitsabhängige Zwangsbedingung skleronom: A µ t = 0 rheonom: A µ t 0 Für die Anzahl der Freiheitsgrade gilt: f = 3N N Z. (b Falls q i eine zyklische Koordinate ist, ist L unabhängig von q i, also L q i = 0. Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichungen folgt = 0 dt q i L = const. = p i q i p i bezeichnet den verallgemeinerten Impuls. (c Wir definieren L = c L. Einsetzen in die Bewegungsgleichungen liefert 0 = L dt q i q ( i = c L. dt q i q i

2 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Da c 0, muss der Ausdruck innerhalb der Klammer 0 sein, was die ursprüngliche Bewegungsgleichung für L ist. Die Bewegungsgleichungen bleiben somit unverändert. (d Drehen von e z = (0, 0, T um die Eulerwinkel liefert e z in der Basis der e i. 0 e z = D ψ D ϑ D ϕ 0 cos ψ sin ψ = sin ψ cos ψ 0 0 cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ cos ψ sin ψ 0 0 = sin ψ cos ψ 0 sin ϑ 0 0 cos ϑ sin ϑ sin ψ = sin ϑ cos ψ cos ϑ /

3 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Aufgabe : Rotierender Quader (+3+0=5 Punkte (a Zunächst berechnen wir die Dichte des Quaders: a b M = d 3 rϱ = ϱ dx dy V a ϱ = M abc Komponenten des Trägheitstensors: Θ xx = d 3 rϱ(y + z V = ϱa = ϱa = ϱac b b b b b b b c c c dy dz(y + z c ] c [y z + z3 dy 3 dy (y + c ( b = ϱabc + c = M ( b + c c dz = ϱabc Die Berechnung der anderen Diagonalelemente erfolgt analog: Θ yy = M (a + c Θ zz = M (a + b Die Außerdiagonalelemente verschwinden, wie man sofort erkennen kann. Explizite Rechnung bestätigt dies: Θ xy = d 3 rϱxy = ϱc = 0 V a a dx ] b [x y b und analog für die anderen Außerdiagonalelemente. Der vollständige Trägheitstensor lautet also Θ = M b + c a + c a + b 3 /

4 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 (b Gesucht ist der Trägheitstensor um eine um den folgenden Vektor verschobene Achse: v = c e z Berechnung mit Hilfe des Satz von Steiner angewandt auf Θ xx Θ xx = Θ xx + M ( v v v = M ( b + c + M c 4 = M ( b + 4c (c Rotationsenergie: T = Θ xx ϕ = M 4 ( b + 4c ϕ Potentielle Energie durch Schwerkraft (wirkt auf Schwerpunkt des Quaders, Nullpunkt gewählt iufhängepunkt: U = Mg c ( cos ϕ also L = T U = M ( b + 4c ϕ Mgc ( cos ϕ 4 Einsetzen in die Lagrangegleichungen führt auf die Bewegungsgleichung: dt ϕ = M ( b + 4c ϕ L ϕ = Mgc ( sin ϕ = Mgc ϕ wobei wir im letzten Schritt sin ϕ ϕ für kleine Auslenkungen benutzt haben. ϕ = 6gc b + 4c ϕ Mit dem üblichen Ansatz für Schwingungen ϕ = A sin (ωt + ϕ 0 folgt und damit als Lösung ϕ = A sin 6gc ω = b + 4c ( 6gc b + 4c t + ϕ 0 4 /

5 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Aufgabe 3: Longitudinale Molekülschwingungen ( =50 Punkte (a Die x i bezeichnen die Auslenkungen aus der Ruhelage. Damit ist die kinetische Energie gegeben durch T = (ẋ + ẋ 3 + ẋ und die potentielle durch die beiden Federn als U = (x x + (x x 3, was zusammen auf die Lagrangefunktion führt: L = T U = (ẋ + ẋ 3 + ẋ (x + x 3 + x x x x 3 x. (b Aus der Transformation x i = x i + εv 0 t, t = t lassen sich die folgenden Größen, die in den Gleichungen für das Noether-Theorem vorkommen, berechnen: ẋ i = ẋ i + εv 0 dt dt = ψ i = v 0 t ϕ = 0 ψ i = v 0. Zuerst muss geprüft werden, ob die Bedingungen des Noether-Theorems erfüllt sind: d (L (x i, ẋ i, t dt dε dt ε=0 = L ψ i + L ψ i x i ẋ i = ((x x + (x x + (x x 3 + (x 3 x v 0 t ( ma + (ẋ + ẋ 3 + m B ẋ v 0 = ( (ẋ + ẋ 3 + ẋ v 0 = d dt (((x + x 3 + x v 0 } {{ } =f Das Ergebnis lässt sich also als eine totale Zeitableitung schreiben und die Bedingung des verallgemeinerten Noether-Theorems ist erfüllt.. 5 /

