Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

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1 Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m] = 1 kg 2 Mechanik 2.1 Kinematik in 1D bekannt gesucht Operation Bahn xt Geschwindigkeit vt Geschwindigkeit differenzieren vt = ẋt = dx dt Beschleunigung differenzieren at = ẍt = d2 x dt 2 Bahn integrieren xt = t vt dt + x Beschleunigung at x : Anfangsort v : Anfangsgeschwindigkeit Beschleunigung differenzieren at = vt Geschwindigkeit integrieren vt = Bahn integrieren xt = vollständige Information über 1D-Bahn: at, x, v! t t at dt + v vt dt + x Beispiel: Bahn bei a = const. xt = 1 2 a t2 + v t + x 1

2 2.2 Kinematik in 2D Ortsvektoren angeheftet an Koordinatenursprung! x t = x t y t Momentangeschwindigkeit Tangente an Bahn v t = x t = ẋ t ẏ t Bahngeschwindigkeit vt = v = ẋ 2 + ẏ 2 Beschleunigung a t = x t = v t = ẍ t ÿ t Beispiel 1: Allgemeiner Wurf unter Abwurfwinkel ϕ mit Erdbeschleunigung g = 9,81 m s 2 Anfangsgeschwindigkeit v = v cosϕ v sinϕ Anfangsort x = Damit folgt für die Bahn x t = v cos ϕ t v sin ϕ t 1 2 gt2 z.b. Wurfweite x A = v2 g sin2ϕ Beispiel 2: Gleichförmige Kreisbewegung mit Umlaufzeit T und Radius R Bahn x t = R cosω t sinω t Winkelgeschwindigkeit ω = 2π T = const. gleichförmig! Bahngeschwindigkeit v = v = ω R = const. Zentripetalbeschleunigung a = a = ω 2 R = v2 R Betrag 2

3 2.3 Dynamik 2. Newtonsches Axiom: m x t = i F i Lineare Superposition aller am Massenpunkt m angreifenden Kräfte F i, [F] = 1 N = 1 kg m s 2 Mit Anfangsort x und Anfangsgeschwindigkeit x folgt damit die gesamte Bahn xt Programm der Mechanik Reibungskräfte Beträge proportional zur Normalkraft F n Maximale Haftreibungskraft F RH = µ RH F n Gleitreibungskraft F RG = µ RG F n µ RG < µ RH Gravitationskraft Betrag zwischen Massen m 1 und m 2 im Abstand r F G = G m1 m 2 r 2 wirkt anziehend entlang Verbindung der Massenpunkte mit Gravitationskonstante 11 Nm2 G = 6,67 1 kg 2 Federkraft Hooke sches Gesetz Fx = kx x: Dehnung/Stauchung der Feder k: Federkonstante 2.4 Arbeit und Energie Arbeit einer Kraft F x auf dem Weg von x 1 nach x 2 x 2 Fx dx Fläche unter Kurve Fx W = F x d x, [W] = 1 kg m2 s 2 = 1 JJoule x 1 x 2 Variante in 1D W = x 1 Satz von der kinetischen Energie: Arbeit Bewegungsenergie für einen Massenpunkt m 1 2 m v W = 1 2 m v 2 2 3

4 Energieerhaltungssatz: Bei konservativen Kräften F wird W = E pot,1 E pot,2 E pot,i : potentielle Energie des Punktes x i Damit folgt der Energieerhaltungssatz Beispiele zur potentiellen Energie: 1 2 m v E pot,1 = 1 2 m v E pot,2 = E ges = const. Schwerefeld E pot z = mgz z: vertikale Koordinate Feder E pot x = 1 2 kx2 x: Dehnung/Stauchung der Feder Potentielle Energie im Gravitationsfeld der Masse M E pot r = G mm r Achtung: Referenzpunkt ist hier r = r: Abstand von Masse M 2.5 Impuls und Impulserhaltungssatz Impuls einer Masse m mit Geschwindigkeit v p = m v Wenn nur innere Kräfte actio = reactio zwischen den Massen m i wirken, gilt der Impulserhaltungssatz p i = m i v i = const. i i Anwendung: Zentraler elastischer Stoß zwischen den Massen m 1 und m 2 v 1 = m 1 m 2 v 1 + 2m 2 v 2 m 1 + m 2 v 2 = m 2 m 1 v 2 + 2m 1 v 1 m 1 + m 2 v i : v i : Anfangsgeschwindigkeit von Masse m i mit Vorzeichen Endgeschwindigkeit von Masse m i mit Vorzeichen 4

