Physik für Biologen und Zahnmediziner

Transkript

1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 5: Drehmoment, Gleichgewicht und Rotation Dr. Daniel Bick 16. November 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

2 Impuls Impuls p = m v Der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten! Wirkt auf ein System keine äußere Kraft bleibt der Gesamtimpuls erhalten! Weitere Formulierung des 2. Newtonschen Axioms d p dt = d(m v) = m d v dm dm + v = m a + v dt dt dt dt Bei konstanter Masse: d p dt = m a = F Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

3 Versuch: Rakete Daniel Bick Physik fu r Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

4 Wagen auf Luftkissenschiene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

5 Stoß auf Luftkissenschiene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

6 Übersicht 1 Mechanik starrer, ausgedehnter Körper Schwerpunkt Drehmoment Gleichgewicht Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

7 Schwerpunkt Massenmittelpunkt Punkt, der sich so bewegt, als ob die gesamte Masse dort konzentriert wäre und alle äußeren Kräfte dort ansetzen Mit Massen gewichtetes Mittel aller Massepunkte Für zwei Körper: Allgemein: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

8 Beispiel mit zwei Massen Die Massen seien starr miteinander verbunden. Wähle Koordinatensystem so, dass beide Massen auf der x-achse liegen y x s m 1 m 2 x x 1 d x 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

9 Spezialfall x 1 = 0 Eine der Massen (m 1 ) bei x = 0 y x s m 1 m 2 x d Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

10 Spezialfall gleich große Massen Eine Masse bei x = 0 Gleich große Massen (m 1 = m 2 ) y x s m 1 m 2 x d Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

11 Beispiel Schwerpunktbewegung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

12 Drehbewegung Wenn unterschiedliche Kräfte an unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es eine Drehung geben. Meistens zusätzliche Translation. F n F g Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

13 Drehbewegung Wenn unterschiedliche Kräfte an unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es eine Drehung geben. Meistens zusätzliche Translation. F n F g Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

14 Drehmoment Drehung hängt ab von Größe der Kraft F Richtung der Kraft F tangential Ansatzpunk der Kraft r Das Drehmoment M ist ein Maß für die Drehwirkung r F radial Richtung von M gibt Drehsinn an F tangential F Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

15 17 Erinnerung: Kreuzprodukt 1 B α A. Abb Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A B = C; A (Daumen) weist nach oben, B (Zeigefinger) weist nach hinten, C (abgewinkelter Mittelfinger) steht senkrecht auf A und B Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

16 Winkelgeschwindigkeit als Vektor Bahngeschwindigkeit bisher: v = ω r Zusätzlich: Richtung der Drehachse vektoriel r v Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

17 Garnrolle P Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

18 Garnrolle Je nach Winkel des Fadens, an dem ich ziehe, rollt die Garnrolle sich auf oder ab. F F v v = 0 v F P r P r P Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

19 Kräftepaar Zwei parallele Kräfte deren Betrag gleich ist die entgegengesetzt wirken F deren Angriffspunkte nicht zusammenfallen heissen Kräftepaar. P r F und F verursachen eine Drehung des Körpers um P. P liegt auf der Verbindungslinie der beiden Angriffspunkte. F P r F F Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

20 Schaubenzieher F F F F F F Ein breiterer Schaubenzieher bewirkt ein größeres Drehmoment. Drehen (Schrauben) fällt einem leichter! Drehachse ist vorgegeben! Am besten in der Mitte ansetzen! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

21 Bestimmung des Schwerpunktes Häufig eindeutig durch Symmetrie Ansonsten: Nehme Gewichtskraft zur Hilfe Lagere Gegenstand auf einer freien Drehachse Drehung durch Schwerkraft Schwerpunkt auf der Vertikalen unterhalb der Drehachse Wiederholung für mehrere Drehachsen Schnittpunkt aller Vertikalen ergibt Schwerpunkt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

22 Beispiel: Schwerpunkt eines Dreiecks C A B C A B A B B C C A C A Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39 B

23 Hebel F 1 r 2 Gleichgewicht von Drehmomenten Hebelgesetz r 1 F 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

24 Einarmiger Hebel Kapitel 2 Mechanik starrer Körper F 1 r 1 F 2 r2 F g Die Kraft muss in die gleiche Richtung aufgebracht werden Alternativ: Umlenkrolle Beispiel: Unterarm Kurze Arme helfen beim Armdrücken Hebel und Drehmoment!. Abb Arm und Bizeps. Als einarmiger Hebel: Kraft und Last greifen, auf die Drehachse (Ellbogengelenk) bezogen, au der gleichen Seite an; der Hebelarm des Muskels ( ~ 30 mm ist wesentlich kleiner als der Hebelarm ( ~ 30 cm) der Hantel Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

25 Anwendungsbeispiele Schere Zimmermannshammer Flaschenöffner Schraubenschlüssel Nussknacker Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

26 Gleichgewicht Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

27 Arten von Gleichgewichten stabil indifferent labil Stabiles Gleichgewicht Zustand kehrt nach Störung dorthin zurück Verrücken erfordert Energie Indifferentes Gleichgewicht Kleine Störung verschiebt den Gleichgewichtszustand nur leicht Energie bleibt unverändert Instabiles (labiles) Gleichgewicht Zustand verlässt das Gleichgewicht völlig bei kleiner Störung Verrücken setzt Energie frei Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

28 Drehmomentwandler Funktionsprinzip eines Getriebes Prinzip ähnlich dem Hebel statt Hebelarm Zahnräder unterschiedlicher Größe r 1 r 2 r 1 r 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

29 Trägheitsmoment Beispiel Ring/Scheibe Kinetische Energie eines rotierenden Körpers Erinnerung: E kin = 1 2 mv2 v v Ring: Betrag der Geschwindigkeit v ist gleich für jeden Massepunkt. Scheibe: Lediglich die Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich: Trägheitsmoment I Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

30 Beispiele für Trägheitsmomente Dünner Ring m r 2 Vollzylinder 1 2 m r2 Hohlzylinder 1 2 m (r2 1 + r2 2 ) Kugel 2 5 m r2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

31 Trägheitsmoment und Drehmoment Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Für eine punktförmige Masse gilt I = m r 2 Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung Dynamisches Grundgesetz der Rotation Analogie Translation Rotation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

32 Rolle auf schiefer Ebene Welche Rolle ist schneller? Vollzylinder Hohlzylinder α h α h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

33 Steinerscher Satz d m Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von dem bei Drehung um eine andere Achse. Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um seinen Auflagepunkt Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem Satz von Steiner berechnet werden: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

34 Rollreibung Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen Analog zur Gleitreibung: M = µ roll F N α F H α F N Normalkraft F N Graviationskraft F g Hangabtriebskraft F H F g F N = F g cos(α) FH = F g sin(α) Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

35 Versuch: Drehstuhl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

36 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

37 Drehstuhl mit Kreisel Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht ω ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

38 Drehimpuls als Vektorgröße ω ist ein Axialvektor Auch L = I ω ist ein Axialvektor Ausserdem: d L dt = I d ω dt = I α = M Es gilt für einen Massepunkt: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39

39 Vergleich Translation Rotation Ort s Winkel ϕ Zeit t Zeit t Geschwindigkeit Beschleunigung v = d s dt Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt a = d v dt Winkelbeschleunigung α = d ω dt Masse m Trägheitsmoment I = i m i r 2 i Kraft F = m a Drehmoment M = I α Kinetische Energie E kin = 1 2 mv2 Rotationsenergie E Rot = 1 2 Iω2 Impuls p = m v Drehimpuls L = I ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 39