6 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Dies setzen wir nun in die Formel für die Noether-Ladung ein: Q = L ẋ i ψ i f = ( (ẋ + ẋ 3 + ẋ v 0 t ( (x + x 3 + x v 0. Die erhaltene Größe ist die Schwerpunktsbewegung des Systems, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 bewegt. Eine weitere Erhaltungsgröße ist z.b. die Energie, da L t = 0. (c Einsetzen der Lagrangefunktion in die Lagrangegleichung führt zu den Bewegungsgleichungen: = ẍ dt ẋ = ẍ dt ẋ = ẍ 3 dt ẋ 3 welche in Matrixform umgeschrieben werden können: x = L = (x x x L = (x + x 3 x x L = (x x 3, x 3 0 x } 0 {{ } M Dies hat die Form eines harmonischen Oszillators und kann mit dem Schwingungsansatz gelöst werden: x = A sin(ωt + ϕ 0 x = ω x Für die Eigenfrequenzen müssen die Eigenwerte von M bestimmt werden: 0 = det(m λ ( ( = λ ( = λ λ = 0 λ λ λ,3 = + = + ( + λ ( ± + ±. λ ( λ m ( A ( + λ + ( 6 / + = 0 ( +

7 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Damit lauten die drei Eigenfrequenzen ω = 0 ω = ω 3 = +. Zur Bestimmung der Eigenschwingungen müssen wir nun die zugehörigen Eigenvektoren von M berechnen. Römische Ziffern bezeichnen im folgenden die jeweilige Zeile des Gleichungssystems, aus der die Gleichung stammt: λ : x M x = 0 x 3 I x = x III x = x 3 v = 3 λ : ( M x x = 0 x 3 I x = 0 II x = x 3 v = 0 λ 3 : ( ( M + x x x 3 = 0 I x = x III x = x 3 x = x 3 m B v 3 = /

8 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 (d ω = 0: ω = : Translationsbewegung des gesamten Systems. Alle Federn bleiben stets entspannt. Die äußeren beiden Massen schwingen gegeneinander. ω 3 = + : Die äußeren beiden Massen schwingen gleichphasig, die mittlere dagegen mit einer gerade so großen Amplitude, dass der Schwerpunkt in Ruhe bleibt (z.b. doppelt so groß im Spezialfall drei identischer Massen (e Da ω = 0, funktioniert hier der Schwingungsansatz nicht. Da die Zeitabhängigkeit herausfällt, bleibt effektiv nur mehr eine Integrationskonstante übrig. Wir benötigen stattdessen einen Ansatz für ẍ = 0 x = C t + C 0. Also lautet die allgemeine Lösung für die Auslenkungen der drei Massen x(t = (C t + C 0 ( + A 0 sin t + ϕ 0 m A ( + A 3 sin + t + ϕ 30 m A 8 /

9 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 Aufgabe 4: Das Problem der Dido ( =35 Punkte Hintergrund zuufgabentitel: Im Jahre 84 v. Chr. landete die vertriebene Prinzessin Dido von Tyros der Sage nach auf der Flucht an der Küste Nordafrikas, wo ein spöttischer Lokalfürst ihr soviel Land zubilligte, wie unter die Haut eines Ochsen passt. Die gerissene Prinzessin zerschnitt das Leder in feine Streifen und umspannte damit einen ganzen Landstrich von Küste zu Küste, auf dem sie später die phönizische Siedlung Karthago gründete. In welche Form legte Dido den Hautstreifen? (a Aus der Aufgabenstellung lassen sich zwei Bedingungen herauslesen: Fläche unter dem Seil ist maximal Länge des Seils ist fest L = J[y] = ds = a a a a dx y(x = maximal ( dx + y = K[y] = const. ( Wir haben also ein Variationsproblem mit isoperimetrischer Nebenbedingung mit den Funktionen F = y G = + y. (b Die Nebenbedingung wird mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators in die zu maximierende Funktion F eingebaut: F F = F + λg = y + λ + y Da F keine explizite x-abhängigkeit besitzt, können wir benutzen: Einsetzen liefert F y F y = const. y + λ + y y λy + y = C (y C + y = λ ( y ( + y = λ + y = λ y C y λ = ± (y C 9 /