5 2.6 Starrer Körper Drehbewegungen Translation des Schwerpunkts x S x S 1 m i x i m ges i x i : m ges = i m i : Positionen der Massenpunkte m i Gesamtmasse Dann lautet die Bewegungsgleichung der Translation m ges xs = i F i F i : äußere Kräfte Kinematische Grundgrößen der Rotation um eine feste Drehachse Bahn der Rotation = Winkel um Drehachse ϕt Winkelgeschwindigkeit ωt = ϕt Winkelbeschleunigung αt = ϕt Drehmoment skalare Formulierung M = rf sin Θ F Θ F: angreifende Kraft unter Winkel Θ im Abstand r zur Drehachse Ursache der Rotation Bewegungsgleichung der Rotation + Drehachse r I ϕ = i M i I = i M i : m i r 2 i : Trägheitsmoment der Massen m i im Abstand r i zur Drehachse angreifende Drehmomente Satz von Steiner zu Trägheitsmomenten I = I S + m ges d 2 I S : Trägheitsmoment um Schwerpunktsachse S I: Trägheitsmoment um Achse parallel zu S im Abstand d Drehimpuls um eine Achse mit zugehörigem Trägheitsmoment I L I ϕ = Iω 5

6 Damit wird die Bewegungsgleichung der Rotation L = i M i Wenn keine äußeren Drehmomente am starren Körper angreifen, gilt Drehimpulserhaltung L = Iω = const. Kinetische Energie der Rotation Rotationsenergie um eine Achse E rot = 1 2 Iω2 Anwendung: Rollen eines Rades auch Zylinder oder Kugel mit Radius R und der Masse m ges im Schwerefeld E ges = 1 2 m ges v 2 S I Sω 2 + m ges gh = const. Schwerpunktsgeschwindigkeit v S = ωr Rollbedingung Gegenüberstellung von Translation und Rotation Translation 1D Rotation Masse m Trägheitsmoment I Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω Kraft F Drehmoment M Impuls p = mv Drehimpuls L = Iω Bewegungsgleichung ṗ = F Bewegungsgleichung L = M Kinetische Energie E kin = 1 2 mv2 Rotationsenergie E rot = 1 2 Iω2 2.7 Schwingungen Freie, ungedämpfte Schwingungen: harmonischer Oszillator Wichtig: linear rückstellende Kraft z.b. Feder F = kx 6

7 Bewegungsgleichung 2. Newton sches Axiom für Masse m ẍ + ω 2 x = ergibt Schwingung Bahn der Masse m xt = A cosω t mit Amplitude A und Eigenfrequenz Kreisfrequenz! ω Periodendauer der Schwingung T 2π/ω zugehörige Frequenz k m f = 1 T = ω 2π Mathematisches Pendel Massenpunkt der Länge l Eigenfrequenz ω = g/l ϕ + ω 2 ϕ = Physikalisches Pendel starrer Körper, Masse m mit Trägheitsmoment I D um Drehachse im Abstand d vom Schwerpunkt Eigenfrequenz ω = Freie, gedämpfte Schwingung ϕ + ω 2 ϕ = mgd mgd = I D I S + md 2 Wichtig: lineare, rückstellende Kraft F = kx und Reibungskraft F R ẋ Bewegungsgleichung für Masse m Exponentiell abklingende Schwingung ẍ + 2κẋ + ω 2 x = xt = A e κt cosωt mit Dämpfungskonstante κ und Kreisfrequenz ω = Angetriebener Oszillator Resonanz Äußere antreibende Kraft F cosωt ω 2 κ 2 < ω 7

8 Bewegungsgleichung für Masse m ẍ + 2κẋ + ω 2 x = const. cosωt wird gelöst von Amplitude xt = AΩ cos [Ωt ψω] const. AΩ Ω2 2 ω 2 + 4κ2 Ω 2 mit Resonanzfrequenz Maximum Ω res ω 2 2κ 2 Phasenverschiebung Oszillator hinkt hinterher ψω arctan 2κΩ ω 2 Ω 2 6 Skalierte Amplitude A κ / ω =.1 κ / ω =.2 κ / ω = Skalierte Kreisfrequenz Ω ω a Amplitude AΩ zeigt Resonanz π Phasenverschiebung ψ 3π/4 π/2 π/4 κ / ω =.1 κ / ω =.2 κ / ω = Skalierte Kreisfrequenz Ω ω b Phasenverschiebung ψω 8

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