10 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 (c Wir betrachten zunächst nur den Bereich x > 0, in dem gilt y < 0. Die Gleichung der vorhergehenden Teilaufgabe wird durch Separation der Variablen integriert, wobei wir die Größe y 0 = y(x = 0 einführen x 0 dx = y dỹ y 0 λ (ỹ C Auf der rechten Seite substituieren wir y = ỹ C x = y C y 0 C y C = y 0 C dy λ y y dy λ y [ ] y C = λ y y 0 C = λ (y C λ (y 0 C x = λ (y C b mit b = λ (y 0 C. Diese Gleichung lösen wir nach y auf: (x + b = λ (y C (y C = λ (x + b y = C + λ (x + b (d Die gerade gewonnene Lösung setzen wir in y ein. Da y an der Stelle x = 0 ein Maximum hat, also y (0 = 0, lässt sich daraus eine Bedingung an die noch zu bestimmenden Parameter gewinnen. λ y (0 = ± λ b b = ± λ b = 0 b = 0 y = C + λ x Für den Bereich x < 0 gilt aus Symmetriegründen y( x = y(x. Da x in obenstehender Gleichung nur quadratisch vorkommt, ist diese folglich für alle x gültig. Formen wir diese noch etwas um x + (y C = λ, führt dies auf die Bahngleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt (0, C und Radius λ. 0 /

11 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 0 (e Eine Bedingung erhalten wir aus den Endpunkten, da beide auf dieselbe Gleichung führen (die zweite Bedingung aus den Endpunkten hatten wir schon implizit durch die Symmetrieüberlegungen benutzt y(a = C + λ a = 0 C = λ a Die zweite Bedingung liefert die Seillänge L = a a a + y dx = + λ a λ x a λ = a λ x ( a L = λ arcsin λ Dies ist eine transzendente Gleichung, die analytisch nur für spezielle Werte von a und λ weiter vereinfacht werden kann. /

KIT SS Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 11. Oktober 2012, Uhr

KIT SS Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 11. Oktober 2012, Uhr KIT SS 1 Kassische Theoretische Physik II : Prof. Dr. M. Müheitner, Ü: Dr. M. Rauch Kausur Lösung 11. Oktober 1, 8-1 Uhr Aufgabe 1: Kurzfragen 4+4+=1 Punkte a Die Transformationen und zugehörigen Erhatungsgrößen

Mehr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 22. September 2015, 12-14 Uhr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 22. September 2015, 12-14 Uhr KIT SS 15 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung. September 15, 1-14 Uhr Aufgabe 1: Kurzfragen (3+4+1+1 Punkte (a Die erhaltenen Größen und evtl.

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13

Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13 Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten

Mehr

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit

Mehr

(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ.

(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ. Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

20. und 21. Vorlesung Sommersemester

20. und 21. Vorlesung Sommersemester 2. und 21. Vorlesung Sommersemester 1 Der Spezialfall fester Drehachse Aus dem Trägheitstensor sollte der früher behandelte Spezialfall fester Drehachse wieder hervorgehen. Wenn man ω = ω n mit einem Einheitsvektor

Mehr

1 Lagrange-Formalismus

1 Lagrange-Formalismus Lagrange-Formalismus SS 4 In der gestrigen Vorlesung haben wir die Beschreibung eines physikalischen Systems mit Hilfe der Newton schen Axiome kennen gelernt. Oft ist es aber nicht so einfach die Kraftbilanz

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zwei Kugeln und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt Prof. Dr. T. Apel J. Mihael Mathematishe Methoden in den Ingenieurwissenshaften. Übungsblatt Wintertrimester 5 Aufgabe 4 : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme

Mehr

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW) Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren

Mehr

Aufgabe 1: Doppelpendel a) [2 Pkte.] Zwangsbedingungen: Massenpunkte auf Kreisen, also A 1 : x y 2 1 l 2 = 0,

Aufgabe 1: Doppelpendel a) [2 Pkte.] Zwangsbedingungen: Massenpunkte auf Kreisen, also A 1 : x y 2 1 l 2 = 0, Universität Karlsruhe Klassissche Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2009 : PD. Dr. M. Eschrig Ü: Dr. habil. W. Lang Lösungen der Nachklausur vom 28. Oktober 2009 Aufgabe : Doppelpendel

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik

Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Starre Körper Übungen, die mit einem Stern markiert sind, werden als besonders wichtig erachtet. 3.1 Trägheitstensor eines homogenen Quaders Bestimmen Sie den

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner

Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Übungen zu Theoretische Physik I - echanik im Sommersemester 3 Batt 9 vom 4.6.3 Abgabe:.7. Aufgabe 38 Punkte Das Trägheitsmoment und der Satz von Steiner Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Zyinders

Mehr

Experimentalphysik 1

Experimentalphysik 1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 1 WS 16/17 Lösung 1 Ronja Berg (ronja.berg@tum.de) Katharina Scheidt (katharina.scheidt@tum.de) Aufgabe 1: Superposition

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Seite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx

Seite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =

Mehr

- 1 - zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse ( n

- 1 - zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse ( n - 1 - Variationsrechnung Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle. So kann man die Grundgleichungen der Newtonschen Mechanik aus einem Lagrangeschen Variationsprinzip herleiten.

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Fakultät für Physik Technische Universität München Michael Schrapp Übungsblatt 3 Ferienkurs Theoretische Mechanik 009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Hamilton-Mechanik. Aus Doctoral General

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen Jonas Probst 22.09.2009 1 Teilchen auf der Stange Ein Teilchen der Masse m wird durch eine Zwangskraft auf einer masselosen Stange gehalten, auf

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 3 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 5/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 5 Übungsblatt 6 Lösungsvorschlag 3 ufgaben,

Mehr

5. Vorlesung Wintersemester

5. Vorlesung Wintersemester 5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode

Mehr

Serie 8 - Parametrisierte Kurven

Serie 8 - Parametrisierte Kurven Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige

Mehr

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Robotik-Praktikum: Ballwurf mit dem Roboterarm Lynx6 Modellbeschreibung. Julia Ziegler, Jan Krieger

Robotik-Praktikum: Ballwurf mit dem Roboterarm Lynx6 Modellbeschreibung. Julia Ziegler, Jan Krieger Robotik-Praktikum: Ballwurf mit dem Roboterarm Lynx6 Modellbeschreibung Julia Ziegler, Jan Krieger Modell zur Optimierung Doppelpendel-Modell Zur Optimierung einer Wurfbewegung wurde ein physikalisches

Mehr

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte] Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.

Mehr

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen Übungen zu Lagrange-Foralisus und kleinen Schwingungen Jonas Probst.9.9 Teilchen auf der Stange Aufgabe: Ein Teilchen der Masse wird durch eine Zwangskraft auf einer asselosen Stange gehalten, auf der

Mehr

Technische Universität Berlin

Technische Universität Berlin Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

(dφ) 2 + (dz) 2. φ 2 dφ mit z=z(φ).

(dφ) 2 + (dz) 2. φ 2 dφ mit z=z(φ). PD Dr. S. Mertens Theoretische Physik I Mechanik J. Unterhinninghofen, M. Hummel Blatt 5 WS 8/9.. 8. Strecke auf Zylinder. Bestimmen Sie die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf Pkt.) dem Zylinder.

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Starre Körper und Rotation - Lösungen

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Starre Körper und Rotation - Lösungen Physik Department Technische Universität München Matthias Eibl Blatt 4 Ferienkurs Theoretische Mechanik 9 Starre Körper und Rotation - en Aufgaben für Donnerstag 1 Kinetische Energie eines rollenden Zylinders

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe B Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl0-Gruppe B. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x =0.8 2 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y

f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y 7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem

Mehr

Hamilton-Formalismus

Hamilton-Formalismus KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik. Lagrangeformalismus

Ferienkurs Theoretische Mechanik. Lagrangeformalismus Ferienkurs Theoretische Mechanik Lagrangeformalismus Sebastian Wild Mittwoch, 14.09.2011 Inhaltsverzeichnis 1 Zwangskräfte und Lagrangegleichungen 1. Art 2 1.1 Motivation, Definition von Zwangsbedingungen..........

Mehr

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A

Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9

I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall

Mehr

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster

Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die

Mehr

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der

Mehr

Klausur zur T1 (Klassische Mechanik)

Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 4 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 37

Mehr

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/ Wegintegrale ( = 50 Punkte)

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/ Wegintegrale ( = 50 Punkte) Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 213/214 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 2 Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung 8.11.213 1. Wegintegrale 1 +

Mehr

Lösung zur Klausur zur Analysis II

Lösung zur Klausur zur Analysis II Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes

Mehr

Übungsblatt

Übungsblatt Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Seite 1 Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 Fakultät für Physik Technische Universität München 27.09.2017 Inhaltsverzeichnis 1 Trägheitsmoment & Satz von Steiner 2 2 Trägheitstensor einer dünnen Scheibe

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion

Mehr

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit

Mehr

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur analytischen Geometrie, Hessen 2013, B2, Grundkurs (TR) 1 Bei Ausgrabungen wurden die Überreste einer 4500 Jahre alten Pyramide entdeckt. Die Abbildung zeigt die Ansicht der Pyramidenruine

Mehr

2. Arbeit und Energie

2. Arbeit und Energie 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen. Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen

Mehr

3.6 Drehungen in der Ebene

3.6 Drehungen in der Ebene 3.6-1 3.6 Drehungen in der Ebene 3.6.1 Die Drehmatrix Gelegentlich müssen wir die Lage eines Teilchens in einem ebenen Koordinatensystem beschreiben, das gegenüber einem festen System um φ gedreht ist.

Mehr

} Symmetrieachse von A und B.

} Symmetrieachse von A und B. 5 Symmetrieachsen Seite 1 von 6 5 Symmetrieachsen Gleicher Abstand von zwei Punkten Betrachtet man zwei fest vorgegebene Punkte A und B, drängt sich im Zusammenhang mit dem Abstandsbegriff eine Frage auf,

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen Physik Schwingungen Zusammenfassung Mechanik Physik Mathe Einheiten Bewegung Bewegung 3d Newtons Gesetze Energie Gravitation Rotation Impuls Ableitung, Integration Vektoren Skalarprodukt Gradient Kreuzprodukt

Mehr

Übungsaufgaben zur Hamilton-Mechanik

Übungsaufgaben zur Hamilton-Mechanik Übungsaufgaben zur Hamilton-Mechanik Simon Filser 24.9.09 1 Parabelförmiger Draht Auf einem parabelförmig gebogenen Draht (z = ar² = a(x² + y²), a = const), der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω 0

Mehr

Abbildung 1: Atwoodsche Fallmaschine mit Feder

Abbildung 1: Atwoodsche Fallmaschine mit Feder Philipp Landgraf Christina Schindler Ferienkurs Theoretische Mechanik SS 04 Abbildung : Atwoodsche Fallmaschine mit Feder A Probeklausur. Atwoodsche Fallmaschine Die Atwoodsche Fallmaschine besteht aus

Mehr

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015

Serie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum

Mehr

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale 300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Martin Zellner 18. Juli 2011 Einleitende Worte Diese Formelsammlung enthält alle Formeln und Konstanten die im Verlaufe des Semesters in den Übungsblättern

Mehr

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 13 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 005/06 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html. Dezember 005 Übungsblatt 7 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben,

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

10.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten

10.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten 0.6. Implizite ebene Kurven und Tangenten Im Gegensatz zu expliziten Darstellungen sind weder implizite noch Parameterdarstellungen einer Kurve eindeutig. Der Übergang von impliziten zu expliziten Darstellungen

Mehr

Aufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010

Aufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010 Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius

Mehr

Probeklausur. 1 Stetigkeit [7 Punkte] 2 Differenzierbarkeit [10 Punkte] Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS Karolina Stoiber Aileen Wolf

Probeklausur. 1 Stetigkeit [7 Punkte] 2 Differenzierbarkeit [10 Punkte] Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS Karolina Stoiber Aileen Wolf Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 26 A Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 1/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 008 (3. Juli 007) Bearbeitungszeit:

Mehr

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

1 Die drei Bewegungsgleichungen

1 Die drei Bewegungsgleichungen 1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 17. Januar 26 Übungsblatt 9 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben,

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014

Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014 Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr